热点06 直线与圆（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点06 直线与圆 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第3题，考察直线方程及圆的方程 2023年，第15题，考察平面上两点间的距离与函数的结合 2024年，第3题，考察点到直线的距离及圆的方程 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，同时直线方程可能会与其他知识点如圆的方程、椭圆等结合考查，形成综合性问题，故可能会成为命题的重点 题型1 直线的倾斜角与斜率 （1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解 1．（2022·北京石景山·模拟预测）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）    A．5 B．7 C．9 D．11 2．（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·吉林长春·一模）直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 题型2 求直线的方程 一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程；②已知两点坐标，选择两点式方程； ③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程；④已知两轴截距，选择截距式方程 1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．（2023-24高二下·云南·阶段练习）设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 4．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 5．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知，则线段AB的垂直平分线的一般方程为 . 题型3 两条直线的平行与垂直 （1）已知直线与直线, 则①,且；②. （2）已知直线,直线, 则①且(或)； ②. 1．（2022-23高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·一模）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 4．（2023·江苏无锡·模拟预测）直线与平行，则实数（    ） A． B． C．或 D．0 5．（2023·山东青岛·三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 题型4 两条直线的交点与距离问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 2．（2020·陕西西安·模拟预测）若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为 ． 3．（2023·河南开封·模拟预测）的三个顶点到直线的距离分别为1，2，3，则该三角形的重心到直线的距离为 （答案不唯一，填一个即可）． 4．（2023-24高一上·河南周口·开学考试）如图所示，点是直线上一点，过点作的垂线交曲线于点.若，则 .    5．（2023·上海浦东新·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5 两直线的对称问题及其应用 （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 1．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 和曲线 ，若点 是曲线 关于直线 的对称曲线 的任意点，则点 满足（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·一模）设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 4．（2022-23高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= . 5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 题型6 圆的方程 确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 1．（2023·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 2．（2022·北京海淀·一模）已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·吉林·三模）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 5．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 题型7 直线、圆与圆的位置关系 （1）判断直线与圆位置关系的两种方法： ①几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断；②代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断； （2）判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 1．（2023·北京怀柔·一模）“”是直线与圆相交的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 2．（2024·北京大兴·三模）已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 4．（2022-23高二上·河南洛阳·阶段练习）设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知直线，圆，则“与有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型8 圆的弦长问题 由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 1．（2024·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 . 2．（2024·北京石景山·一模）直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 3．（2022-23高三上·北京海淀·期末）已知直线与圆：相交于两点，且为等边三角形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 . 5．（2024·全国·模拟预测）点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．47 题型9 圆的切线问题 求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 1．（2023·北京门头沟·一模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2023·北京通州·三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 4．（2023·北京·模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ． 5．（2023·北京东城·二模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ） A． B． C． D． 题型10 与圆有关的最值问题 1．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2023-24高二上·福建三明·期末）已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京大兴·三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京昌平·二模）若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京朝阳·一模）已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2022·北京通州·三模）设，若直线与直线平行，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．0，1 4．（2023·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·北京·模拟预测）已知直线l：若l上有且仅有一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆过原点O，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 6．（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·北京西城·二模）已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为 ． 8．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为 . 9．（2023·北京·模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为 . 10．（2023·北京昌平·二模）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 . 11．（2024·北京朝阳·二模）若直线与曲线 有两个不同的交点，则实数的一个取值为 . 12．（2022·北京房山·二模）已知圆和直线，则圆心坐标为 ；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为 . 13．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点N满足，记d为点N到直线l：的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为 ；d的最大值为 ． 14．（2024·广西·模拟预测）点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为 ． 15．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点06 直线与圆 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第3题，考察直线方程及圆的方程 2023年，第15题，考察平面上两点间的距离与函数的结合 2024年，第3题，考察点到直线的距离及圆的方程 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，同时直线方程可能会与其他知识点如圆的方程、椭圆等结合考查，形成综合性问题，故可能会成为命题的重点 题型1 直线的倾斜角与斜率 （1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解 1．（2022·北京石景山·模拟预测）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）    A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【详解】 若果树前n年的总产量与n在图中对应点 则前n年的年平均产量，即为直线OP的斜率， 由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大. 即前9年的年平均产量最高. 故选：C. 2．（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．（2024·吉林长春·一模）直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以. 故选：B 5．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 题型2 求直线的方程 一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程；②已知两点坐标，选择两点式方程； ③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程；④已知两轴截距，选择截距式方程 1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 2．（2023-24高二下·云南·阶段练习）设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】因为曲线过定点， 所以，即，则 ， 当且仅当时,即时取“”，所以的最小值为2． 故答案为：2 3．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 【答案】x＋3y－3＝0 【详解】 解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0. （解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0. 4．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 5．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知，则线段AB的垂直平分线的一般方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以直线AB的斜率为， 所以AB的垂直平分线的斜率为，AB的中点坐标为， 故线段AB的垂直平分线的方程为：，化为一般式为：. 故答案为：. 题型3 两条直线的平行与垂直 （1）已知直线与直线, 则①,且；②. （2）已知直线,直线, 则①且(或)； ②. 1．（2022-23高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程可知：的斜率为， 由题意可知：，所以，所以， 因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即. 故选：C. 2．（2024·四川南充·一模）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 【答案】 【详解】直线即，斜率， 因为直线、互相垂直，所以直线的斜率， 直线的倾斜角为，则，结合，可知． 故答案为：． 4．（2023·江苏无锡·模拟预测）直线与平行，则实数（    ） A． B． C．或 D．0 【答案】A 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得. 故选：A. 5．（2023·山东青岛·三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 【答案】B 【详解】由的顶点，，知， 重心为，即， 又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即， 所以可得的欧拉线方程，即， 因为与平行， 所以， 解得， 故选：B 题型4 两条直线的交点与距离问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】平面直角坐标系中,，，,，，，， ∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为 故答案为: . 2．（2020·陕西西安·模拟预测）若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为 ． 【答案】和 【详解】因为直线：与：平行， 所以与之间的距离． 设直线与，的夹角为（）， 因为直线被直线与截得的线段长， 所以，解得． 因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为， 所以直线的倾斜角的值为和． 故答案为：和. 3．（2023·河南开封·模拟预测）的三个顶点到直线的距离分别为1，2，3，则该三角形的重心到直线的距离为 （答案不唯一，填一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】以平面内一点为原点，建立平面直角坐标系， 设，则， 设直线的方程为（不同时为）， 不妨设， 设三角形的重心到直线的距离为， 则 ， 则当同号时，取得最大值为， 当， 或时， 取得最小值为，也即过重心. 所以. 故答案为:1（答案不唯一）. 4．（2023-24高一上·河南周口·开学考试）如图所示，点是直线上一点，过点作的垂线交曲线于点.若，则 .    【答案】 【详解】由图可知， 设，则直线， 由解得， 则， 到直线的距离为， 依题意，， 所以， 整理得. 故答案为： 5．（2023·上海浦东新·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若为定值， 即点到直线两条直线距离之和为定值， 显然，这两条直线平行，如图，    所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且， 即，且，为定值， 所以“”是“为定值”的必要不充分条件. 故选：B 题型5 两直线的对称问题及其应用 （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 1．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 和曲线 ，若点 是曲线 关于直线 的对称曲线 的任意点，则点 满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 又点在曲线上，所以， 所以. 故选：D 2．（2024·湖北·一模）设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B 3．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             4．（2022-23高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= . 【答案】 【详解】直线过点， 点关于直线对称点为， 依题意可知点在直线上， 所以. 故答案为： 5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 题型6 圆的方程 确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 1．（2023·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】C 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为. 故选：C. 2．（2022·北京海淀·一模）已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上， 将圆的一般方程转变为标准方程： ， 圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ， ， ， 函数是开口向下，以  为对称轴的抛物线， 所以 ， 故选：A. 3．（2024·吉林·三模）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 4．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 【答案】4（答案不唯一， ） 【详解】圆，则， 由点在圆外部，得， 解得，取. 故答案为：4 5．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 题型7 直线、圆与圆的位置关系 （1）判断直线与圆位置关系的两种方法： ①几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断；②代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断； （2）判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 1．（2023·北京怀柔·一模）“”是直线与圆相交的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，直线为，过圆心，故直线与圆相交， 当直线与圆相交时，圆心到直线的距离，化简得，显然恒成立，不能推出， 所以“”是直线与圆相交的充分不必要条件， 故选：A 2．（2024·北京大兴·三模）已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 当，直线与圆有公共点时，恒成立，即恒成立， 则且，解得，即或（舍去） 所以“，直线与圆有公共点”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， ∴，半径为， 因为， ∴，半径为， 若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切， ∴， 由于，故， 解得，即的最小值为， 故答案为：. 4．（2022-23高二上·河南洛阳·阶段练习）设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆，其圆心为，半径为． 因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点． 因为圆心距为，所以，解得． 故选：B 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知直线，圆，则“与有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】圆，即，圆心为，半径， 若与有公共点，则，解得， 所以由“与有公共点”推不出“”，故充分性不成立； 由推得出与有公共点，故必要性成立； 所以“与有公共点”是“”的必要不充分条件. 故选：B 题型8 圆的弦长问题 由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 1．（2024·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 . 【答案】 2 1（均可） 【详解】直线，则，令，解得， 所以直线恒过点， 的圆心为，半径， 显然点在上， 圆心到直线的距离，， 则， 当且仅当，即时取等号， 即，解得或. 故答案为：；（均可） 2．（2024·北京石景山·一模）直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【详解】直线恒过点，且点在圆内， 当点是弦的中点时，此时弦长最短，圆心和点的距离为2，此时弦长，最长的弦长是直径为8， 所以弦长的取值范围是，其中只有B成立. 故选：B 3．（2022-23高三上·北京海淀·期末）已知直线与圆：相交于两点，且为等边三角形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，圆：的圆心坐标为,半径为， 因为直线与圆：相交于两点，且为等边三角形， 所以的边长为， 则圆心到直线的距离为， 即，解得. 所以实数的值为. 故选：D. 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 . 【答案】 【详解】根据题意，为直线：上的动点，设的坐标为， 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点、在以为直径的圆上， 又由，，则以为直径的圆的方程为， 变形可得：， 则有，可得：， 变形可得：，即直线的方程为， 则有，解可得，故直线过定点. 故答案为：. 5．（2024·全国·模拟预测）点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．47 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． 如图所示，由弦长公式知， 解得， 所以点在以为圆心、1为半径的圆上， 由图可知，的最小值为． 故选：B． 题型9 圆的切线问题 求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 1．（2023·北京门头沟·一模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 直线的斜率为，倾斜角为，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线交轴于点，所以，， 由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值， 由圆的几何性质可知，且，则， 故. 故选：A. 2．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为. 故选：C. 3．（2023·北京通州·三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示，圆心为，连接，    因为直线，关于对称，所以垂直于直线， 故，而， 所以. 故选：C 4．（2023·北京·模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】 【详解】解：圆的标准方程为：， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离相等，即， 化简得， 解得，， 综上：直线方程为：， 故答案为： 5．（2023·北京东城·二模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆心为，所以,所以过的切线的斜率为， 设倾斜角为，则， 由于，故， 故选：D 题型10 与圆有关的最值问题 1．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】说明在以为直径的圆上， 而又在圆上，因此两圆有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中， 所以，即，又，解得. 故选：B 2．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为， 又直线，其过定点， 故距离的最大值为. 故答案为：C 3．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】由直线 整理得，可知直线经过定点， 而由知，点可看成圆上的动点， 于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.    如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为， 要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大， 又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短） 此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为. 故选：D. 4．（2023-24高二上·福建三明·期末）已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线上存在点使得， 所以点在以，为直径的圆上，但点不能是、， 由，为直径的圆，可得圆心为,半径为，即圆, 要使得，只需直线与圆有公共点，但公共点不能是,， 因为圆心到直线的距离为， 所以，解得， 当直线与圆有公共点为,时，则直线为轴，即. 综上所述：实数k的取值范围为. 故选:B. 5．（2023·北京大兴·三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示：    直线的斜率为，倾斜角为，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线交轴于点，所以， 由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值， 由圆的几何性质可知，且，则， 故． 故选：A 1．（2024·北京昌平·二模）若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为表示圆，所以，得到， 令，得到，则，得到， 令，得到，则，得到， 所以， 故选：A. 2．（2024·北京朝阳·一模）已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为：，半径为， 则圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得. 故选：D. 3．（2022·北京通州·三模）设，若直线与直线平行，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．0，1 【答案】A 【详解】时，两直线为、直线，显然不平行； 所以，两直线为，， 所以，且， 解得． 故选：A. 4．（2023·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所以，过点且与直线垂直的直线方程是， 即. 故选：C. 5．（2022·北京·模拟预测）已知直线l：若l上有且仅有一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆过原点O，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】由题意可知，， 点有且仅有一个，到直线l的距离为1，即，即， 设，则， 当且仅当，即,, 即时，等号成立，故最大值为 故选:A. 6．（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知：坐标原点到直线的距离； 圆的圆心为，半径，被圆截得的弦长为. 故选：D. 7．（2024·北京西城·二模）已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的方程为， 则由题意可得，解得， 所以圆的方程为 故答案为： 8．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为 . 【答案】18 【详解】由题意知过点的直线（不过原点）在轴、轴上的截距相等， 设该直线方程为，将代入得，即直线方程为， 由于该直线与相切，圆心为，半径为， 故， 故答案为：18 9．（2023·北京·模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为 . 【答案】3 【详解】设，由点P到直线的距离为，得 两边平方整理得到① 因为在圆上，所以，即② 联立①②得， 解得或， 当时，由①②可得，解得或，即或 当时，由①②可得，解得或，即或 综上，满足条件的点P的个数为. 故答案为：3. 10．（2023·北京昌平·二模）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以为圆直径， 设，则， 所以, 故， 所以当 时，，， 故 故答案为：. 11．（2024·北京朝阳·二模）若直线与曲线 有两个不同的交点，则实数的一个取值为 . 【答案】1（答案不唯一） 【详解】 直线过定点， 曲线 ，即，表示半圆， 如图所示，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 所以（舍去）或， 由于直线与曲线 有两个不同的交点， 当直线过时，斜率最小为， 所以由图可知，实数的取值范围为：， 故实数的一个取值为1， 故答案为：1（答案不唯一）. 12．（2022·北京房山·二模）已知圆和直线，则圆心坐标为 ；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为 . 【答案】 / 【详解】由圆的方程知：圆心坐标为； 由直线方程知：恒过点，则， 当时，圆心到距离最大， 又圆的半径，. 13．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点N满足，记d为点N到直线l：的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为 ；d的最大值为 ． 【答案】 6 【详解】由，得， 则，得， 所以直线l所过定点， 因为点，动点N满足， 所以动点N在以为圆心，1为半径为圆上， 所以当时，点N到直线l的距离最大， 所以d的最大值为， 故答案为：，6 14．（2024·广西·模拟预测）点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为 ． 【答案】850 【详解】 ，，设， 则 ， 故当，时，取最大值，最大值为850， 此时点的坐标为 故答案为：850 15．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【详解】作出示意图如图所示： 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心，半径， 由题意可得， 易得圆关于直线的对称圆的方程为， ， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$