精品解析：陕西省榆林市府谷县高中联考2024-2025学年高三上学期第五次考试（12月）数学试题

2024年秋季学期高三年级第五次考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合，常用逻辑用语与不等式，函数的概念､性质与基本初等函数，一元函数的导数及其应用，三角函数，平面向量与复数，数列，解三角形，立体几何与空间向量，解析几何. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义求解即得. 【详解】依题意，，因此中不能有元素1，2，3，选项ABC不满足，D符合题意. 故选：D 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】当时，，， 此时，故，故充分性成立， 当时，满足，解得， 故此时必要性成立，故C正确. 故选：C 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式，将条件与目标式均化为首项与公差表示即可． 【详解】在等差数列中，设首项和公差分别为，则 ， 解得. 故选：B. 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】∵为奇函数， ∴， ∴，即，解得， 经检验符合题意，所以. 故选：A. 5. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值， 故选：D． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两角和的正切公式得到，再根据二倍角公式以及同角三角函数之间的关系求得结果. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：B. 7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距表示出即可求出渐近线方程. 【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点， 则，而，因此，， 则，令与的半焦距为， 由，得，于是，解得，则， ，所以的渐近线方程为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数除法求得，然后根据复数的概念、几何意义，复数的运算判断各选项． 【详解】的虚部为5，故A错误； 在复平面中对应的点在第三象限，故B正确； ，故C正确； 虚数不能比较大小，故D错误， 故选：BC. 10. 已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ） A. 函数的零点为， B. 函数的最小值为 C. 方程有3个解 D. 方程最多有4个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合函数性质及函数新定义对选项一一分析即可. 【详解】对于A，由，即，得或，所以的零点为和3，所以A不正确； 对于B，因为的解为和，由与的图象可知， 当时，有最小值，所以B正确； 对于C，因为的图象与有3个交点， 所以方程有3个解，所以C正确； 对于D，令，因为，由选项B中的图象可知， 当时，最多有2个解，， 当时，有2个解；而有2个解， 故最多有4个解，所以D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D. 【详解】因为函数，则，其中， 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，故A正确； 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误； 假设存在实数使得函数在定义域上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为的值域为， 所以函数无最小值， 故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误； 若恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确； 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出双曲线的焦点坐标，可判断左焦点在抛物线准线上，从而待定系数法求抛物线标准方程． 【详解】双曲线的焦点为，可得，则抛物线的标准方程为. 故答案为：． 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由其相邻对称轴之间的距离为，确定函数的周期，结合周期与的关系求，结合对称轴求. 【详解】由题意可知，，所以， 所以，所以， 又函数的图象关于对称， 又，且， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四棱锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，根据线面垂直的性质定理得到线线垂直，再根据边长之间的关系以及余弦定理求得，再根据棱锥的体积公式可求得结果. 【详解】连接，如图所示： 因为，所以直线与所成角为（或其补角）， 因为平面，所以， 又底面为矩形，所以， 因为，平面，平面，而平面， 所以，所以均为直角三角形， 设，则，即， 因为点E为的中点，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四棱锥的体积. 故答案为：. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、异面直线所成的角、锥体的体积公式，关键点点睛： （1）直线垂直平面，则这条直线垂直平面内任何一条直线； （2）锥体体积底面积高； （3）异面直线所成的角取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用特殊角的余弦值及角的范围可得； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 即，所以， 又，所以，所以，即， 所以； 【小问2详解】 在中，由，，及得， ，即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 16. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，证明：数列的前n项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，可得数列的通项公式； （2），裂项相消求得，由，可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，，成等差数列知，， 即， 所以，有，即或. ①当时，，不合题意； ②当时，，得， 所以等比数列的通项公式； 【小问2详解】 证明：由（1）知， 所以， 所以数列的前n项和， 由，可得. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接， 在菱形中，，，所以， 在中，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得逆定理及线面垂直判定定理证明平面，再结合菱形的对角线性质及线面垂直判定定理证明平面，再利用线面垂直性质定理即可证明结论； （2）先根据题意建立合适的空间直角坐标系，再求分别得平面与平面的法向量，再结合夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记，连接， 由点是棱的中点，且点是的中点，所以， 又由（1）知平面，所以平面， 则以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 因为是的中点，且， 所以， 所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值为． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 【答案】（1） （2） 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， 设点P的坐标为，，有，可得， 直线BD的方程为，整理为； 直线AD的方程为，整理为； 直线AP的方程为； 联立方程，解得，M的横坐标为， 直线BP的方程为， 联立方程，解得：，N的横坐标为， ， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直. 【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程. （2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明. 【小问1详解】 设椭圆C的焦距为2c，由题意有：，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线与的垂直关系转化为横坐标相等是解题的关键. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若为函数的正零点，证明：. 【答案】（1） 当时，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； （2）证明如下： 由（1）可知当时，函数的减区间为，增区间为， 可知等价于. 因为，为函数的正零点， 所以，等价于证明， 又由， 令，有， 可得 ， 令，有， 可得函数单调递减，有， 可得当时，. 故有，可得得证. 【解析】 【分析】（1）先得到函数的定义域，求出导函数，然后分三种情况讨论即可求得结果； （2）根据（1）中的结论得到单调区间，将不等式转化为函数之间的关系，即可得到恒成立问题，构造新的函数，再根据导数讨论单调性即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， ①当即时，， 函数单调递增，增区间为，没有减区间； ②当时，令，解得， 当，则，即时， 可得函数的减区间为，增区间为； ③当，则，即时， 可得函数的减区间为，增区间为； 综上，当时，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：借助导数讨论函数单调区间的方法： （1）根据函数解析式得到函数的定义域，单调区间均在定义域内讨论； （2）求出函数的导函数，根据导函数的正负来判断原函数的单调性，这个时候注意分情况讨论，大多数时候需要令导函数为零求出极值； （3）本题关键点是利用单调性和零点定义将不等式转化为恒成立问题，然后通过换元构造新的函数，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想和分类讨论思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期高三年级第五次考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合，常用逻辑用语与不等式，函数的概念､性质与基本初等函数，一元函数的导数及其应用，三角函数，平面向量与复数，数列，解三角形，立体几何与空间向量，解析几何. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 5. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 10. 已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ） A. 函数的零点为， B. 函数的最小值为 C. 方程有3个解 D. 方程最多有4个解 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为__________. 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四棱锥的体积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 16. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，证明：数列的前n项和. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若为函数的正零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $