预习08 正弦定理（六大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习08 正弦定理 知识点 1 ：正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 知识点3三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 知识点 2 ：判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点01 正弦定理解三角形 【方法点拨】（1）已知两角及一边：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边及其一边的对角：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 【例1】中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【例2】在中，，，，则 ． 【变式1-1】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【变式1-2】在中，内角的对边分别为，已知，则 . 【变式1-3】在中，，，，则 . 考点02 正弦定理判定三角形解的个数 【方法点拨】已知和,用正弦定理求时的情况：（1）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解；③若，三角形两解；④若，三角形一解; （2）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解 【例3】（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例4】已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【变式2-1】若满足的恰有一个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是 . 【变式2-3】在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点03 三角形的面积公式及应用 【方法点拨】一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. 【例5】已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【例6】在中，，则 . 【变式3-1】内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（   ） A．2 B． C． D． 【变式3-2】在中，、、分别为内角、、的对边，，，面积为12，则 . 【变式3-3】在中，，，. (1)求，的值和的面积； (2)求的值. 考点04 正弦定理求三角形外接圆半径 【例7】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 【例8】在中，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A．4π B．8π C．16π D．64π 【变式4-1】的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 . 【变式4-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ． 考点05 正弦定理边角互化的应用 【方法点拨】出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化. 【例9】已知分别为的角所对的边，且满足，． (1)求； (2)若外接圆的半径为，求. 【例10】在中，角，，的对边分别为，，，，则 . 【变式5-1】在中，角，，的对边分别为，，，已知.则 . 【变式5-2】在中，分别为边所对的角，且满足. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 【变式5-3】在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的周长. 考点06 正弦定理判断三角形的形状 【方法点拨】判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. 【例11】的面积为，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形（非等边） B．直角三角形 C．正三角形 D．钝角三角形 【例12】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式6-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【变式6-2】在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【变式6-3】已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若的面积为，周长为6，试判断的形状. 1．（2023-24高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 2．（2023-24高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24高三上·江西抚州·期中）在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 5．（2023-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高三上·四川绵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A．4049 B．4048 C．4047 D．4046 7．（2023-24高三上·山西太原·期中）（多选）已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（   ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．AB的中线长为 8．（2023-24高三上·吉林·期末）（多选）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 10．（2024·四川·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且，则的外接圆的周长为 ． 11．（2024-2025学年高三上学期12月质量调研数学试卷）设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为 . 12．（2023-24高一下·天津·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 13．（2023-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 14．（2023-24高三上·山东济宁·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的值； (2)若为的中点，且，，求的面积. 15．（2023-24高三上·山西长治·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若D是BC边上一点，且，，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习08 正弦定理 知识点 1 ：正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 知识点3三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 知识点 2 ：判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点01 正弦定理解三角形 【方法点拨】（1）已知两角及一边：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边及其一边的对角：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 【例1】中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 【例2】在中，，，，则 ． 【答案】 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 故答案为： 【变式1-1】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【答案】A 【点睛】用正弦定理先求出，根据三角形内角关系得到，再用正弦定理求. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 【变式1-2】在中，内角的对边分别为，已知，则 . 【答案】4 【详解】因为， 所以由正弦定理可得. 故答案为：4. 【变式1-3】在中，，，，则 . 【答案】3 【详解】在中，，则， 根据正弦定理得，即. 故答案为：3. 考点02 正弦定理判定三角形解的个数 【方法点拨】已知和,用正弦定理求时的情况：（1）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解；③若，三角形两解；④若，三角形一解; （2）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解 【例3】（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【详解】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 【例4】已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【答案】 【详解】由正弦定理，已知，， 可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值. 故答案为： 【变式2-1】若满足的恰有一个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为的恰有一个， 所以或， 即则，或者， 所以可得； 故选：B. 【变式2-2】在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】在中，由正弦定理，得， 当时，只有一个解，； 当时，只有一个解，则，即，解得， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 【变式2-3】在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】在中，，由有两解，得，且， 则，由外接圆半径为4及正弦定理，得， 所以边的长可能为5. 故选：D 考点03 三角形的面积公式及应用 【方法点拨】一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. 【例5】已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理得， 因为，所以， 可得. 故选：D. 【例6】在中，，则 . 【答案】或 【详解】 ∴， 当时，， 由余弦定理得， 当时，， 由余弦定理得， ∴或， 故答案为：或. 【变式3-1】内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理，得，解得， 所以的面积为. 故选：C 【变式3-2】在中，、、分别为内角、、的对边，，，面积为12，则 . 【答案】 【详解】由，又，， 则可得， 又， 故答案为：. 【变式3-3】在中，，，. (1)求，的值和的面积； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得， 注意到，，， 所以，即，解得， 进一步； （2）由余弦定理可得，，因为， 所以，而， 从而. 考点04 正弦定理求三角形外接圆半径 【例7】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【详解】设外接圆的半径为， 则，即. 故选：A . 【例8】在中，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A．4π B．8π C．16π D．64π 【答案】C 【详解】因为， 由正弦定理可得， 设，，， ，则， 由正弦定理得，，即， 则外接圆面积为， 故选：C． 【变式4-1】的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设，，的外接圆的半径为， 则，． ， ， , ， ． 故选：C. 【变式4-2】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 . 【答案】 【详解】在中，由，得，而， 由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆， 所以外接圆的面积是. 故答案为： 【变式4-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ． 【答案】 【详解】由, 所以,即, 由,所以, 所以,所以. 故答案为：. 考点05 正弦定理边角互化的应用 【方法点拨】出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化. 【例9】已知分别为的角所对的边，且满足，． (1)求； (2)若外接圆的半径为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理可得， ，. ，. （2）由（1）知，. ，，. 由正弦定理可知，. 【例10】在中，角，，的对边分别为，，，，则 . 【答案】 【详解】由正弦边角关系，可得， 又，， 所以. 故答案为： 【变式5-1】在中，角，，的对边分别为，，，已知.则 . 【答案】 【详解】因为， 由正弦定理得，整理可得， 则，且，故. 故答案为： 【变式5-2】在中，分别为边所对的角，且满足. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， 又，由正弦定理得， ； （2）在中，由余弦定理得， ，则，解得（舍），， . 【变式5-3】在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 化简得，又因为，所以. （2）在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 所以，所以， 所以，所以周长为. 考点06 正弦定理判断三角形的形状 【方法点拨】判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. 【例11】的面积为，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形（非等边） B．直角三角形 C．正三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B. 【例12】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【详解】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：． 【变式6-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 【变式6-2】在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】A 【详解】由正弦定理可知， 不妨设，则， 显然，则，所以. 故选：A 【变式6-3】已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若的面积为，周长为6，试判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【详解】（1）由正弦定理，可化为 又在中，, 则上式可化为， 因为，则， 则上式可化为，即， 则，又， 则，故 （2）由，可得， 又由，可得， 则可化为， 整理得， 又由，则，可化为， 解之得，则，解之得， 则的形状为等边三角形. 1．（2023-24高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由正弦定理得，所以. 故选：B 2．（2023-24高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由正弦定理可得， 又在中， ， ， ， 在中，， ，且为的内角， ， 故选：C． 3．（2023-24高三上·江西抚州·期中）在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理可知，可化为， 又，则，即， 再根据正弦定理可知，， 又，即，则， 又，所以. 故选：D. 4．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 所以，可得或， 所以或，所以的形状为等腰或直角三角形. 故选：D． 5．（2023-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 6．（2023-24高三上·四川绵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A．4049 B．4048 C．4047 D．4046 【答案】A 【详解】在中，，可得， 即，故， 即，所以， 所以，即，所以 故. 故选：A. 7．（2023-24高三上·山西太原·期中）（多选）已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（   ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．AB的中线长为 【答案】BC 【详解】对于A，由题意可知边最大，所以角为的最大内角， 易知，因此角为钝角，可得A错误； 对于B，易知，又，可得，即B正确； 对于C，由，可得的面积为，即C正确； 对于D，设AB的中线为，易知，可得，即D错误. 故选：BC 8．（2023-24高三上·吉林·期末）（多选）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以， ，所以， . 故选：ACD 9．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 10．（2024·四川·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且，则的外接圆的周长为 ． 【答案】 【详解】由可得，即， 展开得，即． 又因为，由正弦定理（其中为的外接圆的半径）可得 ，解得，则的外接圆的周长为． 故答案为：. 11．（2024-2025学年高三上学期12月质量调研数学试卷）设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为 . 【答案】 【详解】，， 又，所以，故， 则的面积，所以， 由余弦定理得， 故. 故答案为：. 12．（2023-24高一下·天津·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. （2）由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 13．（2023-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式化简可得：， 整理得：， 由正弦定理可得：， 因此三角形的内角； （2）， ， ， . 14．（2023-24高三上·山东济宁·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的值； (2)若为的中点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，， 则由，得， ， ， ， ； （2）为的中点， ， 又， ，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积为. 15．（2023-24高三上·山西长治·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若D是BC边上一点，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 所以，又，所以； （2）因为，记，则， 因为，设，， 在中，，即， 在中，，所以，所以， 所以，即， 在中由余弦定理有，整理得，即， 所以，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$