复习08 三角函数的图象与性质（十二大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习08 三角函数的图象与性质 知识点 1 ：正余弦函数的图象 1.正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 知识点 2 ：周期函数 1.周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 知识点 3 ：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 知识点 4 ：正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 考点01三角函数的定义域问题 例1．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为： 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得. 解得. 故的定义域为. 故选：C. 变式1-1．函数的定义域是 . 【答案】， 【详解】要使函数有意义， 则需，即， 当时，， 所以当，解得，， 所以函数的定义域是，. 故答案为：，. 变式1-2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 变式1-3．函数的定义域是 . 【答案】且 【详解】由函数， 则，即， 所以函数的定义域且， 故答案为：且 考点02 求三角函数的值域(最值) 【方法点拨】（1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 例3．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 因 在上单调递增，在上单调递减， 则当时，即时，取最大值1； 当，即时，取最小值. 故函数在上的值域为. 故选：C. 例4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图为函数在的图象，易知，时，函数的值域为. 故选：C. 变式2-1．定义运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题：， 因为都是以为周期的函数，所以也是以为周期的函数， 取研究： 当时，； 当时，； 所以函数的值域为. 故选：B. 变式2-2．求下列函数的值域： (1)，； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），． 令，，则在上单调递增，在上单调递减， ，， 函数，的值域为． （2）令，则，，当时单调递减， 当时，取得最大值，最大值为10； 当时，取得最小值，最小值为2， 的值域为． 变式2-3．函数且的值域是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，∴； 当时，，∴. 即当时，函数的值域是． 故选：B. 考点03 由三角函数的值域求参 例5．函数在区间上的值域为则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 由，可得， 函数在区间上的值域为， 根据正弦函数的图象知，，解得， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 例6．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的值域为， 得，得， ， 得，由定义域为， 所以， ， 所以的取值范围是. 故选：D.    变式3-1．若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 由函数在有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 变式3-2．已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 因为函数（其中）在上的值域为， 所以，解得. 故答案为： 变式3-3．已知在上的最小值为，则的解有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，，而，显然不满足题意； 当时，因为，所以， 要使在上的最小值为，则有，所以， 此时在处取得最小值，即， 令， 因为，所以在上单调递减， 又在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又因为， 由函数零点存在性定理可知，此时函数有唯一的零点， 也即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个； 当时，因为，所以， 要使在上的最小值为，则有，解得， 当时，则，结合余弦函数的图象可知， 函数在上的最小值为，解得，满足题意； 当时，则，此时在处取得最小值，即， 从而将问题转化为与的图像有多少个交点， 因为，所以在上单调递增， 又，， 则与的大致图像如下，    所以与的图像有唯一交点， 即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个； 综上可知，的解有3个， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分类讨论和时，要结合余弦函数的性质进一步缩小的范围，同时将问题转化为的零点个数问题，由此得解. 考点04 求三角函数的单调区间 【方法点拨】在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反. 例7．在内，函数和都是增函数的区间是 . 【答案】 【详解】因为在内单调增区间为：， 在内单调增区间为：， 所以在内，函数和都是增函数的区间是. 故答案为：. 例8．已知函数，且，则实数 ，函数的单调递增区间为 . 【答案】 1 【详解】①， ，解得：； ②将代入，得， 由， 得， 故函数的增区间为. 变式4-1．（多选）函数和具有相同单调性的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，在上单调递增，在上单调递减，所以A不合题意， 对于B，在上单调递减，在上单调递减，所以B符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，所以C不合题意， 对于D，在上单调递增，在上单调递增，所以D符合题意， 故选：BD 变式4-2．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】由于，令，得， 即函数定义域为， 由于由函数复合而成， 且在上单调递增， 故要求的单调递减区间，需求的单调递减区间， 的单调递减区间为， 故函数的单调递减区间为， 故答案为： 变式4-3．已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【详解】因为，令， 解得，， 令，则， 令，， 又，所以的单调递增区间是，. 故选：D 考点05 由三角函数的单调性求参 例9．已知函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意的，恒成立， 因为函数在区间内单调递增， 所以，函数在上为减函数， 当时，因为，则， 所以，， 所以，，解得， 所以，，解得， 因为，则，所以，. 故选：A. 例10．已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 又因为函数是区间上的增函数， 解得 因为为正实数，所以，从而， 又， 所以正实数的取值范围是为. 故选：C 变式5-1．已知函数，对任意，都有，且在区间上单调，则函数的周期为 . 【答案】/ 【详解】，都有， 又在上单调，， 即. 故答案为： 变式5-2．（多选）已知函数在上单调递增，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】ABC 【详解】解：由题意，， ， 由 ， 得 ， 所以 ， 所以 . 令 得 . 又 ，所以 . 故选： 变式5-3．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递增， 根据正切函数的性质，可得， 当时，可得，则，解得． 故选：D. 考点06 三角函数的奇偶性 例11．下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，为偶函数， 对，且，因为在上为增函数， 所以，所以， 故在上为增函数，故A正确； 对于B，为奇函数，故B错误； 对于C，为奇函数，故C错误； 对于D，为偶函数， 但取，，， 则，故D错误. 故选：A. 例12．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 变式6-1．函数在上的大致图象为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】C 【详解】函数，， ， 所以函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，A选项错误； ，， BD选项错误； 故选：C 变式6-2．已知，且，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】D 【详解】由题意可知， ， 即， 那么. 故选：D 变式6-3．（多选）函数，若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知为奇函数， 则，得或， 经验证，不符合题意； 则，要使为奇函数 时，的解析式为“奇偶”的结构，则为偶函数， 所以，可得，所以， 当时，，当时，， 所以AC满足题意，验证得BD不满足题意． 故选：AC． 考点07 三角函数的周期性 【方法点拨】①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 例13．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】由题得函数在处取得最小值，在处取得最大值， 则的最小值为相邻两条对称轴间的距离， 又最小正周期， 故的最小值为． 故选：B 例14．若函数的最小正周期不小于，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【详解】因为，所以，解得. 故选：D. 变式7-1．若直线，是函数图象的两条相邻的对称轴，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由于直线，是函数相邻的两条对称轴，故周期为,故， 故选：A 变式7-2．已知函数的最小正周期为，则 . 【答案】1 【详解】依题意， 整理得，解得. 故答案为：1. 变式7-3．设，则等于（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】因为的最小正周期， 且，， ，． 所以， 所以. 故选：B． 考点08 三角函数的对称性 例15．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于AC，，AC不是； 对于BD，，B是，D不是. 故选：B 例16．已知函数，，则“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】令，得， 所以曲线关于直线对称． 令，得， 所以曲线关于直线对称． 因为 所以“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的充分不必要条件． 故选： 变式8-1．，对于任意的都有，则 ． 【答案】0 【详解】对于任意的都有， ∴的图象关于点对称， 故答案为：0. 变式8-2．已知函数，若是偶函数，则图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是偶函数， 则，得， 令 , 解得 . 因为，则，经验证只有D选项满足题意，此时. 故选：D 变式8-3．“函数的图象关于点对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当函数的图象关于点对称时，，解得，不能得到. 当时，， 由得，，函数的对称中心为， 令得对称中心为. 综上得，“函数的图象关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 考点09 三角函数识图问题 例17．函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察函数可得其图象关于原点对称，故函数为奇函数， 若，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数，矛盾，故B错误， 若，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数，矛盾，故C错误， 观察图象可得当时，， 当时，，矛盾，故D错误， 当时，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数， ，满足上述条件. 故选：A. 例18．函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，所以是奇函数， 为奇函数，为偶函数， 函数的图象关于轴对称，所以是偶函数， 是奇函数偶函数奇函数，故排除B， 是奇函数偶函数奇函数，故排除D， 在处无意义，所以不过原点，故排除C， 故选：A 变式9-1．函数在上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 则， 所以为奇函数，则图象关于原点对称，排除A、C， 又当时，，排除D. 故选：B 变式9-2．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】因为，所以是偶函数，排除C，D; 因为在上的零点有共三个，排除B. 故选:A. 变式9-3．函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 从而时，图象关于原点对称，所以选项A和C错误， 又时，，，所以时，，所以选项B错误，选项D正确， 故选：D. 考点10 比较三角函数值的大小 例19．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，，， 所以、、的大小关系为. 故选：A 例20．（多选）下列式子成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A．由，，又因为，所以， 所以，故A正确； B．，，因为， 所以，故B错误； C．由，又因为，所以，故C错误； D．因为，所以，因为，所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 变式10-1．设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列 【答案】 【详解】由， ，， 当时，单调递增，且，， 则，故． 故答案为． 变式10-2．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，， 因为正切函数在上为增函数，且， 所以，即，A项错误； 对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且， 所以，B选项错误； 对于C选项，， 因为余弦函数在上为减函数，且， 所以，即，C选项正确； 对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且， 所以，D选项错误． 故选：C 变式10-3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 所以，所以， 因为在上递增，且， 所以，所以， 所以，即， 所以. 故选：C 考点11 三角函数中ω的范围 例21．已知函数，若在区间上恰有3个不同的实数使得成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得的图象关于点对称， 所以，即， 当时，， 根据在上前4个零点依次为0，，，， 可得，解得. 当时，， 所以， 当时，得；求得，即； 当时，得，求得，不合题意， 易知k取其它整数时，的取值也不合题意. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 例22．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时， ， 又的单调递减区间为， 所以， 解得，且，解得，又， 所以0，所以的取值范围为. 故答案为： 变式11-1．设，若在区间上存在唯一的a和唯一的b，使且成立，则的取值范围是 【答案】 【详解】令，则存在且使， 由区间长度为，得必须满足，则， 因此区间的左端点， 如图，有两种可能：内含有或， 第一类，含A、E：且，则； 第二类，含B、F：且，则. 所以的取值范围是. 故答案为： 变式11-2．已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 变式11-3．已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 画出的图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则， 解得. 故选：A 考点12 三角函数的零点问题 例23．若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】令，则或， 由， 当时，在上没有零点， 则在上应有3个零点， 因为，所以，即， 与联立得，因为，所以m的值依次为9，10； 当时，在上有1个零点， 在上有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 故在上应有1个零点， 因为，所以该零点与的零点不相同， 所以，即，与联立得， 因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5． 故选：B． 例24．设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； (3)当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值． 【答案】(1) (2)； (3)1012，1349． 【详解】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. （3）因为，所以有两个零点， 又，不妨 当时，得，即或； 由三角函数图象性质可知在（k为正整数）内零点个数为，在内零点个数为， 因为，所以； 当时，在（k为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，若，此时不存在n； 当时，则，在（k为正整数）内零点个数为， 因为，所以； 综上n的所有可能值为1012，1349． 变式12-1．当时，函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由，得， 作出，在的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 变式12-2．在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】依题意，， 而，显然且，因此， 由，得，解得或， 所以在上的零点个数是2. 故选：B 变式12-3．设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为 【答案】. 【详解】由函数， 令，即或， 解得的正零点为或， 所以函数从左到右的零点依次为：， 为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 1．（2024-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期， 故对于函数，其最小正周期为． 故选：A. 2．（2024-25高二上·湖南·期中）设函数．已知，且的最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意， 因，且的最小值为，则，解得. 故选：B. 3．（2024-25高三上·山东淄博·期中）在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 以及 的图象如上图，由图可知，； 故选：A. 4．（2024-25高三上·河北·阶段练习）在数学领域中，数形结合思想是极为关键的一种思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相融合，使抽象的数学问题更加具体，复杂的几何问题更加直观．正如我国著名数学家华罗庚教授所言：“数与形本相互依存，岂能分开？”华罗庚教授的话简洁有力地诠释了数形结合，数和形作为不可分割的统一体，彼此相互依存．已知，则如图表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为， 又因为， 所以，则函数是奇函数， 为偶函数， 如图所示的图象为奇函数的图象， ，均为非奇非偶函数，B,C错误； 函数的定义域为，但所示图象的定义域为，A错误； 函数为奇函数，且定义域为，满足题意，D正确； 故选：D. 5．（2024-25高三上·福建三明·阶段练习）若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一 由，令，得， 所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，， 因为为正三角形，为的边长，为的高， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以的高为， 所以， 解得． 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象， 设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，， 则为正三角形，过点作，垂足为， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以， 所以，所以的最小正周期，即，所以． 故选：A． 6．（2024-25高三上·新疆·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为偶函数， 故，故， 由于，故，则， 令, 解得， 故的一个单调递增区间为， 由于区间关于原点对称，要使在区间上不单调，故， 故选：A 7．（2024-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为， D．图象的对称中心为， 【答案】AC 【详解】函数，则，即得， 即得的定义域为； 因为，所以，即得的对称中心为； 故选：AC. 8．（2024-25高三上·江苏南通·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．的最大值为1 B．是曲线的对称中心 C．在上单调递减 D．的最小正周期为 【答案】ABD 【详解】由题意可知：的定义域为， 对于选项A：因为，则， 且，所以的最大值为1，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以是曲线的对称中心，故B正确； 对于选项C：因为，且在上连续不断， 所以在上不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 由选项B可知，可得，即， 则， 可知为的一个周期， 若，则，可得， 当，则，，此时， 可知对任意，，即， 所以不为的一个周期； 综上所述：的最小正周期为，故D正确； 故选：ABD. 9．（2024-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数且的所有零点的和等于 . 【答案】0 【详解】由可得， 易知函数和函数都为奇函数， 在同一坐标系下作出两函数在内的图象，如下图所示： 所以两函数图象交点都关于原点成中心对称， 因此函数且的所有零点的和等于0. 故答案为：0 10．（2024-25高一·上海·随堂练习）已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为 ． 【答案】或或 【详解】函数的定义域为，而该函数为奇函数， 则当时，，即，解得， 经检验当时，函数为奇函数， 由，得，因此或或， 所以m的值为或或. 故答案为：或或 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则 . 【答案】/ 【详解】由，得， 则在上有两个不同的解. 当时，， 令，则，有两个不同的解. 易得关于对称， 所以，即， 所以，即，所以， 所以 . 故答案为：. 12．（2024-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知. (1)求的最值及取得最值时的值; (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由可得：， 因在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且当时，即时，函数取得最小值； 当时，即时，函数取得最大值为1， 即：当时，；当时，； （2）由时，则， 由（1）知在上单调递增， 故只需使解得， 即实数的取值范围为 . 13．（2024-25高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 14．（2024-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，其中t为常数． (1)当，时，若，求x的值； (2)设函数在上有两个零点m，n，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 令， 所以或（舍），所以. （2）， 令，因为，所以，则， 则， 因为函数在上单调递增， 所以关于k的方程在上有两个不相等实数根， 所以， 解得，即t的取值范围为． 15．（2024·上海·模拟预测）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习08 三角函数的图象与性质 知识点 1 ：正余弦函数的图象 1.正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 知识点 2 ：周期函数 1.周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 知识点 3 ：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 知识点 4 ：正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 考点01三角函数的定义域问题 例1．函数的定义域为 . 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．函数的定义域是 . 变式1-2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．函数的定义域是 . 考点02 求三角函数的值域(最值) 【方法点拨】（1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 例3．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 例4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．定义运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．求下列函数的值域： (1)，； (2)． 变式2-3．函数且的值域是(　　) A． B． C． D． 考点03 由三角函数的值域求参 例5．函数在区间上的值域为则实数a的取值范围是 ． 例6．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是 . 变式3-3．已知在上的最小值为，则的解有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 考点04 求三角函数的单调区间 【方法点拨】在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反. 例7．在内，函数和都是增函数的区间是 . 例8．已知函数，且，则实数 ，函数的单调递增区间为 . 变式4-1．（多选）函数和具有相同单调性的区间是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．函数的单调递减区间为 . 变式4-3．已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 考点05 由三角函数的单调性求参 例9．已知函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数，对任意，都有，且在区间上单调，则函数的周期为 . 变式5-2．（多选）已知函数在上单调递增，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 变式5-3．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点06 三角函数的奇偶性 例11．下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 例12．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 变式6-1．函数在上的大致图象为（    ） A． B．   C．   D．   变式6-2．已知，且，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 变式6-3．（多选）函数，若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 考点07 三角函数的周期性 【方法点拨】①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 例13．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 例14．若函数的最小正周期不小于，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 变式7-1．若直线，是函数图象的两条相邻的对称轴，则（   ） A．2 B． C．1 D． 变式7-2．已知函数的最小正周期为，则 . 变式7-3．设，则等于（   ） A． B． C．0 D． 考点08 三角函数的对称性 例15．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 例16．已知函数，，则“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-1．，对于任意的都有，则 ． 变式8-2．已知函数，若是偶函数，则图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．“函数的图象关于点对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点09 三角函数识图问题 例17．函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 例18．函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 变式9-1．函数在上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   变式9-3．函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点10 比较三角函数值的大小 例19．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例20．（多选）下列式子成立的有（    ） A． B． C． D． 变式10-1．设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列 变式10-2．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式10-3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点11 三角函数中ω的范围 例21．已知函数，若在区间上恰有3个不同的实数使得成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例22．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 变式11-1．设，若在区间上存在唯一的a和唯一的b，使且成立，则的取值范围是 变式11-2．已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式11-3．已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点12 三角函数的零点问题 例23．若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例24．设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； (3)当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值． 变式12-1．当时，函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式12-2．在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式12-3．设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为 1．（2024-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（2024-25高二上·湖南·期中）设函数．已知，且的最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024-25高三上·山东淄博·期中）在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2024-25高三上·河北·阶段练习）在数学领域中，数形结合思想是极为关键的一种思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相融合，使抽象的数学问题更加具体，复杂的几何问题更加直观．正如我国著名数学家华罗庚教授所言：“数与形本相互依存，岂能分开？”华罗庚教授的话简洁有力地诠释了数形结合，数和形作为不可分割的统一体，彼此相互依存．已知，则如图表示的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024-25高三上·福建三明·阶段练习）若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024-25高三上·新疆·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为， D．图象的对称中心为， 8．（2024-25高三上·江苏南通·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．的最大值为1 B．是曲线的对称中心 C．在上单调递减 D．的最小正周期为 9．（2024-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数且的所有零点的和等于 . 10．（2024-25高一·上海·随堂练习）已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为 ． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则 . 12．（2024-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知. (1)求的最值及取得最值时的值; (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 13．（2024-25高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 14．（2024-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，其中t为常数． (1)当，时，若，求x的值； (2)设函数在上有两个零点m，n，求t的取值范围． 15．（2024·上海·模拟预测）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$