重难点01 基本不等式求最值（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点01 基本不等式求最值 三年考情分析 2025年考向预测 2024年，第9题，考察基本不等式与指数、对数的结合 基本不等式主要是作为工具，与其他知识结合考查，单独出题较少，考生在复习过程中需注意解题技巧和条件的验证 题型1 直接法求最值 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 1．（2023·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 2．（2023·北京石景山·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2022·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为 . 5．（2024·四川达州·二模）已知实数满足，则最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 题型2 常规配凑法求最值 （1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 1．（2022-23高一上·江西宜春·阶段练习）已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2023-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 4．（2023-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，则函数，的最小值为（    ） A．7 B．8 C．14 D．15 5．（2023·江苏南通·二模）已知，，，则的最大值为 . 题型3 消元法求最值 消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解 1．（2024·安徽安庆·三模）若正数x，y满足，则的最小值是 . 2．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 3．（2023-24高一下·浙江·期中）已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·模拟预测）已知，则的最大值为 ． 5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型4 "1"的代换求最值 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 1．（2023·北京海淀·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·广东·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 3．（2022-23高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 . 4．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 5．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型5 双换元法求最值 出现更复杂分式相加模型，可把两个分母看做一个整体进行换元，然后就得到了“1”的代换题型 1．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 2．（2024·河北·模拟预测）已知非负实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 3．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ． 5．（2023-24高一上·江苏苏州·阶段练习）的最小值为 ，已知非负实数x，y满足，则的最小值为 ． 题型6 构造不等式法求最值 寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川·模拟预测）若实数满足，则的最大值为（    ） A． B．8 C．3 D．4 4．（2023·贵州毕节·模拟预测）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 题型7 基本不等式恒成立 恒成立问题常用分离参数法的方法： 将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 2．（2023·辽宁沈阳·一模）若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的范围为 ． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 4．（2023-24高一上·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2022-23高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 题型8 基本不等式实际应用 利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点： （1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． （3）在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 1．（2023·江苏无锡·期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 3．（2021·北京房山·二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2024·福建莆田·三模）若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（    ） A． B．2 C． D．4 5．（2024·浙江·二模）已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为 . （建议用时：60分钟） 1．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（   ） A．20 B．12 C．16 D．25 2．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（2022-23高三上·贵州·阶段练习）已知，函数有最小值，则 ． 5．（2024·重庆·模拟预测）若 ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东·模拟预测）已知正数满足．则的最小值为 ． 7．（2022-23高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2022-23高三上·山西大同·期中）已知，则错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东肇庆·一模）设正实数m，n满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值是4 11．（2024·广东·二模）若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为 . 12．（2024·福建·三模）下列函数最小值不为4的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·全国·模拟预测）在圆柱中挖去一个圆锥，该圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为圆柱上底面的中心，若圆锥的母线长为，则剩余几何体体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（2022-23高三上·重庆万州·期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 基本不等式求最值 三年考情分析 2025年考向预测 2024年，第9题，考察基本不等式与指数、对数的结合 基本不等式主要是作为工具，与其他知识结合考查，单独出题较少，考生在复习过程中需注意解题技巧和条件的验证 题型1 直接法求最值 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 1．（2023·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 2．（2023·北京石景山·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，，则，当且仅当时等号成立，故充分性成立； 若，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3．（2022·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取满足，且，此时，A错误； 取满足，且，此时，B错误； 可得，C正确； 取满足，且，此时，D错误. 故选：C. 4．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 5．（2024·四川达州·二模）已知实数满足，则最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当且，即时等号成立. 故选：B 题型2 常规配凑法求最值 （1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 1．（2022-23高一上·江西宜春·阶段练习）已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 2．（2023-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由于，所以， 由, （当且仅当时取等号），可得的最小值为3， 故选：D． 3．（2023-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 4．（2023-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，则函数，的最小值为（    ） A．7 B．8 C．14 D．15 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为15， 故选:D． 5．（2023·江苏南通·二模）已知，，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由已知可得，令，则原式，利用基本不等式即可解决. 【详解】由已知，所以，故， 令，原式 ，当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式求最值的问题，涉及到对数的运算性质，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 题型3 消元法求最值 消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解 1．（2024·安徽安庆·三模）若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 2．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由正数满足，可得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 3．（2023-24高一下·浙江·期中）已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 4．（2023·北京·模拟预测）已知，则的最大值为 ． 【答案】4 【详解】， ， 当且仅当， 即时等号成立. 故答案为： 5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，，两边同时除以，得到， 当且仅当即取“=”. 则，当且仅当取“=”. 两边取自然对数，则，当且仅当取“=”. 故的最小值为. 故选：D. 题型4 "1"的代换求最值 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 1．（2023·北京海淀·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为，，， 所以, 当且仅当时等号成立, 故选:B 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 2．（2024·广东·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为8. 故选：D. 3．（2022-23高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【详解】已知，，且， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， 则有，，所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 5．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由，且，可得.所以. 又因为， 当且仅当，即时取等号，所以. 故选：B. 题型5 双换元法求最值 出现更复杂分式相加模型，可把两个分母看做一个整体进行换元，然后就得到了“1”的代换题型 1．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 【答案】A 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得时等号成立，故的最小值为13. 故选：A 2．（2024·河北·模拟预测）已知非负实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 又因为非负实数，所以，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：B． 3．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】 （当且仅当，时取等号）. 故选:C. 4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故答案为： 5．（2023-24高一上·江苏苏州·阶段练习）的最小值为 ，已知非负实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，由 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 由 ， 当且仅当，即时取等， 又，则时， 的最小值为. 故答案为：；. 题型6 构造不等式法求最值 寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B错误； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：C 2．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 故选：D． 3．（2023·四川·模拟预测）若实数满足，则的最大值为（    ） A． B．8 C．3 D．4 【答案】D 【详解】，所以， 解得，当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选:D. 4．（2023·贵州毕节·模拟预测）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由，得， 于是，整理得，当且仅当时取等号， 解得，A错误，B正确； 又，即，当且仅当时取等号，CD错误. 故选：B 5．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：， 则，当且仅当时，“=”成立， 又a，，所以，当且仅当时，“=”成立， 所以的最大值为. 故选：C 题型7 基本不等式恒成立 恒成立问题常用分离参数法的方法： 将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解. 2．（2023·辽宁沈阳·一模）若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的范围为 ． 【答案】 【详解】易知，， ． 令，分式上下同除y， 则，则即可， 令，则． 可转化为：， 于是，． ∴，即时，不等式恒成立（当时等号成立）． 故答案为： 3．（2023高三·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由得． 又，当且仅当，即当时等号成立， ∴，∴的最大值为． 故答案为： 4．（2023-24高一上·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 5．（2022-23高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有， 故选： D． 题型8 基本不等式实际应用 利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点： （1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． （3）在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 1．（2023·江苏无锡·期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】(1)该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 (2)该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【详解】（1）由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】B 【详解】由题可知， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：B. 3．（2021·北京房山·二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为， 所以年平均利润 当且仅当时等号成立， 即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8， 故选：D 4．（2024·福建莆田·三模）若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】设该圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则，从而，即， 该圆锥的侧面积. 法一、因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2. 法二、令， 易知时单调递减，时单调递增，即， 所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2. 故选：B 5．（2024·浙江·二模）已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为 . 【答案】 【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为，根据已知得， 由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为， 当且仅当时，即，时等号成立. 故答案为： （建议用时：60分钟） 1．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（   ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【详解】由条件可知： 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以的最小值为25， 故选：D 2．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解法（1）：由， 令，即，， ，即最大值为2； 解法（2）： 当且仅当，即时取等号， ，即最大值为2， 故选：A. 4．（2022-23高三上·贵州·阶段练习）已知，函数有最小值，则 ． 【答案】4 【详解】， 令，则或（舍）， 故答案为：. 5．（2024·重庆·模拟预测）若 ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，由，得，，则，B正确； 对于C，，则， 当且仅当时取等号，因此，C错误； 对于D，， 令，对勾函数在上递减，在上递增， 因此，D正确. 故选：C 6．（2024·山东·模拟预测）已知正数满足．则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即，所以， 当且仅当，且，即时，上式取“”， 所以的最小值为9． 故答案为：9． 7．（2022-23高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8．（2022-23高三上·山西大同·期中）已知，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立， 所以，故A错误； 对于B，由，得， 即，则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 又，所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：A 9．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误； 对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误； 对于C，由可得，即可得，即充分性成立； 当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确； 对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误. 故选：C 10．（2024·广东肇庆·一模）设正实数m，n满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值是4 【答案】A 【详解】对于A选项，，故，故A正确； 对于B选项，因为， 所以，故B错误； 对于C选项，因为，当且仅当，即，时，等号成立，故C错误； 对于D选项，因为， 所以， 故当，时，有最小值，故D错误. 故选：A 11．（2024·广东·二模）若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】函数是偶函数，且， 当且仅当时等号成立，此时， 因为的图象与直线有两个交点，所以的最小值为. 故答案为：. 12．（2024·福建·三模）下列函数最小值不为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A：，不符； B：，当且仅当时等号成立，符合； C：，则，故，符合； D：且，故， 所以，当且仅当时等号成立，符合. 故选：A 13．（2024·全国·模拟预测）在圆柱中挖去一个圆锥，该圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为圆柱上底面的中心，若圆锥的母线长为，则剩余几何体体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一：设圆锥的底面半径为，则圆锥的高， 所以剩余几何体的体积． 令，，， 则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以， 所以，此时，， 故选：A． 解法二：设圆锥的底面半径为，则圆锥的高， 所以剩余几何体的体积． ， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：A． 14．（2022-23高三上·重庆万州·期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 15．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 【答案】(1) (2)9千件 【详解】（1）当时，； 当时，. 综上：. （2）当时，，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 当时，. 因为，当且仅当即时取“”. 此时. 因为. 所以当年产量为千件时，年利润最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$