精品解析：江苏省宿迁市泗阳县泗阳致远中学2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期九年级期末学业水平测试 数学 时间：120分钟分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．一般地，把形如（是常数，且）的函数叫作二次函数．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.该函数是一次函数，不是二次函数，本选项不符合题意； B. 不是二次函数，本选项不符合题意； C.不是函数，所以也不是二次函数，本选项不符合题意； D. 是二次函数，本选项符合题意． 故选：D 2. 如图所示，用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是( ) ． A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形统计图可以得出“陆地”部分占地球总面积的比例，根据这个比例即可求出落在陆地的概率． 【详解】∵“陆地”部分对应的圆心角是108°， ∴“陆地”部分占地球总面积的比例为：108÷360=， ∴宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是=0.3． 故选B． 3. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A. 3x﹣2＝y B. x C. x+1 D. x2+2x＝3 【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程是一元二次方程，利用一元二次方程的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、方程3x﹣2＝y含有2个未知数，所以A选项不符合题意； B、方程x，不是整式方程，所以B选项不符合题意； C、方程x+1是分式方程，所以C选项不符合题意； D、方程x2+2x＝3是一元二次方程，所以D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义. 4. 下列方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，解得：，故A选项不正确，不符合题意； B. 方程两边同时乘以，得，， 解得：或， 经检验，是原方程的增根，原方程的解为， 故B选项不正确，不符合题意； C. ，方程有实数解，故C选项不正确，不符合题意； D. ， ∴ 又∵ ∴原方程无实数解， 故选：D． 5. 小明准备在2025年元旦去看电影，他想在《小小的我》《误杀3》《名侦探柯南-迷宫的十字路口》《床前明月咣》《帕丁顿熊3-秘鲁大冒险》这五个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《名侦探柯南-迷宫的十字路口》和《床前明月咣》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画出树状图即可解题． 【详解】解：把《小小的我》《误杀3》《名侦探柯南-迷宫的十字路口》《床前明月咣》《帕丁顿熊3-秘鲁大冒险》这五个电影卡片分别记为A、B、C、D、E， 画树状图如下：     共有20种等可能的结果，其中小明抽中《名侦探柯南-迷宫的十字路口》和《床前明月咣》的结果有2种， ∴小明抽中《名侦探柯南-迷宫的十字路口》和《床前明月咣》的概率是． 故选：C． 6. 二次函数的图象如图，其对称轴，则下列结论中，错误的结论是：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，由二次函数图象判断式子符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．由图象可知该二次函数与x轴有两个交点，即得出其相应一元二次方程有两个不相等的实数根，再由其判别式求解即可判断A；根据对称轴和图象与y轴的交点位置可判断b和c的符号，进而可判断B；根据二次函数图象的对称性可判断C和D． 【详解】解：由图象可知该二次函数与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 由图象开口向上可知． 由图象与y轴的交点在x轴下方，即可知． ∵该二次函数对称轴为， ∴，即， ∴，故B正确，不符合题意； 由图象可知当时，， 又∵该二次函数对称轴为， ∴当时，， ∴，故C正确，不符合题意； 由图象可知当时，， 又∵该二次函数对称轴为， ∴当时，， ∴，故D错误，符合题意． 故选D． 7. 如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ， ，EF＝4， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④． 【详解】解：①当，时，则，， ∴， ∴若，则错误，故①错误； ②当，时， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； ③∵， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时， ，解得，舍去； ∴方程的解为或，故 ③错误； ④∵， 其图象为： 由图象可得：当时，，故④正确． 综上，正确的有②④，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键． 9. 如图，△ABC内接于圆O，∠BOC=120°，AD为圆O的直径．AD交BC于P点且PB=1，PC=2，则AC的长为(   ) A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】延长CO交⊙O于E，连接BE，由CE是⊙O的直径，推出∠EBC=90°，根据含30°直角三角形定理可求得BC，CE，进而求得OA=OD=，通过计算证得，由相似三角形的判定证得△OCP∽△BCE，即可证得∠POC=∠PBE=90°，根据勾股定理即可求得结论． 【详解】延长CO交⊙O于E，连接BE， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠EBC=90°， ∵∠BOC=120° ∴∠BAC=∠BOC=60° ∴∠BEC=∠BAC=60°， ∴∠ECB=30°， ∴CE=2BE， ∵PB=1，PC=2， 则BC=3， ， ∴CE=， 则OA=OD=， ∵,， ∴， 又∵∠OCP=∠BCE， ∴△OCP∽△BCE， ∴∠POC=∠PBE=90°， ∴AC2=OA2+OC2=6， ∴AC=. 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，特殊角的函数值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线和熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解决问题的关键． 10. 若（，），则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据（，），设，则，然后代入计算即可． 【详解】解：∵（，）， ∴设，则， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如图，矩形绿地的长为，宽为，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，则绿地的长、宽增加的长度为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设绿地的长、宽增加的长度为，由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度各为． 由题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：绿地的长、宽增加的长度各为． 故答案：2 12. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次函数的平移：左加右减，上加下减，根据平移的规律即可得到平移后的函数解析式，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到的抛物线的解析式为， 故答案为． 13. 若是一元二次方程的两个根，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系先求出x1+x2，x1x2的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程的两个根， ∴x1+x2=3，x1x2=1， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 14. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 15. 如图，是的内接三角形，若，，则________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且，已知，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的判定方法得出，得到，代入已知条件求出，即可得到的长，正确得出是解题关键． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，点是边上的中点，以点为圆心，的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算．根据直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ， ， ， 在中，，， ，， 扇形的半径为2， ． 故答案为：． 18. 已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点, 可以得到a>0,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从而得出答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点, ∴ , ∴ ,故①正确． 当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0, 当a= 1时，b+c=0，不符合题意， 当0 <a< 1时,则b、c均大于0,此时b+c>0,故②错误． ∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确． 故答案为：①③ 【点睛】本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题． 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．） 19. （1）计算题：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根和解一元二次方程等知识点， （1）先根据算术平方根，立方根进行计算，再算加减即可； （2）先根据等式的性质移项，再配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确配方是解（2）的关键． 【详解】（1） ； （2）， ， ∴， ∴， ，． 20. 小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 （1）小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 （2）解方程过程中，第二步变形的依据是 ； （3）请你用“公式法”解该方程． 【答案】（1）C （2）等式的基本性质 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法和步骤，掌握解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）根据解题方法直接对应即可； （2）第二步是方程的左右两边同时加了一个数，利用的是等式的基本性质； （3）直接利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：小颖解方程的方法是配方法， 故选：C； 【小问2详解】 解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质（或等式两边同时加（或减）同一个整式，所得结果仍是等式）， 故答案为：等式的基本性质； 【小问3详解】 ， ， ， 即． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，，则；若一元二次方程有实数根，则．先根据根与系数的关系得到，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，， 则， ， 令，即， 解得：，， 方程有实数根， ， 即：， 综上所述：． 22. 如图，在直角坐标系中有一，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线经过点A，B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，当时，的最大值为 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的面积问题，解直角三角形： （1）利用锐角三角函数可得，可求出，再根据旋转的性质求出，，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点P作轴于点M，先求出直线的解析式，设与的交点为N，则点N的坐标为，可得．再根据，结合二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵是由绕点O逆时针旋转而得到的， ∴， ∴，， ∴，； 把A、B、C的坐标代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴于点M， 设直线的解析式为， 由题意，得， 解得：． ∴直线的解析式为：， ∵点的横坐标为，即， ∴设与的交点为N，则点N的坐标为， ∴． ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，的最大值为． 23. 为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，某校把数学总评成绩按平时成绩、期中成绩、期末成绩三个测试类别分别以30%、20%、50%的比例计算最终得分．如表是小明和小华本学期的成绩（满分120分）： 测试类别 平时成绩1 平时成绩2 平时成绩3 平时成绩4 期中 期末 小明 108 103 101 108 110 114 小华 116 108 102 106 108 110 （1）求小明这六次测试成绩的中位数和众数； （2）分别求出小明和小华平时成绩的平均数； （3）若把四次平时成绩的平均数作为平时成绩的最终成绩，请计算出小明和小华的数学总评成绩，并判断小明和小华谁更优秀？ 【答案】（1）小明这六次测试成绩的中位数是108，众数是108；（2）小明平时成绩的平均数为105（分）；小华平时成绩的平均数为108（分）；（3）小明的数学总评成绩为110.5（分）；小华的数学总评成绩为109（分）；小明更优秀． 【解析】 【分析】（1）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解可得； （2）利用算术平均数的概念求解可得； （3）利用加权平均数的概念求解可得． 【详解】（1）将小明这六次测试成绩数据重新排列为101，103，108，108，110，114，第3，4个数据都是108， 故小明这六次测试成绩的中位数是108， 108出现次数最多，故小明这六次测试成绩的众数是108； （2）小明平时成绩的平均数：（分）； 小华平时成绩的平均数：（分）； （3）小明的数学总评成绩：105×30%+110×20%+114×50%＝110.5（分）； 小华的数学总评成绩：108×30%+108×20%+110×50%＝109（分）； ∵110.5＞109， ∴小明更优秀． 【点睛】本题主要考查中位数、众数及平均数，解题的关键是掌握中位数、众数及平均数的概念． 24. 已知：如图，中，，以为半径作切于点C，连接 交 于点P． （1）求证：； （2）若，且，求的半径． 【答案】（1）证明见试题解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，由切线的性质，可得 ，由 ，得 ，再由 ，根据等角的余角相等即可得出所要求证的结论； （2）延长 交 于点 ，连接 ，在 和 中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答. 【小问1详解】 证明：连接 ， ∵ 是 切线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 延长 交 于点 ，连接 ，在 中， ∵ ， 设则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 【点睛】本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程. 25. 小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标． （1）请求出b和n的值； （2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标； （3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． 【答案】（1），； （2） （3）的面积最大时，点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）先由在一次函数上求出b，再由在二次函数求出n． （2）联立两解析式，可求出交点M坐标． （3）根据点M的坐标求得直线的解析式，设，，求得，，即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 解得：，； 【小问2详解】 解：联立得， 解得，， 当时为原点，舍去， 将代入得， ∴点M的坐标为； 小问3详解】 解：过P点作y轴的平行线，交线段于Q． ∵M的坐标为， ∴直线的解析式为：， ∴设，，， ， ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积最大．此时点P的坐标为． 26. 如图：在△AOB中,∠AOB=90°，OA=12cm，AB=cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用x(秒)表示时间(0≤x≤6)，那么： （1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2； （2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 【答案】（1）1秒或5秒；（2）秒或3秒 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出BO的长，再用x表示出OQ及OP的长，根据三角形的面积公式即可得出x的值； （2）分△OPQ∽△OAB与△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论 【详解】解：（1）∵∠AOB=90° ∴BO2=AB2-AO2 ∴BO=6. 在Rt△OPQ中，OQ=6-x，OP=2x， OQ·OP=5， 可求得x1=1，x2=5. （2）当△OPQ∽△OAB时,=,即=，解得x=3秒； 当△OPQ∽△OBA,= ,即=,解得x=秒． 综上所述,当x=3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似 【点睛】本题考查了相似三角形的判定, 一元二次方程的应用, 勾股定理，解题的关键是分情况讨论 27. 小星在学习北师大版数学教材九年级上册第26页第6题时，设计了如下“教材迁移”为主题的问题，请你解答． （1）课本再现 如图（1），四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ； （2）变式探究 如图（2），将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长； （3）延伸拓展 如图（3），当点在射线上运动时，把（2）中的正方形变为矩形，且，，连接，与交于点，连接．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？并求出最短距离． 【答案】（1） （2）； （3）当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为1． 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果； （2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解； （3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，证明，得到，据此计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得到，， 由（1）知， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由折叠知， ， 点P在以为直径的圆上运动， 设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图， ， ， 设交于点G． ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 故当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键． 28. 如图，已知抛物线y=ax2-4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C （1）求抛物线解析式； （2）若点P为抛物线上点，当PB=PC时，求点P坐标； （3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P坐标为（，）或（，）；（3）点M（）． 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上，即可求解； （3）M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，利用，则MB＝，即可求解． 【详解】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a﹣4+3，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…①， 令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3， 故点C（0，3）、点B（3，0）； （2）PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上， 线段BC的中点坐标为（，）， 则BC中垂线的k值为1，过点（，）， 则其表达式为：y＝x…②， ①②联立并求解得：x＝， 则点P坐标为（,）或（，）； （3）M线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似， 则△MAB∽△ACB，即：，则MB＝， 过点M分别作x、y轴的垂线交于点H、G， ∵OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°， 则MH＝MG＝MB×＝，OH＝OB﹣BH＝， 即点M（，）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、线段的垂直平分线等知识，难度不大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期九年级期末学业水平测试 数学 时间：120分钟分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是( ) ． A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A. 3x﹣2＝y B. x C. x+1 D. x2+2x＝3 4. 下列方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明准备在2025年元旦去看电影，他想在《小小的我》《误杀3》《名侦探柯南-迷宫的十字路口》《床前明月咣》《帕丁顿熊3-秘鲁大冒险》这五个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《名侦探柯南-迷宫的十字路口》和《床前明月咣》的概率是（ ） A B. C. D. 6. 二次函数的图象如图，其对称轴，则下列结论中，错误的结论是：（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 8. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x取值范围是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，△ABC内接于圆O，∠BOC=120°，AD为圆O的直径．AD交BC于P点且PB=1，PC=2，则AC的长为(   ) A. B. C. 3 D. 2 10. 若（，），则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如图，矩形绿地的长为，宽为，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，则绿地的长、宽增加的长度为______． 12. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 13. 若是一元二次方程的两个根，则______________． 14. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 15. 如图，是的内接三角形，若，，则________． 16. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且，已知，，，，则的长为______． 17. 如图，在中，，，，点是边上的中点，以点为圆心，的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积为______． 18. 已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）． 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．） 19. （1）计算题：； （2）解方程：． 20. 小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 （1）小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 （2）解方程过程中，第二步变形的依据是 ； （3）请你用“公式法”解该方程． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 22. 如图，在直角坐标系中有一，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线经过点A，B，C． （1）求抛物线解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 23. 为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，某校把数学总评成绩按平时成绩、期中成绩、期末成绩三个测试类别分别以30%、20%、50%的比例计算最终得分．如表是小明和小华本学期的成绩（满分120分）： 测试类别 平时成绩1 平时成绩2 平时成绩3 平时成绩4 期中 期末 小明 108 103 101 108 110 114 小华 116 108 102 106 108 110 （1）求小明这六次测试成绩的中位数和众数； （2）分别求出小明和小华平时成绩平均数； （3）若把四次平时成绩的平均数作为平时成绩的最终成绩，请计算出小明和小华的数学总评成绩，并判断小明和小华谁更优秀？ 24. 已知：如图，中，，以为半径作切于点C，连接 交 于点P． （1）求证：； （2）若，且，求的半径． 25. 小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标． （1）请求出b和n的值； （2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标； （3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． 26. 如图：在△AOB中,∠AOB=90°，OA=12cm，AB=cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用x(秒)表示时间(0≤x≤6)，那么： （1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2； （2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 27. 小星在学习北师大版数学教材九年级上册第26页第6题时，设计了如下“教材迁移”为主题的问题，请你解答． （1）课本再现 如图（1），四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则度数为 ； （2）变式探究 如图（2），将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长； （3）延伸拓展 如图（3），当点在射线上运动时，把（2）中的正方形变为矩形，且，，连接，与交于点，连接．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？并求出最短距离． 28. 如图，已知抛物线y=ax2-4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C （1）求抛物线解析式； （2）若点P为抛物线上点，当PB=PC时，求点P坐标； （3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$