精品解析：浙江省绍兴市新昌县农村初中五校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024学年第一学期五校联盟联考期中试卷 九年级数学 满分120分，考试时间为120分钟 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ） A. 三边上的高线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三个内角平分线的交点 4. 已知二次函数的图象经过点，则下列点不在图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 6. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 7. 点都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 如图四边形是平行四边形，四边形内接于，则大小为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为( ) A. B. C. D. 10. 如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．） 11. 如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是____． 12. 如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 13. 抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是______． 14. 如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于______． 15. 如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽4m，若水面下降1m，则此时水面宽度为 ________________m（结果允许保留根号的形式）． 16. 当时，二次函数的的最大值与最小值的差为，则n的取值范围______． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． （1）请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 18. 如图，在中，圆心角，． （1）求的长； （2）求阴影部分拱形面积．（保留） 19. 下表给出了一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，求的面积 20. 已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆，分别交于点． （1）求证：； （2）若，求所对的圆心角度数； （3）连接，求的度数． 21. 如图，是的直径，点C为上一点，D为弧的中点，过D作于点E，交于点F，交弦于点G，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 某书店销售儿童书刊，每套进价为元，当每套售价为元时，一天可销售出套．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价元，平均每天可多售出1套，设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若要书店每天盈利元，则需降价多少元？ （3）书店每天盈利能达到元吗？请说明理由． 23. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 24. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E． （1）求证：∠ABD＝∠BCD； （2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径； （3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期五校联盟联考期中试卷 九年级数学 满分120分，考试时间为120分钟 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 2. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为， 故选：C． 3. 三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ） A. 三边上的高线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三个内角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点．   故选： C． 4. 已知二次函数的图象经过点，则下列点不在图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确计算是解题关键． 先求出的值，然后再将各个点代入解析式中，判断是否在函数图象上即可． 【详解】解：的图像经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为：， A、当时，，故在函数图象上，故不符合题意； B、当时，，故不在函数图象上，故符合题意； C、当时，，故在函数图象上，故不符合题意； D、当时，，故在函数图象上，故不符合题意； 故选：B． 5. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 6. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 【详解】解：∵a个球中红球有3个，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在， ∴， ∴． 故选：A． 7. 点都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点都在函数的图象上，， ∴， 故选：B． 8. 如图四边形是平行四边形，四边形内接于，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及等边三角形判定与性质、平行四边形性质，掌握相关知识是解题关键．先判定都是等边三角形，得出即可求出结论． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， 都是等边三角形， 故选：C． 9. 已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，由点的纵坐标相同，可得，即得，再由二次函数与轴只有一个交点可得，即得，最后把代入二次函数解析式得，即可得，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图： 动点在边长为的正方形内，且， 点在以为直径的圆上，， 正方形的边长为， ，， 是的中点， ， 点与点关于对称， ，， ， 在中，， 当共线时，最小 线段的最小值为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．） 11. 如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案． 【详解】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°， 故转动一次，指针落在白色区域的概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键． 12. 如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 13. 抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是______． 【答案】（1，0） 【解析】 【详解】试题解析：∵y=x2-2x+1=（x-1）2， ∴抛物线顶点坐标为（1，0）． 14. 如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为r的扇形的面积． 连接，，求出的度数都是，求出，，得，根据等底、等高的三角形的面积相等得出和的面积相等，求出阴影部分的面积=扇形的面积，求出，再根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：连接，， ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点，是的直径， 的度数都是， ， ， 是等边三角形， ， ， 和的面积相等， 即阴影部分的面积=扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 15. 如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽4m，若水面下降1m，则此时水面宽度为 ________________m（结果允许保留根号的形式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了自建坐标系求解拱形桥问题，根据题意建立适当的平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题即可求解，熟练掌握二次函数的解析式求函数值是解题的关键． 【详解】解：如图： 以拱顶到水面的距离为3米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 根据题意设二次函数解析式为： 把代入，得 解得 ∴二次函数解析式为：， ∴当时， 解得． ∴水面的宽度为． 故答案为：． 16. 当时，二次函数的的最大值与最小值的差为，则n的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为：直线，二次函数的最小值为：， ∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时， 当时，y随的x增大而减小， 那么时取得最大值，时取得最小值，最大值为，最小值为， 已知最大值与最小值的差为，则可列出方程， 解得，但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时，此时时取得最大值，时取得最小值，最大值为，最小值为， 此时最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时，此时时取得最小值，时取得最大值，最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为，则可列出方程， 解得，但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ∴综上，得到n的取值范围为： 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． （1）请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2） 不公平；理由： 取出的两张卡片上的数字和为奇数的有4种，数字和为偶数的有5种， 则取出的两张卡片上的数字数字和为奇数的概率是，和为偶数的概率是， ∵， 因此，这个游戏不公平． 【解析】 【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． （1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率； （2）根据（1）中树状图，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：画树状图得： 由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字都为奇数的结果有4种， 则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，圆心角，． （1）求的长； （2）求阴影部分拱形面积．（保留） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查求弧长以及不规则图形的面积，熟练掌握基本公式是解题关键． （1）先求出半径，再直接利用弧长公式求解即可； （2）先求出扇形的面积，再减去直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵圆心角，． ∴，且， ∴， ∴的长为：； 【小问2详解】 解：扇形的面积为：， 直角三角形的面积为：， ∴阴影部分拱形面积为：． 19. 下表给出了一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，求的面积 【答案】（1）； （2）2． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）直接利用待定系数法解题即可； （2）先找到三点，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知函数图象过与， ∴可设二次函数表达式为：， 又函数过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为：． 【小问2详解】 解：由表格可知与x轴的交点为：与， 二次函数表达式变形为：； ∴顶点坐标为：， ∴的面积为：． 20. 已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆，分别交于点． （1）求证：； （2）若，求所对的圆心角度数； （3）连接，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为，可得，再根据等腰三角形的性质，可证． （2）连接，，根据等腰三角形的性质，可得，再根据圆周角和圆心角的关系可得所对的圆心角度数． （3）连接，根据等腰三角形和三角形外角的性质，可得，，再根据平角可得，即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴所对的圆心角度数． 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形，三角形内角和，三角形外角的性质，平角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，是的直径，点C为上一点，D为弧的中点，过D作于点E，交于点F，交弦于点G，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：是的中点， ， 为的直径，， ， ， ，， ， ； （2）5． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理的内容． （1）根据证明，可得结论； （2）先根据垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 为的直径，， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 的半径为5． 22. 某书店销售儿童书刊，每套进价为元，当每套售价为元时，一天可销售出套．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价元，平均每天可多售出1套，设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若要书店每天盈利元，则需降价多少元？ （3）书店每天盈利能达到元吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）元； （3） 不可以，理由如下： ， 则当时，y取得最大值，即书店的盈利不可以达到元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售套，即可求解； （2）求解方程即可； （3）根据可得利润的最大值，即可求解； 【小问1详解】 解：设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售套， 由题意得：； 【小问2详解】 解：当时， 整理得：， 解得：， 但为了尽快减少库存，所以只取， 答：若每天盈利元，为了尽快减少库存，则应降价元； 【小问3详解】 解：略． 23. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 【答案】（1） （2）球不能射进球门，理由： 依题意，当时，， 球不能射进球门． （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律： （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 24. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E． （1）求证：∠ABD＝∠BCD； （2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径； （3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠BCD； （2）12； （3）AF+BC＝DF．理由如下： 如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N， ∵四边形DACB内接于圆， ∴∠DBN＝∠DAF， ∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB， ∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN， ∴△DAF≌△DBN（AAS）， ∴AF＝BN，CF＝CN， ∵∠FCD＝45°， ∴DF＝CF， ∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF． 即AF+BC＝DF． 【解析】 【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD； （2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB＝AD，可求出AB,则答案得出； （3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，可证明△DAF≌△DBN，则AF＝BN，DF＝CF则结论AF+BC＝DF可得出． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝∠BCD＝45°， ∵AE＝17， ∴ME＝AM＝17×＝， ∵DE＝13， ∴DM＝ ∴AD＝AM+DM＝， ∴AB＝AD＝ ∴AO＝＝12； （3）略 【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形，全等三角形的判定及性质，掌握圆的有关性质，学会对知识融会贯通是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $