复习02 不等式（十三大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习02 不等式 知识点 1 ：不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 知识点 2 ：基本不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 知识点 3 ：一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 考点1 不等式的性质及判断 【方法点拨】利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 例1．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 例2．已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 【答案】必要不充分 【详解】当，时，满足命题甲：，此时命题乙不成立，即充分性不成立； 反之，若命题乙：成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立， 所以甲是乙的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 变式1-1．（多选）已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于选项A，由，，得，所以选项A正确； 对于选项B，由，得，所以选项B正确； 对于选项C，由，得，所以选项C错误； 对于选项D，由，得，所以选项D错误. 故选：AB. 变式1-2．（多选）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以， 又因为，所以，所以，故D正确. 故选：AD. 变式1-3．（多选）已知实数，，，满足，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，即，故C错误； 对于D，因为，，则，所以， 则， 所以，故D正确． 故选：AD 考点2 求代数式的取值范围 【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 例3．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，， 则，即的取值范围是. 故选：C. 例4．设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式2-1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则， 可得，所以的取值范围是. 故选：D. 变式2-2．若实数，满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】设， 则且，解得，， 所以. 又，， 所以，， 所以. 则的取值范围为. 故答案为：. 变式2-3．设为实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】32 【详解】由题设，则， 所以的最大值是32. 故答案为：32 考点3 作差法与作商法比大小 【方法点拨】（1）作差并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断差与0的大小⇒得结论； （2）作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大小⇒得结论 例5．（多选）下列关于不等式的说法正确的是（   ） A．， B．若，，则 C．若，，，则 D．，， 【答案】ABD 【详解】对A，， 所以，，A正确； 对B，因为，所以， 又因为，所以，所以，B正确； 对C，, 因为，，， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即，C错误； 对D，， 所以，D正确； 故选:ABD. 例6．（多选）若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项A：当时，选项A错误； 对于选项B：用作差法，又， ，故选项B正确； 对于选项C：当时，利用糖水不等式即可得到C不正确； 对于选项D：用作差法， ，所以选项D正确. 故选：BD. 变式3-1．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【答案】B 【详解】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B 变式3-2．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 变式3-3．设，比较与的大小 【答案】 【详解】， ， ， . 考点4 无条件型不等式求最值 【方法点拨】（1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 例7．已知，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．10 【答案】B 【详解】因为，所以 当且仅当时，取的最小值9. 故选：B. 例8．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为， 所以：， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为3， 故选：A． 变式4-1．已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为常数，，且的最小值为6，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 故选：D. 变式4-2．已知，函数有最小值，则 ． 【答案】4 【详解】， 令，则或（舍）， 故答案为：. 变式4-3．（多选）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 考点5 有条件型不等式求最值 【方法点拨】（1）出现分式相加模型，可进行以下步骤：①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式；②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值； （2）出现更复杂分式相加模型，可把两个分母看做一个整体进行换元，然后就得到了“1”的代换题型； （3）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 例9．已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【详解】由题设且，则， 所以 当且仅当即时取等号. 故选：C 例10．若实数，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 故选：C. 变式5-1．已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，所以，且， 所以或（舍去），当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 变式5-2．（多选）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由得，所以，当且仅当时取得等号，A正确； 由得， 又，所以，当且仅当时取得等号，B错误； 由得，又，， 所以，则，当且仅当时取得等号，C正确； 由得， 所以， 当且仅当时取得等号，D正确. 故选：ACD. 变式5-3．（多选）设正实数a，b满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为8 【答案】CD 【详解】对于A，∵，，且， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为，故A错误； 对于B，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，故B错误； 对于C，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立，即的最大值为2，故C正确； 对于D，∵，，且， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为8，故D正确. 故选：CD. 考点6 基本不等式恒成立问题 【方法点拨】恒成立问题常用分离参数法的方法： 将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 例11．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 例12．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 变式6-1．若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】依题意有， 因为,故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，得． 故选：B 变式6-2．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，所以恒成立. 又，当且仅当时，等号成立. 所以. 则的最小值是. 故答案为：. 变式6-3．已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 考点7 基本不等式的实际应用 【方法点拨】利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点： （1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． （3）在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 例13．某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【详解】由题意知，则， ， 当且仅当即时，等号成立； 所以当汽车的平均速度为公里/小时时，车流量最大. 故选：B 例14．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C 【详解】由题设，总成本为，则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 故选：C 变式7-1．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图所示），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计要求其横断面面积为，且高度不低于．记防洪堤横断面的腰长为x，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长 m． 【答案】 【详解】由题意可得，故，横断面高度为， 故，即，∴梯形的面积为， 即，化简得．由得， 又有，解得． 因此， 当且仅当，即时，等号成立． 故当防洪堤的腰长时，横断面的外周长有最小值． 故答案为：. 变式7-2．某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 【答案】(1)，； (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 【详解】（1）由题意可知，， 因为时，，所以，解得：， 所以，； （2）因为，所以，， ， 当即时等号成立， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 变式7-3．已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为； （2）如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 考点8 解不含参的一元二次不等式 【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤：（1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式；（3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 例15．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，或， 所以不等式的解集为. 故选：. 例16．已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 . 【答案】 【详解】由得，解得或， 又因为表示不大于的最大整数， 所以由得，由得， 所以，所以. 故答案为： 变式8-1．不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故选：B 变式8-2．设全集是实数集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图像可知：阴影部分为， 又 , 所以， 故选：B 变式8-3．求下列不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 解得或， 则不等式的解集为. （2）由， 则方程无实根， 结合函数的图象， 可得不等式的解集为. 考点9 解含参一元二次不等式 【方法点拨】解含参数的一元二次不等式： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 例17．已知关于x的不等式． (1)若，，且，试求它的解集； (2)若，，试求它的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，，且， 所以，即， 所以，解得， 不等式的解集为. （2）若，， 则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，因为，所以解得或； 当时，，所以由不等式可解得； 当时，，所以由不等式可得. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 例18．关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为，即为， 令，解得或，且， 若，不等式的解集为， 由题意可得：； 若，不等式的解集为，不合题意； 若，不等式的解集为， 由题意可得：，解得； 综上所述：实数a的取值范围是或. 故选：B. 变式9-1．已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意，函数，令，所以， 则，所以. （2）由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式9-2．已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，不等式为， 即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）由，则， 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 变式9-3．解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 考点10 解分式不等式及高次不等式 【方法点拨】解分式不等式：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 例19．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 故， ， 所以. 故选：D. 例20．若x满足，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】由，得或， 解，得，解，得， 所以x的取值范围为或. 故答案为：或 变式10-1．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以， 所以，即， 解得或， 故的取值范围为． 故选：D． 变式10-2．不等式的解集是 . 【答案】 【详解】不等式可转化为，即，等价于， 解得. 故答案为：. 变式10-3．已知集合，集合，若中有三个元素，则的一个值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题得， 不等式，即， 则． 若中有三个元素，则必为，，， 则有，又， 所以， 故答案为：．（答案不唯一） 考点11 解含绝对值的不等式 【方法点拨】解和型不等式的解法 ①；② 例21．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得或，则或， 由，得，所以，， 所以． 故选：D． 例22．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，解得； 由，得，得， 当时，一定可以推出，而当时，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 变式11-1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可解得，即， 由可解得：，即， 故. 故选：C. 变式11-2．已知集合，若，则的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得：， 由可得：或， 所以，或， 因为，所以， 所以或，解得：或， 则的范围为. 故选：B. 变式11-3．（多选）下列命题中，是命题的充分条件的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由，即，解得或， 即， 因为， 所以是命题的必要不充分条件，故A错误； 因为真包含于， 所以是命题的充分条件，故B正确； 因为真包含于， 所以是命题的充分条件，故C正确； 因为不包含于， 所以不是命题的充分条件，故D错误； 故选：BC 考点12 由一元二次不等式的解集求参 【方法点拨】（1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 例23．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】令，关于的一元二次不等式的解集为函数图象在轴下方的部分对应的点的横坐标的集合， 由函数的图象的对称轴为， 所以为使得不等式的解集中有且仅有个整数， 必须且只需使得，解得， 故选：AB. 例24．若不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C．10 D．14 【答案】B 【详解】由题设，可得，故. 故选：B 变式12-1．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以，故A正确； 由题意，方程的根为，4， 则，， 所以，，所以，故C错误； 不等式，等价于，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 不等式等价于， 即为，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 变式12-2．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意可知，且1和2是方程的两根， 所以解得所以，即为， 可化为，即，解得. 所以所求不等式的解集是. 故答案为：. 变式12-3．设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 【答案】19 【详解】由不等式的解集是可知： 的两根为，2， 所以，所以， 所以就是， 于是． 故答案为：19. 考点13 一元二次不等式恒成立问题 【方法点拨】（1）一元二次不等式在上恒成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可； （2）含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 例25．已知函数，且关于的不等式的解集为．当时，恒成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，的解集为， 则方程的根为1和4，所以，即， 即， 所以，恒成立， 即，， 当时，单调递减，， 所以. 故答案为： 例26．“”是“对任意恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，即，所以， 由，恒成立， 即在上恒成立， 所以， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 因为真包含于， 所以“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 变式13-1．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，即时，原不等式即为恒成立； 当时， 则，解得， 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 变式13-2．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】设，，又，所以在单调递增， 当时，；当时，，由图象开口向上，，    可知方程有一正根一负根，即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意知，则当时，； 当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 则的最小值是8. 故选：C 变式13-3．若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 1．（2024-25高一上·陕西渭南·期中）已知实数a，b满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由及不等式的性质可知，，选项A正确. 令，满足，此时，且，选项B、C错误. 令，满足，此时，选项D错误. 故选：A. 2．（2024-25高一上·江苏连云港·期中）设正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则. 当且仅当，即时取等号. 故选：A 3．（2024-25高一上·北京·期中）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因为不等式的解集为，所以， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以关于x的不等式的解集为或. 故选：C. 4．（2024-25高一上·广东广州·期末）若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且，得， 当且仅当，即时取等号，依题意，，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D 5．（2024-25高一上·贵州六盘水·期末）设表示，，，中最大的数，例如.已知，均为正数，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 当且仅当，即时取等号，则. 故选：B 6．（2024-25高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 7．（2024-25高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知，，，均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，显然， ，因此，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：BCD 8．（2023-24高一下·湖南·期末）（多选）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为且，所以，则， 所以，， 对于A项，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B项，， 当且仅当，即时等号成立，所以，故正确； 对于C项，，因为， 所以，所以，即，故C错误； 对于D项，， 当且仅当时等号成立，此时不符合题意，所以等号不成立，故D正确. 故选：ABD. 9．（2024-25高一·全国·课后作业）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根，且， 则，于是，不等式化为， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 10．（2024-25高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 11．（2024-25高一上·河南驻马店·期末）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 12．（2024-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得，解得，； （2）由（1）得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最小值， 即的最小值为. 13．（2024-25高一上·福建福州·期末）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用关于的表达式; (2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元? 【答案】(1) (2)，最低费用为元 【详解】（1）运货卡车行驶的时间为， 则有 ，， 即. （2）由（1）得， 由双勾函数的性质可得函数在上为增函数， 即当时，这次行车总费用最低为元. 14．（2024-25高一上·江苏·期末）已知命题；命题. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若与有且只有一个为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）命题为真， 则恒成立，等价于， 令，由基本不等式可得，， 当且仅当时，等号成立，即，所以 故实数a的取值范围为. （2）命题q为真命题：， 故，解得或 由于与有且只有一个为假命题， ①p真q假：，故； ②p假q真：，故； 故实数a的取值范围为. 15．（2023-24高一下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见详解 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习02 不等式 知识点 1 ：不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 知识点 2 ：基本不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 知识点 3 ：一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 考点1 不等式的性质及判断 【方法点拨】利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 例1．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 例2．已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 变式1-1．（多选）已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 变式1-3．（多选）已知实数，，，满足，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 考点2 求代数式的取值范围 【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 例3．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．设实数满足：，则的取值范围是 . 变式2-1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若实数，满足，，则的取值范围为 . 变式2-3．设为实数，满足，则的最大值是 ． 考点3 作差法与作商法比大小 【方法点拨】（1）作差并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断差与0的大小⇒得结论； （2）作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大小⇒得结论 例5．（多选）下列关于不等式的说法正确的是（   ） A．， B．若，，则 C．若，，，则 D．，， 例6．（多选）若，则一定有（    ） A． B． C． D． 变式3-1．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 变式3-2．已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-3．设，比较与的大小 考点4 无条件型不等式求最值 【方法点拨】（1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 例7．已知，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．10 例8．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-1．已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，函数有最小值，则 ． 变式4-3．（多选）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 考点5 有条件型不等式求最值 【方法点拨】（1）出现分式相加模型，可进行以下步骤：①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式；②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值； （2）出现更复杂分式相加模型，可把两个分母看做一个整体进行换元，然后就得到了“1”的代换题型； （3）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 例9．已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 例10．若实数，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D．6 变式5-2．（多选）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 变式5-3．（多选）设正实数a，b满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为8 考点6 基本不等式恒成立问题 【方法点拨】恒成立问题常用分离参数法的方法： 将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 例11．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 变式6-2．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 变式6-3．已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点7 基本不等式的实际应用 【方法点拨】利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点： （1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． （3）在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 例13．某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 例14．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 变式7-1．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图所示），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计要求其横断面面积为，且高度不低于．记防洪堤横断面的腰长为x，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长 m． 变式7-2．某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 变式7-3．已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 考点8 解不含参的一元二次不等式 【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤：（1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式；（3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 例15．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例16．已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 . 变式8-1．不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 变式8-2．设全集是实数集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．求下列不等式的解集： (1) (2) 考点9 解含参一元二次不等式 【方法点拨】解含参数的一元二次不等式： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 例17．已知关于x的不等式． (1)若，，且，试求它的解集； (2)若，，试求它的解集． 例18．关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 变式9-1．已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于x的不等式解集.（其中） 变式9-2．已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 变式9-3．解关于的不等式. 考点10 解分式不等式及高次不等式 【方法点拨】解分式不等式：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 例19．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 例20．若x满足，则x的取值范围为 ． 变式10-1．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．不等式的解集是 . 变式10-3．已知集合，集合，若中有三个元素，则的一个值为 ． 考点11 解含绝对值的不等式 【方法点拨】解和型不等式的解法 ①；② 例21．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例22．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式11-1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2．已知集合，若，则的范围（    ） A． B． C． D． 变式11-3．（多选）下列命题中，是命题的充分条件的有（   ） A． B． C． D． 考点12 由一元二次不等式的解集求参 【方法点拨】（1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 例23．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 例24．若不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C．10 D．14 变式12-1．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 变式12-2．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 变式12-3．设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 考点13 一元二次不等式恒成立问题 【方法点拨】（1）一元二次不等式在上恒成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可； （2）含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 例25．已知函数，且关于的不等式的解集为．当时，恒成立，则实数k的取值范围是 . 例26．“”是“对任意恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式13-1．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 变式13-2．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 变式13-3．若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 1．（2024-25高一上·陕西渭南·期中）已知实数a，b满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024-25高一上·江苏连云港·期中）设正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024-25高一上·北京·期中）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 4．（2024-25高一上·广东广州·期末）若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024-25高一上·贵州六盘水·期末）设表示，，，中最大的数，例如.已知，均为正数，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（2024-25高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024-25高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知，，，均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 8．（2023-24高一下·湖南·期末）（多选）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024-25高一·全国·课后作业）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 10．（2024-25高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 . 11．（2024-25高一上·河南驻马店·期末）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 12．（2024-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 13．（2024-25高一上·福建福州·期末）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用关于的表达式; (2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元? 14．（2024-25高一上·江苏·期末）已知命题；命题. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若与有且只有一个为假命题，求实数的取值范围. 15．（2023-24高一下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$