第九章第7讲二元一次方程组的应用及简单的三元一次方程组 2024-2025学年沪教版(五四制)六年级数学下册寒假讲义

第6讲 二元一次方程组的应用与简单的三元一次方程组 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．二元一次方程的正整数解是 ． 2．如果是一个二元一次方程，那么数=______，=_______． 3．已知、是有理数，如果，那么＝______，＝_____． 参考答案：1、； 2、； 3、； 4．方程2x+y＝5的正整数解为　x＝2，y＝1　或　x＝1，y＝3　． 【分析】由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值从而代入方程得到相应的y值． 【解答】解：由已知方程2x+y＝5，移项得y＝5﹣2x， ∵x，y都是正整数，则有y＝5﹣2x＞0，又∵x＞0， ∴0＜x＜，又∵x为正整数，根据以上条件可知，合适的x值只能是x＝1、2， 代入方程得相应y＝3、1， ∴方程2x+y＝5的正整数解为x＝1，y＝3；x＝2，y＝1． 【点评】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值． 5．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为 　　． 【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：依题意，得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．解下列方程组： （1） （2） 4、（1），（2）， 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 二．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 三．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 四．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 五．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 六．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．解三元一次方程组 1．解下列三元一次方程组： （1） （2） （3） （4） 参考答案：（1）； （2）； （3）； （4） 2．能否用简便方法解方程组 参考答案： 3．解方程组：． 【分析】根据加减消元法先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程即可求得方程的解． 【解答】解： 由①+②，得 4x+5z＝13④ 由④﹣③，得 6z＝6． 解得，z＝1， 把z＝1代入③，得 x＝2， 把x＝2，z＝1代入①，解得，y＝﹣3， 故原方程组的解是． 【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确解三元一次方程组的方法． 4．解方程组：． 【分析】用代入法或加减消元法将三元一次方程组转化成二元一次方程组求解． 【解答】原方程， 方法一： 解：①+②得2x+z＝27， 即：x＝， ①﹣②得y＝， 代入③得z＝7， 把z＝7代入x＝，y＝， 可得x＝10，y＝9． ∴． 方法二： 解：①﹣③，得﹣x+2y＝8．④ ②+④，得y＝9． 把y＝9代入②，解得x＝10． 把x＝10，y＝9代入①，得z＝7． 所以原方程组的解为． 【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答． 二．二元一次方程的应用 1．某学校庆“六一节”活动，设计了一个飞镖游戏，飞镖游戏的规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分（A区、B区均不含边界，如果掷到边界上重新投掷，投掷在大圆以外的无效）．现在将投掷有效的每次位置用一个“x”标注，统计出小红，小华和小明的有效成绩均为8次，情况如下：如果小红得了65分，小华得了71分，求： （1）掷中A区、B区一次各得多少分？ （2）按照这样的记分方法，小明得了多少分？ 【分析】（1）首先设掷中A区一次得x分，掷中B区一次得y分，根据图示可得等量关系：①掷中A区3个的得分+掷中B区5个的得分＝65分；②掷中A区5个的得分+掷中B区3个的得分＝75分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中A区、B区一次各得多少分； （2）由图示可得求的是掷中A区2个的得分+掷中B区6个的得分，根据（1）中解出的数代入计算即可． 【解答】解：（1）设掷中A区一次得x分，掷中B区一次得y分，依题意有 ， 解得． 故掷中A区一次得10分，掷中B区一次得7分； （2）2×10+6×7＝62（分）． 答：小明得了62分． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组． 2．六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间，两个班都有一些同学参与课外天文小组，（1）班参加的人数是（2）班没有参加的，（2）班参加的人数是（1）班没有参加的．问这两个班没有参加天文小组各多少人？ 【分析】根据题意和题目中的数据，可以先设（1）班参加的有x人，（2）班参加的有y人，然后即可表示出（1）班和（2）班没有参加的人数，再根据题目中的数据，即可得到二元一次方程和不等式，从而可以求得这两个班没有参加天文小组各多少人． 【解答】解：设（1）班参加的有x人，（2）班参加的有y人， ∵（1）班参加的人数是（2）班没有参加的， ∴（2）班没有参加的有3x人， ∵（2）班参加的人数是（1）班没有参加的， ∴（1）班没有参加的有4y人， ∵六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间， ∴x+4y＝y+3x，30＜x+4y＜50，30＜y+3x＜50， 解得，， 当x＝9，y＝6时，3x＝27，4y＝24， 当x＝12，y＝8时，3x＝36，4y＝32， 答：这两个班没有参加天文小组分别为27人、24人或36人、32人． 【点评】本题考查二元一次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系或不等关系，列出相应的方程和不等式． 3．2019年2月《上海市生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现： ①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了20%； ②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占70%； ③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有20%的废纸； ④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克． 根据上述信息回答下面的问题： （1）学校现在每天生活垃圾重量是多少千克？ （2）学校现在每天的可回收物和干垃圾各多少千克？ （3）回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六、七年级每个学生清理干垃圾的效率分别为3千克/5分钟、5千克/5分钟，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟将所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 【分析】（1）学校现在每天生活垃圾的重量＝原来每天生活垃圾的重量×（1﹣20%），列出方程计算即可求解； （2）可设学校现在每天的可回收物x千克，干垃圾y千克，根据其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的；可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克；列出方程计算即可求解； （3）可设六年级有a名学生参与活动，七年级有b名学生参与活动，根据学校现在每天的干垃圾60千克，列出方程组求出正整数解，再找到符合条件的正整数解即可求解． 【解答】解：（1）400×（1﹣20%）＝320（千克）． 答：学校现在每天生活垃圾重量是320千克； （2）设学校现在每天的可回收物x千克，干垃圾y千克，依题意有 ， 解得． 答：学校现在每天的可回收物100千克，干垃圾60千克； （3）设六年级有a名学生参与活动，七年级有b名学生参与活动，依题意有 3a+5b＝60， 符合方程的正整数解是：，，， 因为六、七两个年级组成的“垃圾分类宣传”志愿者小队只有17名同学， 所以不合题意，舍去． 答：六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动． 【点评】考查了二元一次方程的应用，此题是一道紧密联系生活实际的题，关键是熟练掌握二元一次方程整数解的应用． 三．由实际问题抽象出二元一次方程组 1．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值金y两，则可列方程组为 　　． 【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解答】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两， 由题意可得，， 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 2．《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何？”意思是：当下良田1亩，价值300钱；薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱．根据条件，良田买了 　12.5　亩．（1顷＝100亩） 【分析】设良田买了x亩，薄田买了y亩，由“当下良田1亩，价值300钱；薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱”列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设良田买了x亩，薄田买了y亩， 依题意得：， 解得：， 即良田买了12.5亩， 故答案为：12.5． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？ （2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？ 【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，购进乙型节能灯y只，由题意：某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，进货款恰好为23000元，列出方程组，解之即可； （2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（600﹣a）只，由题意：商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，列出一元一次方程，进而求解即可． 【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，购进乙型节能灯y只， 由题意，得：， 解得：， 答：购进甲型节能灯200只，购进乙型节能灯400只． （2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（600﹣a）只， 由题意，得：（30﹣25）a+（60﹣45）（600﹣a）＝[25a+45（600﹣a）]×30%， 解得：a＝225， 购进乙型节能灯600﹣225＝375（只）， 则5×225+15×375＝6750（元）， 答：商场购进甲型节能灯225只，购进乙型节能灯375只，此时利润为6750元． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找出等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出等量关系，列出一元一次方程． 4．六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？ 【分析】设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【解答】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 四．三元一次方程组的应用 1．f（x）＝（每笔收费标准）， 当使用4m3时，缴费4元； 当使用25m3时，缴费14元； 当使用35m3时，缴费19元； 问：当使用20m3时，缴费多少元？ 【分析】根据每笔收费标准及三次缴费钱数，即可得出关于A，B，C的方程组，解之即可得出A，B，C的值，再将其代入C+B（20﹣A）即可求出结论． 【解答】解：依题意得：， 解得：， ∴C+B（20﹣A）＝4+×（20﹣5）＝． 答：当使用20m3时，缴费元． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 2．每年“五一节”前天，建平中学组织高一年级学生开展“南京社会实践考察”活动，其中在第二天生存体验活动中，有三个班级购买“野生生存训练营”的门票．门票规定如下，个人票：每人20元；团体票（满30人）：每人18元，另每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．若高一（1）（2）合起来作为一个团体购票，应购门票1476元，若高一（2）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1566元，若高一（1）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1494元，求三个班级各有多少人？ 【分析】设高一（1）班有x人，（2）班由y人，由题意：团体票（满30人）：每人18元，另每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．若高一（1）（2）合起来作为一个团体购票，应购门票1476元，若高一（2）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1566元，若高一（1）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1494元，列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设高一（1）班有x人，（2）班由y人，（3）班有z人， 1476÷20＝73.8，1566÷20＝78.3，1491÷20＝74.55， 由题意得：， 解得：， 答：高一（1）班有40人，（2）班由44人，（3）班有45人． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．从甲地到乙地，先下山然后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平地，到乙地用了1小时；他回来以每小时8千米的速度上山，回到甲地用了1小时15分，求甲、乙两地间山路、平路各多少千米？ 【分析】设甲、乙两地间山路长为x千米，平路长为y千米，根据先下山后走平路，到乙地用了1小时，回来甲地用了1小时15分，列方程组求解． 【解答】解：设甲、乙两地间山路长为x千米，平路长为y千米， 由题意得，， 解得：． 答：甲、乙两地间山路长为6千米，平路长为4.5千米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 2．预备（1）班、（2）班各有42人，两个班都有一些同学选修戏剧课，（1）班选修戏剧课的人数恰好是（2）班没有选修戏剧课的人数的，（2）班选修戏剧课的人数恰好是（1）班没有选修戏剧课的人数的，问六年级（1）班、（2）班选修戏剧课的各有多少人？ 【分析】设（1）班选修戏剧课的人数是x人，（2）班选修戏剧课的人数y，根据“（1）班选修戏剧课的人数恰好是（2）班没有选修戏剧课的人数的，（2）班选修戏剧课的人数恰好是（1）班没有选修戏剧课的人数的”列方程组求解可得． 【解答】解：设（1）班选修戏剧课的有x人，（2）班选修戏剧课的有y人， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， 答：（1）班选修戏剧课的有14人，（2）班选修戏剧课的有7人． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意准确抓住相等关系并据此列出方程组是解题的关键． 3．为了保护环境，池州海螺集团决定购买10台污水处理设备，现有H和G两种型号设备，其中每台价格及月处理污水量如下表： H G 价格（万元/台） 15 12 处理污水量（吨/月） 250 220 经预算，海螺集团准备购买设备的资金不高于130万元． （1）请你设计该企业有几种购买方案？ （2）哪种方案处理污水多？ 【分析】（1）根据总费用不高于130万元列出关系式求得正整数解即可； （2）得到处理污水的吨数的函数关系式，比较即可． 【解答】解：（1）设买了H型号设备x台，G型号设备（10﹣x）台． 15x+12（10﹣x）≤130， 解得x≤3， ∴可买H型号的0台，G型号的10台； H型号的1台，G型号的9台； H型号的2台，G型号的8台； H型号的3台，G型号的7台； 共4种方案． （2）处理吨数W＝250x+220（10﹣x）＝30x+2200， ∴x＝3时，处理污水吨数最多， ∴购买H型号的3台，G型号的7台，处理污水吨数最多． 【点评】考查一元一次不等式及一次函数的应用；得到总费用及处理污水吨数的关系式是解决本题的关键． 4．学校操场的环形跑道长为250米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？ 【分析】设x分钟后他们第一次相遇，根据相遇时小明比小丽多跑了1圈的路程，可得出方程，解出即可． 【解答】解：设x分钟后他们第一次相遇，依题意有 160x﹣120x＝250， 解得x＝6.25． 答：6.25分钟后他们第一次相遇． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，关键是理解第一次相遇时，小明比小丽多跑了1圈的路程． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升） 大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有　　升酒． 【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设壶中原有x升酒， 根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5， 解得：x＝． 答：壶中原有升酒． 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，理解题意的能力，遇店加一倍，遇到朋友喝一斗，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次酒正好没了壶中酒，可列方程求解． 2．丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题，内容如下： “坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”问：大数学家丢番图活了多少岁？ 用白话翻译过来就是说：丢番图的一生，幼年占了，青少年占了，又过了才结婚，5年之后生子，子先其父4年而死，寿命是他父亲的一半．丢番图活了多少岁？ 【分析】设丢番图活了x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数得到x+x+x+5+x+4＝x，然后解方程即可． 【解答】解：设丢番图活了x岁，根据题意得x+x+x+5+x+4＝x， 解得x＝84． 答：丢番图活了84岁． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 3．每年“五一节”前天，建平中学组织高一年级学生开展“南京社会实践考察”活动，其中在第二天生存体验活动中，有三个班级购买“野生生存训练营”的门票．门票规定如下，个人票：每人20元；团体票（满30人）：每人18元，另每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．若高一（1）（2）合起来作为一个团体购票，应购门票1476元，若高一（2）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1566元，若高一（1）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1494元，求三个班级各有多少人？ 【分析】设高一（1）班有x人，（2）班由y人，由题意：团体票（满30人）：每人18元，另每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．若高一（1）（2）合起来作为一个团体购票，应购门票1476元，若高一（2）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1566元，若高一（1）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1494元，列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设高一（1）班有x人，（2）班由y人，（3）班有z人， 1476÷20＝73.8，1566÷20＝78.3，1491÷20＝74.55， 由题意得：， 解得：， 答：高一（1）班有40人，（2）班由44人，（3）班有45人． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．解下列方程组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 参考答案：1、（1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）； 2．解方程组． 【分析】②﹣③求出x﹣y＝1④，④+①能求出x，把x＝2代入①能求出y，把x＝2，y＝1代入②求出z即可． 【解答】解：②﹣③得：4x﹣4y＝4， 即x﹣y＝1④， ④+①得：2x＝4， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：y＝1， 把x＝2，y＝1代入②得：2﹣3+z＝﹣2， 解得：z＝﹣1， 所以原方程组的解为． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 3．解方程组：． 【分析】由①+②和①+③可消去z，再组成二元一次方程，求解即可． 【解答】解： 在方程组中， ①+②可得3x﹣y＝1④， ①+③可得4x＝4，解得x＝1， 把x＝1代入④可得y＝2， 把x＝1、y＝2代入①可得z＝3， ∴原方程组的解为． 【点评】本题主要考查三元一次方程组的解法，解方程组即“转化”，化高次为低次，注意消元的方法． 4．《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．则每只雀的重量为　2　两． 【分析】设每只雀重x两，每只燕重y两，根据“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设每只雀重x两，每只燕重y两， 依题意得：， 解得：． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．由于最近受季节的影响，产品A的价格有所下降，由原来的每千克20元下降了10%；产品B的价格有所上升，由原来的每千克46元上调至50元．某饭店到市场分别购进产品A和产品B共180千克，发现产品调价前后的总价格不变，问饭店购进这两种产品各多少千克？ 【分析】设饭店购进x千克产品A，y千克产品B，根据“饭店到市场分别购进产品A和产品B共180千克，且产品调价前后的总价格不变”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设饭店购进x千克产品A，y千克产品B， 依题意，得：， 解得：． 答：饭店购进120千克产品A，60千克产品B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．暑假快到了，王老师想让自己女儿的假期生活过的充实点，于是就花了14500元给女儿报了一个英语口语班和一个儿童绘画班，两门课程合计55课时，英语口语一课时的学费是300元，儿童绘画一课时的学费是220元，问王老师给女儿分别报了多少课时的英语口语和多少课时的儿童绘画？ 【分析】设王老师给女儿报了x课时的英语口语，y课时的儿童绘画，根据两门课程合计55课时共需14500元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设王老师给女儿报了x课时的英语口语，y课时的儿童绘画， 依题意，得：， 解得：． 答：王老师给女儿分别报了30课时的英语口语和25课时的儿童绘画． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是我市的电价标准（每月）． （1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 0＜x≤180 a元/度 二档 180＜x≤350 b元/度 三档 x＞350 0.9元/度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费285.5元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：． 答：a的值为0.6，b的值为0.7． （2）若一个月用电量为350度，电费为180×0.6+（350﹣180）×0.7＝227（元）， ∵285.5＞227， ∴小明家7月份用电量超过350度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：180×0.6+（350﹣180）×0.7+（x﹣350）×0.9＝285.5， 解得：x＝415． 答：小明家7月份的用电量为415度． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 8．三个小组，第一小组人数是第二、第三小组人数和的，第二小组人数是第一、第三小组人数和的． （1）第一小组人数占三个小组总人数的 　　（填几分之几）． （2）如果第三小组有18人，那么第一小组和第二小组分别有多少人？ 【分析】（1）设第一组有x人，第二组有y人，第三组有z人，根据题意用含z的式子表示出x和y，进而可得第一小组人数占三个小组总人数的几分之几； （2）设第一组有x人，第二组有y人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值． 【解答】解：（1）设第一组有x人，第二组有y人，第三组有z人，根据题意得， ， 整理，得 ， ①+②得， x＝z③， 把③代入②得， y＝z， ∴x+y+z＝z+z+z＝z， ∴÷＝． ∴第一小组人数占三个小组总人数的； 故答案为：； （2）设第一组有x人，第二组有y人， 依题意，得： 解得：， 答：第一小组和第二小组分别有12人和10人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽． 【分析】分别设出长方形的长和宽，根据正方形的边长相等，和场地的总面积比花坛的面积大104平方米，列方程组求解即可． 【解答】解：设长方形的长和宽分别为x米，y米，根据题意，得 解得x＝12，y＝10 答：长方形的长是12米，宽是10米． 【点评】本题主要是运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 10．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元． 篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个） 95 60 （1）购进篮球和排球各多少个？ （2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？ 【分析】（1）设购进篮球x个，购进排球y个，根据等量关系：①篮球和排球共20个②全部销售完后共获利润260元可列方程组，解方程组即可； （2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，根据题意可得等量关系：每个排球的利润×6＝每个篮球的利润×a，列出方程，解可得答案． 【解答】解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得： 解得：， 答：购进篮球12个，购进排球8个； （2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得： 6×（60﹣50）＝（95﹣80）a， 解得：a＝4， 答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程组或方程． 11．甲、乙两个班的学生到超市上购买苹果，苹果的价格如下： 购苹果数 不超过30kg 30kg以上但不超过50kg 50kg以上 每千克价格 3元 2.5元 2元 甲班分两次共购买苹果70千克（第二次多于第一次），共付出189元，乙班则一次购买苹果70千克． （1）乙班比甲班少付出多少元？ （2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 【分析】第一问比较简单，甲班的钱已有，乙班是一次购买的，符合每千克二元，甲班用的钱﹣乙班的钱即可． 第二问需分情况讨论．甲班共买了70千克，第二次多于第一次，那么就有以下情况：（1）两次都在30﹣50之间，（2）一次在0﹣30之间，二次在30﹣50之间（3）一次在0﹣30之间，二次在50kg以上．等量关系都是：第一次的钱+第二次的钱＝189． 【解答】解：（1）189﹣2×70＝49．乙班少付出49元； （2）设第一次买了x千克，则第二次买了（70﹣x）千克． 若两次都在30﹣50之间，2.5x+2.5（70﹣x）＝189，无解． 若一次在0﹣30之间，二次在30﹣50之间，3x+2.5（70﹣x）＝189，x＝28 若一次在0﹣30之间，二次在50kg以上，3x+2（70﹣x）＝189，x＝49没有在0﹣30之间，不符合实际，舍去． 答：甲班第一次购买了28千克，第二次购买了42千克． 【点评】细心读题，耐心分析多种情况，根据单价×数量＝总价，相应的等量关系作答． 12．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【分析】（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性订客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：，解得：． 答：该店有客房8间，房客63人； （2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16＝320钱； 若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8＝288钱＜320钱； 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 二元一次方程组的应用与简单的三元一次方程组 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．二元一次方程的正整数解是 ． 2．如果是一个二元一次方程，那么数=______，=_______． 3．已知、是有理数，如果，那么＝______，＝_____． 4．（2021春•闵行区期末）方程2x+y＝5的正整数解为　 　或　 　． 5．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为 　　 ． 6．解下列方程组： （1） （2） 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 二．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 三．二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．（4）根据未知数的实际意义求其整数解． 四．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 五．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 六．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．解三元一次方程组 1．解下列三元一次方程组： （1） （2） （3） （4） 2．能否用简便方法解方程组 3．解方程组：． 4．解方程组：． 二．二元一次方程的应用 1．某学校庆“六一节”活动，设计了一个飞镖游戏，飞镖游戏的规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分（A区、B区均不含边界，如果掷到边界上重新投掷，投掷在大圆以外的无效）．现在将投掷有效的每次位置用一个“x”标注，统计出小红，小华和小明的有效成绩均为8次，情况如下：如果小红得了65分，小华得了71分，求： （1）掷中A区、B区一次各得多少分？ （2）按照这样的记分方法，小明得了多少分？ 2．六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间，两个班都有一些同学参与课外天文小组，（1）班参加的人数是（2）班没有参加的，（2）班参加的人数是（1）班没有参加的．问这两个班没有参加天文小组各多少人？ 3．2019年2月《上海市生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现： ①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了20%； ②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占70%； ③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有20%的废纸； ④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克． 根据上述信息回答下面的问题： （1）学校现在每天生活垃圾重量是多少千克？ （2）学校现在每天的可回收物和干垃圾各多少千克？ （3）回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六、七年级每个学生清理干垃圾的效率分别为3千克/5分钟、5千克/5分钟，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟将所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 三．由实际问题抽象出二元一次方程组 1．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值金y两，则可列方程组为 　　 ． 2．《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何？”意思是：当下良田1亩，价值300钱；薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱．根据条件，良田买了 　　亩．（1顷＝100亩） 3．目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？ （2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？ 4．六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？ 四．三元一次方程组的应用 1．f（x）＝（每笔收费标准）， 当使用4m3时，缴费4元； 当使用25m3时，缴费14元； 当使用35m3时，缴费19元； 问：当使用20m3时，缴费多少元？ 2．每年“五一节”前天，建平中学组织高一年级学生开展“南京社会实践考察”活动，其中在第二天生存体验活动中，有三个班级购买“野生生存训练营”的门票．门票规定如下，个人票：每人20元；团体票（满30人）：每人18元，另每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．若高一（1）（2）合起来作为一个团体购票，应购门票1476元，若高一（2）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1566元，若高一（1）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1494元，求三个班级各有多少人？ 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．从甲地到乙地，先下山然后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平地，到乙地用了1小时；他回来以每小时8千米的速度上山，回到甲地用了1小时15分，求甲、乙两地间山路、平路各多少千米？ 2．预备（1）班、（2）班各有42人，两个班都有一些同学选修戏剧课，（1）班选修戏剧课的人数恰好是（2）班没有选修戏剧课的人数的，（2）班选修戏剧课的人数恰好是（1）班没有选修戏剧课的人数的，问六年级（1）班、（2）班选修戏剧课的各有多少人？ 3．为了保护环境，池州海螺集团决定购买10台污水处理设备，现有H和G两种型号设备，其中每台价格及月处理污水量如下表： H G 价格（万元/台） 15 12 处理污水量（吨/月） 250 220 经预算，海螺集团准备购买设备的资金不高于130万元． （1）请你设计该企业有几种购买方案？ （2）哪种方案处理污水多？ 4．学校操场的环形跑道长为250米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？ 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升） 大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有　　升酒． 2．丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题，内容如下：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”问：大数学家丢番图活了多少岁？ 用白话翻译过来就是说：丢番图的一生，幼年占了，青少年占了，又过了才结婚，5年之后生子，子先其父4年而死，寿命是他父亲的一半．丢番图活了多少岁？ 3．每年“五一节”前天，建平中学组织高一年级学生开展“南京社会实践考察”活动，其中在第二天生存体验活动中，有三个班级购买“野生生存训练营”的门票．门票规定如下，个人票：每人20元；团体票（满30人）：每人18元，另每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．若高一（1）（2）合起来作为一个团体购票，应购门票1476元，若高一（2）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1566元，若高一（1）（3）班合起来作为一个团体购票，应购门票1494元，求三个班级各有多少人？ 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．解下列方程组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．解方程组． 3．解方程组：． 4．《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．则每只雀的重量为　　两． 5．由于最近受季节的影响，产品A的价格有所下降，由原来的每千克20元下降了10%；产品B的价格有所上升，由原来的每千克46元上调至50元．某饭店到市场分别购进产品A和产品B共180千克，发现产品调价前后的总价格不变，问饭店购进这两种产品各多少千克？ 6．暑假快到了，王老师想让自己女儿的假期生活过的充实点，于是就花了14500元给女儿报了一个英语口语班和一个儿童绘画班，两门课程合计55课时，英语口语一课时的学费是300元，儿童绘画一课时的学费是220元，问王老师给女儿分别报了多少课时的英语口语和多少课时的儿童绘画？ 7．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是我市的电价标准（每月）． （1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 0＜x≤180 a元/度 二档 180＜x≤350 b元/度 三档 x＞350 0.9元/度 8．三个小组，第一小组人数是第二、第三小组人数和的，第二小组人数是第一、第三小组人数和的． （1）第一小组人数占三个小组总人数的 　　（填几分之几）． （2）如果第三小组有18人，那么第一小组和第二小组分别有多少人？ 9.“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽． 10．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元． 篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个） 95 60 （1）购进篮球和排球各多少个？ （2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？ 11．甲、乙两个班的学生到超市上购买苹果，苹果的价格如下： 购苹果数 不超过30kg 30kg以上但不超过50kg 50kg以上 每千克价格 3元 2.5元 2元 甲班分两次共购买苹果70千克（第二次多于第一次），共付出189元，乙班则一次购买苹果70千克． （1）乙班比甲班少付出多少元？ （2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 12．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$