精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高二上学期1月月考数学试题

华清中学高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 点是椭圆上点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在四面体中，已知，，则（ ） A. 直线AC与DB所成的角为 B. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为 C. 平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为 D. 若E，F分别是AB，CD上动点，则EF的最小值为 10. 已知曲线的方程为，则（　　） A. 当时，曲线圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D. 当时，曲线为双曲线，其焦距为 11. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点且在两坐标轴上截距相等直线的方程为________． 13. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________. 14. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则取值范围_________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在棱长相等的正三棱柱中，分别为的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 16. 已知数列满足，，，，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知椭圆的焦距为，短半轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 18. 已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B． （1）求实数k的取值范围； （2）O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 19. 已知正项等差数列的前项和为，满足， （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华清中学高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得目标式的值. 【详解】由已知，，则， 所以. 故选：D 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出向量在方向上的投影数量以及与方向相同的单位向量，即可求出向量在方向上的投影向量. 【详解】向量在方向上的投影数量为， 与方向相同的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为． 故选：D． 4. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形， 所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 因为分别是的中点， 所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 所以与平面所成角的正弦值为：， 故选：C 【点睛】 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 6. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆M与x轴相切与焦点F，设，则，所以圆的半径为，利用是直角三角形，即可求出椭圆的离心率． 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为直角三角形，，， ，即，又，所以， 故选：D. 7. 等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可知，故， 故，故， 故选：B 8. 已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据基本不等式求的最小值. 【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F， 所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明）， 所以， 当且仅当时取“=”. 故选：C. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在四面体中，已知，，则（ ） A. 直线AC与DB所成的角为 B. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为 C. 平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为 D. 若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，把四面体放置在一个长方体中，设长方体棱长分别为，求得，以为坐标原点，结合向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，把四面体放置在一个长方体中，如图所示， 设长方体的棱长分别为，可得，解得， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 对于A中，直线与为异面直线，所以直线与所成角， 则，所以A不正确； 对于B中，由， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 可得，所以B正确； 对于C中，由， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面和平面所成的角为， 可得，所以C正确； 对于D中，取的中点，分别连接， 因为，可得和， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 所以线段为异面直线和的公垂线段，即和上两动点的最短距离， 又由，，所以，即和上两动点的最短距离为， 所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知曲线的方程为，则（　　） A. 当时，曲线为圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D. 当时，曲线为双曲线，其焦距为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用的值，判断曲线方程的形状，再判断选项的正误即可． 【详解】对于A：当时，曲线的方程为，表示圆心为坐标原点，半径为的圆，故A正确； 对于B：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确； 对于C：当时满足，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故C不正确； 对于D：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，故D不正确． 故选：AB 11. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期3的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】由，，可得 ，故A正确；B错误； 对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列， 则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________． 【答案】或. 【解析】 分析】分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程. 【详解】当直线过原点时，设直线，代入点，得，得， 即； 当直线不过原点时，设直线，代入点，得，得， 即，化简得. 综上可知，满足条件的直线方程为或. 故答案为：或. 13. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 14. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意列出不等式组求解即可． 【详解】由题意得：，所以，解得， 故答案为：． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在棱长相等的正三棱柱中，分别为的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得，即可求证四边形为平行四边形，得，结合线面平行的判定即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，，即可利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 证明：在分别为的中点， 所以． 因为为的中点，所以． 在三棱柱中，，所以， 所以四边形平行四边形，所以． 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 记的中点为，以为坐标原点，的方向分别为 轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设正三棱柱所有的棱长均为4， 则点． 设平面的法向量为， 则取，则． 设平面的法向量为， 则取，则． 设平面与平面的夹角为， ， 故 故平面与平面的夹角的正弦值为． 16. 已知数列满足，，，，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用等差中项证明是等差数列，并求出的通项公式； （2）先判断出是等比数列，用错位相减法求出前项和． 【详解】（1）因为，由等差中项定义可得是等差数列， 而公差 所以通项公式为． （2）因为，所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以，则……①， 所以……②， 所以由①②得： ， 所以． 17. 已知椭圆的焦距为，短半轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）利用点差法求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，， 则两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以， 所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意. 18. 已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B． （1）求实数k的取值范围； （2）O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 【答案】（1）{k|k，且k≠±1} （2）或0 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程后由求解 （2）由弦长公式计算，表示△AOB面积后求解 【小问1详解】 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0， 当时，直线l与双曲线由两个不同的交点， 即，所以k的取值范围为{x|k，且k≠±1}； 【小问2详解】 由（1）可知x1+x2，x1x2， 所以弦长|AB|， 原点O到直线AB的距离d，所以S△AOB|AB|d， 由题意，解得：k＝±或0，符合题意，所以实数k的值为或0． 19. 已知正项等差数列的前项和为，满足， （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式及公差概念即可求解. （2）根据裂项相消法求出，继而即可求解. 【小问1详解】 ①， 时，②， ①②得， ， ，可得， 或（舍）， 又验证时，符合， . 【小问2详解】 ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$