精品解析：江苏省徐州市2024-2025学年上学期九年级数学期末调研试卷三（含部分下册内容）

2024~2025学年度第一学期期末学情调研卷三 九年级数学试题 （友情提醒：本卷共6页，满分为140分，考试时间为90分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 2. 已知数据，，，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 16 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 4. 在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ） A. 3倍 B. 6倍 C. 8倍 D. 9倍 6. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是弦，是切线，过点B作于D，交于点E，若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图为函数的图象，其与x轴交于和两点．下列结论正确的有（　） （1）；（2）；（3）对称轴为直线；（4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 个 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 已知，则的值为______． 10. 一只不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色外无其它差别，如果从该布袋中一次摸出两个球，则两个都是红球的概率为_______． 11. 抛物线的顶点坐标是________． 12. 小明本学期数学综合实践活动、期中考试和期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，若将上述三项成绩按计算，则小明本学期的数学成绩是_______分． 13. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________． 14. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为_____________米． 15. 《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为_________． 16. 如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，连接，则面积的最大值为____________． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17. （1）计算； （2）解方程：． 18. 某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“燃料燃烧”“电池充电”“镜花水月”“冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片(其中主要为化学变化， 主要为物理现象)．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽． （1）小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是_______． （2）这个规则对小云和小南公平吗?请用列表或画树状图法说明理由． 19. 某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为万辆，那么9月份销售的月增量为（万辆），月增长率为． （1）下列说法正确的是____________． A．2月份的销售量为万辆 B．2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆 C．5月份的销售量最大 D．5月份销售的月增长率最大 （2）6月份的销售量比1月份增加了____________万辆． （3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … … … … （1）求该函数的表达式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）当时，的取值范围为_______． 21. 如图，小明准备围一个矩形菜园，它的一边是墙（墙最长可利用8米），其余三边用长为15米的围栏，，并在段留有1米宽的门． （1）要使菜园的面积为30平方米，求段的长． （2）求当的长为多少米时，围成的矩形菜园面积最大． 22. 如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ） 24. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点． （1）参照图所示，在图中，请用无刻度的直尺和圆规对的圆周进行三等分（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为____ ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； （3）如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末学情调研卷三 九年级数学试题 （友情提醒：本卷共6页，满分为140分，考试时间为90分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在内， 故选：A． 2. 已知数据，，，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查方差的性质．先设这组数据的平均数为，则另一组新数据的平均数为，方差为，代入公式进行推导可求出答案． 【详解】解：设这组数据的平均数为，则另一组新数据的平均数为， ∵， ∴ = = ， 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 4. 在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确记忆三角函数的定义是解题关键． 先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ） A. 3倍 B. 6倍 C. 8倍 D. 9倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，当一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的倍， 故选：D． 6. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 故选：B． 7. 如图，在中，是弦，是切线，过点B作于D，交于点E，若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，角平分线的性质及垂直的定义，根据切线的性质，得，再由已知条件可得，从而求出． 【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示： ∴， ∴， 是切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 8. 如图为函数的图象，其与x轴交于和两点．下列结论正确的有（　） （1）；（2）；（3）对称轴为直线；（4） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与其系数的关系，根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，得到，根据对称性求出对称轴为直线，进而由对称轴计算公式推出，据此可判断（1）（3）；当时，，据此可判断（2）；当时，，则，进而可得，据此可判断（4）． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于和两点， ∴对称轴为直线，故（3）正确； ∴， ∴， ∴，故（1）错误； 当时，，故（2）错误； 当时，， ∴， ∴，故（4）正确， ∴正确的有2个， 故选：B． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 已知，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形． 由，根据比例的性质，即可求得的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 10. 一只不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色外无其它差别，如果从该布袋中一次摸出两个球，则两个都是红球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 根据题意可列出树状图求概率进行求解即可． 【详解】画树状图： 共有个等可能的结果，摸到的两个红球的有种结果， 摸到的两个红球的概率是：． 故答案为： 11. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 12. 小明本学期数学综合实践活动、期中考试和期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，若将上述三项成绩按计算，则小明本学期的数学成绩是_______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，结合小明的期末考试成绩，求出小明的数学成绩即可． 【详解】解：小明的数学成绩是（分）． 故答案为：． 13. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先计算，再利用计算即可． 【详解】解：∵，，， ， 圆锥的侧面积， 故答案为：． 14. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为_____________米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角的问题，以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形，难度不大．过点作于点，利用直角三角形的解法得出，进而解答即可． 【详解】解：过点作于点， 当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为， 米，， （米）， 旗杆的高度（米）， 故答案为：． 15. 《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质，正多边形和圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．设位似中心为O，连接，，首先得到，然后利用勾股定理求出，然后根据位似图形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设位似中心为O，连接， ∵正方形的外接圆半径为4， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． ∴正方形的周长为． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，连接，则面积的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二次函数求最值．先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出，设，则，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，得出，然后求出，再根据三角形的面积公式求出的面积，再根据函数的性质求最值． 【详解】解：作于， 四边形是正方形， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 设，则， ， 四边形是正方形，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ， ， 当时，的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17. （1）计算； （2）解方程：． 【答案】（1）12；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根、乘方、化简绝对值以及特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可； （2）方程运用公式法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ∵，，， ， ∴， ∴，； 18. 某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“燃料燃烧”“电池充电”“镜花水月”“冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片(其中主要为化学变化， 主要为物理现象)．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽． （1）小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是_______． （2）这个规则对小云和小南公平吗?请用列表或画树状图法说明理由． 【答案】（1）； （2） 这个规则对小云和小南公平，理由： 画树状图如下， 由树状图可得，共有种等结果，其中两张卡片上都是化学变化的结果有种，两张卡片上都是物理现象的结果有种， ∴，， ∵， ∴这个规则对小云和小南公平． 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，求出小云和小南分享的概率即可判断求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小云从张卡片中随机抽取一张，有种结果，其中卡片正面图案是物理现象的结果有种， ∴小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为万辆，那么9月份销售的月增量为（万辆），月增长率为． （1）下列说法正确的是____________． A．2月份的销售量为万辆 B．2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆 C．5月份的销售量最大 D．5月份销售的月增长率最大 （2）6月份的销售量比1月份增加了____________万辆． （3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 【答案】（1）B （2） （3） 解：不同意这种观点，理由如下： 月增长量为正，即当月销售量比上月增加，月增长量为负，即当月销售量比上月减少， 3月份增长量为，即3月份相比2月份销售量增加， 4月份增长量为，即4月份相比3月份销售量减少，即销售量不是持续减少． 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图以及算术平均数，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据相关概念和数据进行逐项分析即可； （2）设1月份销售量为，求出6月份的销售量，作差即可； （3）根据月增长量的意义进行分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：A．∵月增量当月的销售量上月的销售量，不知道1月份的销售量， ∴无法得到2月份的销售量，故选项错误，不合题意； B．∵， ∴2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆， 故选项正确，符合题意； C．∵6月份的月增量为， ∴5月份的销售量小于6月份的销售量， 即5月份的销售量不是最大，故选项错误，不合题意； D．因为不知道1月份的销售量，无法求得各月的销售量，无法计算月增长率，则不能判断5月份销售的月增长率最大，故选项错误，不合题意； 故答案为：B； 【小问2详解】 解：设1月份销售量为可得： ， ∴， ∴增加了万辆； 故答案为：； 【小问3详解】 略 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … … … … （1）求该函数的表达式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）当时，的取值范围为_______． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由表格可设二次函数的解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）由（2）中的图象可直接进行求解． 【小问1详解】 解：设函数的表达式为， 将，代入得， 则该函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：如图，画出这个二次函数的图象如下： 【小问3详解】 解：当和当的函数值相同， 对称轴为直线， 当时的函数值小于的函数值， 函数开口向上，在对称轴处有最小值， 结合函数图象可知，当时，， 故答案为：． 21. 如图，小明准备围一个矩形菜园，它的一边是墙（墙最长可利用8米），其余三边用长为15米的围栏，，并在段留有1米宽的门． （1）要使菜园的面积为30平方米，求段的长． （2）求当的长为多少米时，围成的矩形菜园面积最大． 【答案】（1）的长为5米 （2）当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设的长为x米，则的长为米，根据菜园的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合围墙最长可利用8米，即可得出结论； （2）设矩形面积为S平方米，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：，整理得：，解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为5米； 【小问2详解】 解：设矩形面积为S平方米，根据题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值32， 当时，，符合题意． ∴当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 22. 如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）连接，证出，证明即可； （2）连接，证明，再由勾股定理求得，最后三角形的面积公式求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，是斜边上的中线， ， 为直径， ， ， ， ， ． 23. 如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ） 【答案】农夫所在的E处到地面的高度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于，先利用三角形内角和等边对等角求出，，解直角三角形，求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H， ∵米，，米，米， ∴，米，米， ∴， 在中，米； 答：农夫所在的E处到地面的高度为米． 24. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点． （1）参照图所示，在图中，请用无刻度的直尺和圆规对的圆周进行三等分（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为____ ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键． （1）根据尺规作图的基本步骤解答即可； （2）连接，设，的交点为，得到，根据的半径为，是直径，是等边三角形，计算即可． 【小问1详解】 解：根据基本作图的步骤，作图如下： 则点A，B，C是求作的的圆周三等分点． 【小问2详解】 连接，设，的交点为， 根据垂径定理得到， ∵的半径为，是直径， 是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； （3）如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $