预习09 正余弦定理在几何与生活中的应用（七大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习09 正余弦定理在几何与生活中的应用 知识点 1 ：实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 知识点 2 ：解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 考点01 测量距离问题 【方法点拨】 类型 图形 方法 两点间不可通或不可视 先测角,再用余弦定理求 两点间可视,但有一点不可达 以点不可达为例,先测角,再用正弦定理求 两点都不可达 测得 在中用正弦定理求;在中用正弦定理求BC; 在中用余弦定理求 【例1】如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km. 【答案】/ 【详解】由题意可知，，， 在中，由余弦定理可得， ，解得（舍）或. 故答案为：. 【例2】如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，， 气球的高度是，所以，，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以． 故选：C 【变式1-1】海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 【答案】海里． 【详解】由题意，，，    在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 故答案为：海里． 【变式1-2】如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m.    【答案】 【详解】由题设， 在中， 所以m. 故答案为： 【变式1-3】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为（    ）    A． B．80 C．160 D． 【答案】D 【详解】如图所示：    在△中，，，， ，由正弦定理，得，解得， 在△中，，， ， ，则， 在△中，由余弦定理，得 ，解得， 即,两点间的距离为， 故选：． 考点02 测量高度问题 【方法点拨】 类型 简图 计算方法 底部可达 测得 底部不可达 点与共线 测得及与的度数.先由正弦定理求出或,再解三角形得的值 点与不共线 测得及的度数.在中由正弦定理求得,再解三角形得的值 【例3】雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，在中，延长DC与AB的延长线交于点E. 由已知得，， 则，则，， 设，则， 又，则在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 又因为，所以. 故选：C 【例4】如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 【答案】204 【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为，所以， 所以米． 因为在点处测得点的仰角为，所以米． 在中，由余弦定理可得， 即，解得． 故答案为：204. 【变式2-1】南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 则在中，，即， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以. 故选：D. 【变式2-2】如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【答案】 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 【变式2-3】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【详解】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 故答案为：. 考点03 测量角度问题 【方法点拨】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 【例5】在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【详解】如下图所示：    因为点在点的南偏东，点在点的北偏西， 故选：A. 【例6】如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 【变式3-1】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【变式3-2】如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 【变式3-3】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【详解】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 考点04 四边形中的解三角形 【方法点拨】（1）四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，（1）若有一个三角形可全解，则利用该三角形帮助解其他三角形；（2）没有一个三角形可全解，则观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边或有关系的边角的三角形，利用正余弦定理构造两个方程进行联立求解 【例7】如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 【例8】如图，在四边形中，，，，，. (1)求； (2)求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，又，得到， 又， 又，，且， 所以，， 得到. （2）延长交于，设，， 在中，由正弦定理得到，由（1）知，， 所以①，由余弦定理得到②， 由①②解得或， 当时，，此时， 又，所以，不合题意，故，， 在中，由，，得到，， 所以，又， 故. 【变式4-1】如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】(1)1小时 (2)3小时 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 【变式4-2】如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为在中，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为在中，，所以． （2）在中，设，， 则由正弦定理得，即，① 又在中，，， 则由正弦定理得，即，② 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，即，所以， 因为在中，，所以， 把代入①式得，． 【变式4-3】如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方法1、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 设，则， 再在中，由正弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，周长的最大值为. 方法2、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，可得， 在中，由余弦定理得 所以， 因为当且仅当时等号成立， 所以， 所以周长的最大值为. （2）解：依题意得，设， 在中由余弦定理得，可得， 所以，解得，所以， 可得，所以， 在中，由正弦定理，所以， 则， 在中，由余弦定理得， 所以. 考点05 中线问题 【方法点拨】若是的角平分线，则方法一：向量法； 方法二：双余弦定理法 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 【例9】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求B； (2)设D为边的中点，若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，， 即， 由正弦定理可得， 因为，， 所以， 故， 因为，所以， 所以，又因为，所以； （2）D为边的中点，故， 两边平方得， 即，故①， 由余弦定理可得，， 又，所以②， 联立①②得，， 因为的面积为，解得， 所以，解得， 因为， 所以，故，， 所以的周长为. 【例10】在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）    在三角形中，，， 所以由余弦定理得：， 所以，又，所以， 又，所以. （2）在三角形中，，所以， 所以，    所以在中，为的中点，所以，，， 所以由余弦定理得：， 所以， 在中，，，， 所以由余弦定理得： 所以， 所以在中，由余弦定理得：. 【变式5-1】在△中，角的对边分别为，已知 (1)求 ; (2)若 分别为边 上的中点，为 的重心，求 的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 即 由正弦定理得 ， 由余弦定理得 ，因为 （2）设 ， 依题意可得 所以 所以. 【变式5-2】已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求； (2)若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （2）依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 【变式5-3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，， 则由得：， 在中，， ，则， ，， ， ，； （2）∵D为AC的中点，，，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积. 考点06 角平分线问题 【方法点拨】若是的角平分线，则有：①；② 【例11】在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得，即， 又因为，且， 即，解得. 【例12】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C的大小； (2)若，∠ACB的角平分线交AB于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2），， 又因为，则，， 且，则，即， 与联立，解得（负值舍去），则. 【变式6-1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且． (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，，点E在线段AC上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 故， 因为，所以； （2）由正弦定理得，解得， 因为，所以， 因为B的角平分线交AC于点D，所以， 由得， 即， 在中，由余弦定理得， 故，即， 联立与，解得，负值舍去， 故，解得， 由三线合一可得⊥，且，， 故，. 【变式6-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得：， ∴， 即， 又∵， ∴，则有， ∴， 即， 又∵，∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得； （2）由得，，所以， 由（1）知，，    由余弦定理得：， 因为，所以， ∴， 由得：， ∴． 【变式6-3】设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若AD为的角平分线，，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 即． 因为， 所以． 因为，所以． 又，则． （2）因为，所以． 由，得， 得．又，解得，， 则， 所以的周长为． 考点07 面积周长的最值范围 【方法点拨】（1）利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”； （2）利用正弦定理，边角互化来求。化角后，再统一成一个角，要注意角的取值范围限制 【例13】已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以由正弦定理得，因为， 所以，即， 因为，所以，解得 因为的面积等于，则，得， 在中，由余弦定理得 的周长为， 当且仅当时等号成立， 综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为． 故答案为：. 【例14】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 【变式7-1】已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 【变式7-2】在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，所以； （2）如图，由题意及第（1）问知，， 且， ∴， ∴，化简得， ∵，，∴由基本不等式得，∴， 当且仅当时，等号成立， ∴， ∴， 故的面积的最小值为.    【变式7-3】在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即，即， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）由（1）得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 则， 因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当或时，， 所以，函数在上的值域为， 因为，则， 故. 因此，的取值范围为. 1．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由题可知. 在中，由余弦定理可得海里， 所以乙船至少需要航行的海里数为. 故选：A. 2．（2023-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设行驶15分钟时，甲船到达处， 由题意知， 所以由余弦定理，得， 所以. 故选：B. 3．（2023-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，边上的中线，则面积S为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长AD到点E使DE=AD，连接CE， 则因为边上的中线， 所以△ABD≌△ECD 所以，， 面积等于的面积 在三角形ACE中，由余弦定理得： ， 则 所以 故选：C 4．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故选：B 5．（2023-24高一下·吉林延边·期中）在中，在边上，且平分，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由角平分线性质定理可得：，所以不妨设，则， 由三角形余弦定理得：， 代入已知条件得：， 即，解得，即， 再由三角形等面积关系得：， 即， 利用已知条件可得： 即，代入已知数据得： ，解得：. 故选：A. 6．（2023-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得，所以， 所以，又，所以， 由正弦定理得， 由，得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 7．（2023-24高一下·广西钦州·期中）（多选）某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】BCD 【详解】对于A，在中，由正弦定理得所以米，故A错误； 对于B，在中米，故B正确； 对于C，在中，由正弦定理得，所以米，故C正确； 对于D，在中，米，所以米，故D正确． 故选：BCD． 8．（2023-24高一下·全国·单元测试）（多选）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 【答案】AD 【详解】如图，连接． 依题意，（海里），而海里，， 则是正三角形，所以海里． 在中，海里， 由余弦定理得 （海里）， 则有，所以，所以， 所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确． 延长与交于点O，显然有，即， 易得海里，海里，海里， 甲船从出发到点O用时（小时）， 乙船从出发到点O用时（小时）， ，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确． 故选：AD． 9．（2025高三·全国·专题练习）两根无弹性的绳子把物体吊在水平杆子上，．已知物体的重力大小为20，且，则当 时，绳承受的拉力最小． 【答案】 【详解】作出示意图如图所示，设与物体的重力平衡的力对应的向量为， 则，以为对角线作平行四边形，其中，分别在上， 则是绳承受的拉力大小． 由，得，所以． 在中，由正弦定理得，即， 可得，又， 所以当承受的拉力最小时，. 故答案为：. 10．（2023-24高一下·广西柳州·开学考试）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 【答案】 【详解】由余弦定理得， ，两边平方得， 故. 故答案为： 11．（2023-24高三上·江西·阶段练习）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，，则， 不妨设，则， 因为，则， 所以，，同理可得， 因为，则， 故， 由二倍角的余弦公式可得，可得， 所以，. 故答案为：. 12．（2023-24高一下·全国·课后作业）已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 【答案】缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船 【详解】设缉私艇在处截住该走私船， 依题意， 由余弦定理得， 所以缉私艇速度为海里/时， 又，为锐角，所以， 所以缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船. 13．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设， 因为的面积为， 所以，解得， 所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 在中，，所以， 所以； （2）由（1）可得， 在中，由正弦定理得， 所以，且． 由（1）可得，又， 所以． 14．（2023-24高二上·贵州遵义·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 15．（2023-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 因为，所以，所以. （2）因为为中点，所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故. （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以， 所以 ， ， 设内切圆半径为， 则. 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，即， 即内切圆半径的取值范围是：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习09 正余弦定理在几何与生活中的应用 知识点 1 ：实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 知识点 2 ：解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 考点01 测量距离问题 【方法点拨】 类型 图形 方法 两点间不可通或不可视 先测角,再用余弦定理求 两点间可视,但有一点不可达 以点不可达为例,先测角,再用正弦定理求 两点都不可达 测得 在中用正弦定理求;在中用正弦定理求BC; 在中用余弦定理求 【例1】如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km. 【例2】如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 【变式1-2】如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m.    【变式1-3】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为（    ）    A． B．80 C．160 D． 考点02 测量高度问题 【方法点拨】 类型 简图 计算方法 底部可达 测得 底部不可达 点与共线 测得及与的度数.先由正弦定理求出或,再解三角形得的值 点与不共线 测得及的度数.在中由正弦定理求得,再解三角形得的值 【例3】雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 【变式2-1】南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【变式2-3】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 考点03 测量角度问题 【方法点拨】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 【例5】在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【例6】如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【变式3-2】如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【变式3-3】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 考点04 四边形中的解三角形 【方法点拨】（1）四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，（1）若有一个三角形可全解，则利用该三角形帮助解其他三角形；（2）没有一个三角形可全解，则观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边或有关系的边角的三角形，利用正余弦定理构造两个方程进行联立求解 【例7】如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【例8】如图，在四边形中，，，，，. (1)求； (2)求四边形的面积. 【变式4-1】如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【变式4-2】如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【变式4-3】如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 考点05 中线问题 【方法点拨】若是的角平分线，则方法一：向量法； 方法二：双余弦定理法 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 【例9】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求B； (2)设D为边的中点，若，且的面积为，求的周长. 【例10】在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求. 【变式5-1】在△中，角的对边分别为，已知 (1)求 ; (2)若 分别为边 上的中点，为 的重心，求 的余弦值. 【变式5-2】已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求； (2)若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 【变式5-3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且，，求的面积. 考点06 角平分线问题 【方法点拨】若是的角平分线，则有：①；② 【例11】在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【例12】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C的大小； (2)若，∠ACB的角平分线交AB于点D，且，求的面积． 【变式6-1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且． (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，，点E在线段AC上，，求的面积． 【变式6-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 【变式6-3】设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若AD为的角平分线，，且，求的周长． 考点07 面积周长的最值范围 【方法点拨】（1）利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”； （2）利用正弦定理，边角互化来求。化角后，再统一成一个角，要注意角的取值范围限制 【例13】已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 【例14】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【变式7-1】已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【变式7-2】在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【变式7-3】在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 1．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 2．（2023-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，边上的中线，则面积S为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（2023-24高一下·吉林延边·期中）在中，在边上，且平分，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．（2023-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高一下·广西钦州·期中）（多选）某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（2023-24高一下·全国·单元测试）（多选）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 9．（2025高三·全国·专题练习）两根无弹性的绳子把物体吊在水平杆子上，．已知物体的重力大小为20，且，则当 时，绳承受的拉力最小． 10．（2023-24高一下·广西柳州·开学考试）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 11．（2023-24高三上·江西·阶段练习）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ． 12．（2023-24高一下·全国·课后作业）已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 13．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 14．（2023-24高二上·贵州遵义·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 15．（2023-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$