精品解析：江苏省镇江市京口区京口中学、镇江市第十中学2024-2025学年九年级上学期11月期中联考数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段性学习评价Ⅰ 九年级数学试卷 本试卷共6页，共28题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、填空题（每小题2分，共24分） 1. 方程解是 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 方程两边同时开方得：， 解得， 故答案为：． 2. 已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，涉及平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 【详解】解： ∵方程可以用直接开平方法求解， ∴． 故答案为． 3. “海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，若直线与圆有两个公共点，直线与圆相交，通过观察可直接选出答案． 【详解】由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点，所以太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交． 4. 圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为___度. 【答案】65 【解析】 【详解】解：∵∠CBE=50°， ∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°， ∵DA=DC， ∴∠DAC==65°． 故答案为：65． 6. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是_____． 【答案】14 【解析】 【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可． 【详解】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14， 故答案为14． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 7. 如图，中，．则的内切圆半径_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设、、与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图， 在中，， 根据勾股定理. 四边形中，，， ∴四边形是正方形.. 由切线长定理，得：，，； ∴； ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 8. 如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程__________________________． 【答案】 【解析】 【分析】设道路的宽为，将6块草地平移为一个长方形，长为，宽为．根据长方形面积公式即可列方程． 【详解】设道路的宽为， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 9. 如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】由 直接代入数据进行计算即可. 【详解】解：如图，由题意得： 设 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键. 10. 已知关于x方程的两根为，则方程的两根分别是__． 【答案】0或1 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握运用换元法解一元二次方程成为解题的关键． 设可得，再根据方程的解的定义可得，最后确定方程的两根即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵关于x的方程的两根为， ∴关于t的方程的两根为， ∵， ∴， ∴程的两根分别是0或1． 故答案为：0或1． 11. 在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r的取值范围是__． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，再用面积法求出的长，考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上． 【详解】解：过点C作于点D， ∵在中，， ， ， ， 如图，当与相切时， 则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时， 则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 12. 已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 二、选择题（每小题3分，共18分） 13. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1． 【详解】解：A．方程二次项系数可能为0，故错误； B．方程含有两个未知数，故错误； C．符合一元二次方程的定义，正确； D．不是整式方程，故错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 14. 嘉嘉在半径为的中测量弦的长度，则下列测量结果中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆，直径为， ∴在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， ∴弦的长度可以是，，，不可能为． 故选：D． 15. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确； 故选：A． 16. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. 16（1﹣x）2＝9 B. 9（1+x）2＝16 C. 16（1﹣2x）＝9 D. 9（1+2x）＝16 【答案】A 【解析】 【分析】根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：16（1-x）2=9． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元一次方程的定义；先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 18. 如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切． A. 3 B. 7 C. 3或7 D. 6或14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆位置关系和含角的直角三角形的性质．根据题意与相切分：在直线左侧时，在直线右侧时，求出运动的路程，即可根据速度求得时间． 【详解】解：①由题意可知与相切于点E， ∴， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒． ②当圆心P在直线的右侧时，， 则需要运动的时间为秒． 综上所述，与直线相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）， （2）， （3），； （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开平方法，因式分解法，公式法是解题的关键． （1）用直接开平方法，即可求解； （2）可求，，，，由求根公式，进行求解即可． （3）将方程右边的项移到左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； （4）将方程整理后进行因式分解，化为的形式，即可求解． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问3详解】 解： ，即 或， ，； 【小问4详解】 解： 或， ，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）经过A、B、C三点，则点M的坐标是　　； （2）直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）直线l与相交，理由见解析 【解析】 【分析】本题主经考查了网络作图．熟练掌握垂径定理，勾股定理，直线和圆的位置关系，是解题的关键． （1）根据垂径定理推论，得弦的垂直平分线相交于一点M，点M即为圆心； （2）根据垂直x轴，求出的长，比较即得． 【小问1详解】 解：如图， 经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：直线l与相交，理由： 连接， ∵直线l经过点，且平行于y轴， ∴直线l交x轴于点，， ∴， ∵， ， ∴， 故直线l与相交． 21. 某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米的篱笆围成.如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米 (1)若苗圃园的面积为108m2，求x的值， (2)苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x；若不能，说明理由. 【答案】(1)x的值为6m或9m；(2)不存在想使得苗圃园的面积能达到120m2，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据“长方形的面积=长×宽”列出方程即可求出答案． （2）根据“长方形的面积=长×宽”列出方程即可求出答案． 【详解】（1）由题意可知：(30﹣2x)x＝108， 解得：x＝6或x＝9， 由于0＜30﹣2x≤20， 解得：5≤x＜15， 答：若苗圃园的面积为108m2，x的值为6m或9m． （2）由题意可知：(30﹣2x)x＝120， ∴x2﹣15x+60＝0， ∴△＝152﹣4×60＝﹣15＜0， 此时方程无解， 答：不存在想使得苗圃园的面积能达到120m2 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 22. 如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键. （1）如图：连接，根据角平分线的判定定理可得，再结合等腰三角形的性质可得，可证明，利用平行线的性质可得，即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再运用角平分线的性质定理可得．再根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、，进而求得,最后根据求解即可. 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵，且， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴在中，， ∴, ∵， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∴. 23. 奔赴苍穹，逐梦九天，2024年十月三十日神舟十九号成功发射，开创了中国航天的新里程．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，平均每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出10个． （1）若设每个模型降价x元，平均每天可售出　　个； （2）要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每个模型的售价应降低8元 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出方程． （1）根据“平均每天可售出100个，售价每降低1元，平均每天可多售出10个”即可求解； （2）根据“每天的利润=降价后每个模型利润×每天售出数量” 即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； 【小问1详解】 解：∵每降价1元，每天可多售10个， ∴降价x元，每天多售个， ∵未降价前每天售出100个， ∴降价后，每天售出个； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每个模型的售价应降低x元， 根据题意得： ， 整理得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：每个模型的售价应降低8元； 24. 如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，将这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角分别记作、、，我们知道根据正方形的性质，， （1）请直接写出　　°，α6=　　°； （2）请直接写出正n边形相邻两条对角线的夹角　　（用含n的代数式表示）； （3）爱思考的小敏提出：如图4，点M、N分别是正五边形、上的动点，且始终保持，与的夹角β与相等，你同意她的观点吗？请说明理由． 【答案】（1）108；120 （2） （3）同意，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用， （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）设与的交点为F，利用全等三角形的判定得，进而得即可得出结论． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 由正六边形，可得∶ ∴，， ∴， ∴； 故答案为∶108，120； 【小问2详解】 根据（1）中的结果发现，等于正n边形一个内角的度数， ， 故答案为∶； 【小问3详解】 解：同意，理由如下： 设与的交点为F， 由正五边形，可得：，， 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴， ∴我同意小敏的观点． 25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 【答案】（1）② （2）作图见解析， （3）； 【解析】 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据个矩形的总面积为，知，即；而中间围成的正方形边长为，可得解． 【小问1详解】 解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∴解法正确的构图是②， 故答案为：②； 【小问2详解】 首先构造了如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴方程的正数解是； 【小问3详解】 如图：∵， ∴， ∵个矩形的总面积为， ∴， ∴， 解得：， ∵中间围成的正方形边长为， ∴， ∵，表示边长， ∴， 解得：， 故答案为：；． 26. [模型建立] 如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　． [拓展延伸] 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）或；（2）；[拓展延伸] 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题； [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点在外，②点在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸] 取中点，连接，，过点作，可得是的中位线，则点在为圆心，为半径的圆上运动．在中，得出，进而可得的最大值为． 【详解】解：[问题解决] 如图，点为上任意一点，连接，，   当点与点不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点与点重合时，， ∴综上可得，， ∵点为上任意一点， ∴的长是点到上的点的最长距离． [初步应用] （1）若点在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为； 若点在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为； 综上所述，的半径为或． 故答案为：或 （2）连接，交于点，由[模型建立]可得的长是点到上的点的最短距离， 的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸]如图所示， 取的中点，连接，，过点作 ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴点在为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在上，线段取得最大值， ∵ ∴， ∴， 在中， ∴的最大值为 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期阶段性学习评价Ⅰ 九年级数学试卷 本试卷共6页，共28题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、填空题（每小题2分，共24分） 1. 方程的解是 _________________． 2. 已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是__． 3. “海上生明月，天涯共此时”，如图是记录日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是______． 4. 圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______． 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为___度. 6. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是_____． 7. 如图，中，．则的内切圆半径_______． 8. 如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程__________________________． 9. 如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为______． 10. 已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是__． 11. 在直角三角形中，，以点C为圆心作，半径为r，已知边和有一个公共点，则r取值范围是__． 12. 已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 二、选择题（每小题3分，共18分） 13. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C D. 14. 嘉嘉在半径为的中测量弦的长度，则下列测量结果中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 15. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. 16（1﹣x）2＝9 B. 9（1+x）2＝16 C. 16（1﹣2x）＝9 D. 9（1+2x）＝16 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 18. 如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切． A. 3 B. 7 C. 3或7 D. 6或14 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； 20. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）经过A、B、C三点，则点M的坐标是　　； （2）直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 21. 某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米的篱笆围成.如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米 (1)若苗圃园的面积为108m2，求x的值， (2)苗圃园面积能达到120m2吗？若能，求出x；若不能，说明理由. 22. 如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 奔赴苍穹，逐梦九天，2024年十月三十日神舟十九号成功发射，开创了中国航天的新里程．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，平均每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出10个． （1）若设每个模型降价x元，平均每天可售出　　个； （2）要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元？ 24. 如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，将这三种正多边形相邻两条对角线的夹角分别记作、、，我们知道根据正方形的性质，， （1）请直接写出　　°，α6=　　°； （2）请直接写出正n边形相邻两条对角线的夹角　　（用含n的代数式表示）； （3）爱思考的小敏提出：如图4，点M、N分别是正五边形、上的动点，且始终保持，与的夹角β与相等，你同意她的观点吗？请说明理由． 25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 26. [模型建立] 如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　． [拓展延伸] 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$