精品解析：山东省济南市章丘区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

章丘区2024-2025学年第一学期期中考试 八年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 25的算术平方根是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. ±5 D. 2. 下列数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在第四象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为( ) A. B. C. D. 5. 直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为（ ） A. 6. B. 8 C. D. 6. 已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ） A. 1 B. 2 C. 2a D. 1﹣2a 8. 直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A. B. C. D. 9. 如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）dm． A. 12 B. 10 C. 17 D. 25 10. 如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A. B. C. D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 是_____的立方根． 12. 平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为 ____________． 13. 如图，函数的图象过点，则关于的方程的解______． 14. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______（滑轮上方的部分忽略不计）． 15. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50千米时，时间t（小时）的所有可能的值为_______________________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，直线是一次函数的图象，且经过点和点． （1）求和的值； （2）求点C的坐标以及直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 18. 我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． （1）求四边形的空地的面积； （2）已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 19. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作使和关于轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 20. 如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 21. 阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： ； （2）①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 22. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； （2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式； （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是几点？ 23. 如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，连接交于点已知，． （1）求证：； （2）求； （3）求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线和直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）动点在直线和直线上运动，如果存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 25. 在中，，的中垂线交于D，交于点E且． （1）如图1，连接，则 ， ； （2）如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； （3）如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2024-2025学年第一学期期中考试 八年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 25的算术平方根是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. ±5 D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴25的算术平方根是5． 故选A． 2. 下列数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、开不尽方，是无理数，故此选项符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是负整数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数是无理数，其中初中范围内学习的无理数有：含π的数；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律但是不循环的数． 3. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义解答逐个判断即可． 【详解】对于A，C，D选项，给出一个x的值，只有一个y与之相对应，所以不符合题意，对于B，给出一个x的值，不是只有一个y值与之相对应，所以符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的判断，掌握定义是解题的关键．即有两个变量x，y，如果给出x的一个值，y就有唯一的值与它相对应，那么x叫做自变量，y叫做x的函数． 4. 已知点在第四象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．注意第四象限的点的符号特点是．应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断其具体坐标． 【详解】解：∵第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0；点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为4， ∴点P的纵坐标为，横坐标为4， ∴点P的坐标是． 故选：D． 5. 直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为（ ） A. 6. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理和等积法进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 直角三角形的斜边长为：，设斜边上的高为：， 由直角三角形的面积相等可得：， 解得：； 故选D． 【点睛】本题求直角三角形斜边上的高．熟练掌握等积法是解题的关键． 6. 已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵是一次函数的图象上三点， 且， ∴． 故选：C． 7. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ） A. 1 B. 2 C. 2a D. 1﹣2a 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴得∶ 0<a<1，得到a>0， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<a<1， ∴a>0， a-1<0， ∴原式=|a|+1+1-a =a+1+1- a =2． 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键． 8. 直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线经过的象限，确定、的正负性，再据此判断直线经过的象限。本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数（、为常数，）中、对函数图象的影响是解题的关键。 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， ∴直线的图象经过第一、三、四象限， 故选：D 9. 如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）dm． A. 12 B. 10 C. 17 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得． 故选 C． 【点睛】本题主要考查了平面展开最短路径问题，掌握两点间线段最短是解答本题的关键． 10. 如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【详解】点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案选： A． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 是_____的立方根． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴是的立方根， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知：若，则，x叫做a的立方根． 12. 平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴上点坐标的特征熟练掌握轴上点坐标的横坐标为是解题的关键． 由点在轴上，可得, 计算求解，进而可得点的坐标 【详解】点在轴上， 解得． 13. 如图，函数的图象过点，则关于的方程的解______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象过点可知时，，即可得到关于x的方程的解是． 【详解】解：由图象可得：关于x的方程的解是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 14. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______（滑轮上方的部分忽略不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为，过点C作于B， 则 在中， 即， 解得：，即旗杆的高度为17米． 故答案为：． 15. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50千米时，时间t（小时）的所有可能的值为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确识图，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间． 【详解】设甲车离开A城的距离y与t的关系式为 把（5，300）代入可得， 解得， ∴， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把（1，0）和（4，300）代入可得， 解得， ∴， 令，可得， 解得：或， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达B城，， 综上，当甲、乙两车相距50千米时，或或或， 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算． （1）利用二次根式性质先化简，先计算二次根式的除法，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，直线是一次函数的图象，且经过点和点． （1）求和的值； （2）求点C的坐标以及直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1）， （2）C的坐标， 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及与坐标轴围成的三角形的面积的计算． （1）将点和点代入一次函数，解方程组即可； （2）求出直线l与x轴交点坐标，利用三角形面积公式即可解决． 【小问1详解】 将点和点代入， 得：， 解得：， ∴， 【小问2详解】 由（1）可得， 令时，， 解得：， 即直线l与x轴交点， 则， 点， ， ∴， ∴直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 18. 我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． （1）求四边形的空地的面积； （2）已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】（1）24 （2）3840 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，，米，米， 由勾股定理得米， ∵米，米， ，， ∴， ∴， 该区域面积 (平方米)， 【小问2详解】 用该草坪铺满这块空地共需花费元． 答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元． 19. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作使和关于轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）先根据轴对称性质得到对应点，再顺次连接可得图形； （2）根据图形可得答案； （3）根据网格特点和割补法求解三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：． 20. 如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】（1）台风中心经过30h从点移到点； （2）市受到台风影响的时间持续． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，即可求解； （2）在射线上取点，使得，利用勾股定理求出，进而求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， 在中，， ∴， 答：台风中心经过从点移到点； 【小问2详解】 解：如图，在射线上取点，使得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：市受到台风影响的时间持续． 21. 阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： ； （2）①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 【答案】（1） （2） ①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ② （3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． （3）将，两个式子分别平方后，再进行比较． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略； ②三角形任意两边之和大于第三边， ． 【小问3详解】 解：，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． 22. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； （2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式； （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是几点？ 【答案】（1） 描出各点，并连接，如图所示： （2） （3）上午 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握用描点法画函数图象和用待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）将代入（）中求得的与之间的函数表达式，求出对应的值并根据本次实验记录的开始时间是上午，从而即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为， ∵点，在该函数上， ∴， 解得：， ∴与的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得：， ， 即圆柱体容器液面高度达到厘米时是上午． 23. 如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，连接交于点已知，． （1）求证：； （2）求； （3）求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，，，， ， 与关于成轴对称， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出，就可以得出， （2）设，就有，，在中，由勾股定理就可以求出，根据三角形的面积公式就可以求出结论； （3）由翻折可得垂直平分，，根据三角形的面积公式求出，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，， ，， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ， ， ； 【小问3详解】 解：由翻折可知：垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时运用勾股定理求出的值是关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线和直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）动点在直线和直线上运动，如果存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先求出的值，再分两种情况：①动点在直线上运动；②动点在直线上运动，求出的值，建立方程求解即可得． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则直线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴的边上的高为， 则的面积为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ①当动点在直线上运动时，则设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； ②当动点在直线上运动时，则设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 25. 在中，，的中垂线交于D，交于点E且． （1）如图1，连接，则 ， ； （2）如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； （3）如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，请求出的最小值． 【答案】（1）， （2）的长为5 （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识； （1）先由线段垂直平分线的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）连接，过作于，在上取一点，使，连接，，证明，可得，即可得到，当，，都在线段上时，最小，最后由面积法求出即可． 【小问1详解】 解：是的中垂线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即，= 故答案为：， 【小问2详解】 解：是的中垂线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即的长为5； 【小问3详解】 解：如图，连接，过作于，在上取一点，使，连接，，则 是的中垂线， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，都在线段上时，最小， 由（2）得：，， ， ， 的面积 ， 即的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $