精品解析：河北省邢台市部分高中2024-2025学年高三上学期12月期末数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则和模的计算公式求解即可. 【详解】，故. 故选：B. 2. 已知单位向量和的夹角为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积运算律得出，即可得出模长. 【详解】，即. 故选：D. 3. 已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，由椭圆的定义可得，利用两点间的距离公式可求得，可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意，设，，， 则，， ， 则，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整体代换应用诱导公式计算化简，再结合二倍角公式计算即可. 【详解】令，则，， . 故选：D. 5. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】充分性：若，因为，，，所以， 因为，所以，则充分性成立. 必要性：当时，与不一定垂直，则必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，进而利用等差数列的前项和公式可求得. 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：B. 7. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 8. 已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由，可得， 即，. 因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数， 故，即. 因为，所以，即实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合恰有两个子集，则的值可能为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】集合恰有两个子集，则集合有1个元素，问题转化为方程组有一个的实数解即可. 【详解】由，可得由题可知中只有一个元素. 当时，解得，此时，符合题意； 当时，即，则或是方程的解. 当是方程的解时，解得，此时，符合题意； 当是方程的解时，无解.故或4. 故选：AC. 10. 若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先设切点为，得出切线方程为，再根据有两个切线得出方程有两个解求参即可. 【详解】令，则， 设切点为，所以切线方程为，切线过点， 代入得，即方程有两个解， 则，解得或. 故选：BCD. 11. 在棱长为6的正方体中，为的中点，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，平面 D. 当，时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直得出线线垂直判断A,应用体积公式及线面平行判断B，应用面面平行得出线面平行判断C,应用补体及长方体的外接球判断D. 【详解】设，，，，分别为棱，，，，的中点， 当时，点在线段上，平面， 所以平面，又平面，所以，A正确. 当时，点在线段上，，平面， 与平面不平行，所以三棱锥的体积不是定值，B错误. 当时，点在线段上， 因为，分别为棱，的中点，所以,不在平面内，所以平面， 因为，分别为棱，的中点，所以,不在平面内，所以平面， 平面，平面平面，又平面，所以平面，C正确. 当，时，为的中点，如图，三棱锥与三棱柱的外接球相同. 在中，，， 由余弦定理得，所以. 设外接圆的半径为， 在中，由正弦定理得， 故外接圆的半径. 设三棱柱外接球的半径为，由勾股定理得， 则三棱锥外接球的表面积，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为______.（用数值作答） 【答案】 【解析】 【分析】直接运用独立重复试验的概率公式进行计算求解即可. 【详解】投球4次，恰好投进3个球的概率为. 故答案为：. 13. 已知数列，满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，然后求和即可. 【详解】由，，可得， . 故答案为： 14. 设，为双曲线上两点，线段的中点为，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，,利用点差法可得，求得直线的方程，与双曲线联立方程组可得，利用，可求得的取值范围. 【详解】设，.由的中点为，得，. 因为，在双曲线上，则，两式相减得， 所以，故直线的方程为，即， 联立方程,消去得， 显然，此时， 令，可得，所以或，结合，故或， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：有关中点弦的问题，常常采用点差法，求得中点坐标与直线的斜率的有关关系，再根据题意条件求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表. 性别 感冒情况 合计 不感冒 感冒 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 （1）请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性； （2）利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为性别与感冒情况无关. （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据列联表，计算值并根据其与的大小比较得出结论； （2）由题意，可分析得出变量服从超几何分布，按照其概率公式写出分布列，计算数学期望即得. 【小问1详解】 零假设为：性别与感冒情况不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为性别与感冒情况无关. 【小问2详解】 根据分层随机抽样的知识可知，男性有2人，女性有3人， 所以随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若为上一点，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求； （2）由，可得，结合（1）可求得，可求面积. 【小问1详解】 由，可得， 所以由正弦定理得. 由余弦定理可知，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 由（1）可知，又，所以. 所以的面积为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面. （1）证明：. （2）若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由，，，可推得，再结合平面平面，得平面，进而可证得； （2）取为的中点，在平面中，作，交于点，可证得平面，进而建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角为，建立方程可求得，进而得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 【小问2详解】 如图，取为的中点，连接， 在平面中，作，交于点， 因为，所以， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 又所以平面，所以 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，即， 可得，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，得， 易得平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角为， 所以， 整理得，解得或（舍去），所以， 又因为，所以. 18. 已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，. （1）求抛物线的方程. （2）设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：轴平分. （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设切线方程，代入抛物线方程，由可求的值，再结合焦半径公式，可求的值，得抛物线的标准方程. （2）（i）欲证轴平分，只需证即可. 设的方程为，与抛物线方程联立，借助韦达定理得到，，再表示处，整理化简即可. （ii）表示出，利用导数分析函数的单调性，求函数值域即可. 【小问1详解】 由题可知，，，由已知得直线的斜率恒不为0，故可设：. 联立，可得， 因为直线与相切于点，所以，解得， 则，. 因为，所以，解得，即抛物线的方程为. 【小问2详解】 如图： （i）由已知得直线的斜率恒不为0，故设的方程为，，， 由（1）得. 联立方程组，可得，则，， 所以. 故轴平分. （ii）由（i）可知直线与关于轴对称，所以点，关于轴对称，则. 不妨设，因为点在与之间，所以，， ，， 则，令，则， 令，则，解得；由，则，解得. 则在上单调递增，在上单调递减，， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解析几何中求求值范围的问题，通常有以下方法： （1）转化成二次函数的值域问题求解； （2）利用基本不等式求最值； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）利用导数，分析函数的单调性，求函数的最值. 19. 定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”. （1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”. （2）判断函数是否为“等差函数”，并说明理由. （3）判断函数是否为“等比函数”，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）函数不是“等差函数”，理由见解析 （3）函数不是“等比函数”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）令，利用等差函数的定义计算可判断结论； （2）假设函数为“等差函数”，可得，，，进而利用换元法判断方程无解即可得结论； （3）假设函数为“等比函数”， 设公比为，所以，，求得，，进而构造函数判断方程无解即可得结论. 【小问1详解】 令. 设，，是曲线上三个不同的点. 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，即，则，故是“等差函数”. 【小问2详解】 假设函数为“等差函数”. 因为，且，，成等差数列，所以. 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得，令，即. 令，则. 令，则，故在上单调递增， ，即，则在上单调递增，. 故当时，，即无解， 故函数不是“等差函数”. 【小问3详解】 假设函数为“等比函数”. 因为，且，，成等比数列，设公比为，所以，， 直线的斜率 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得. 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以在时无实数解，所以函数不是“等比函数”. 【点睛】关键点点睛：本题第二，三问的关键是根据斜率关系式得到方程，再利用方程的结构特点选择恰当的方法判断方程无解即可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知单位向量和的夹角为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 7. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 8. 已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合恰有两个子集，则的值可能为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为6的正方体中，为的中点，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，平面 D. 当，时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为______.（用数值作答） 13. 已知数列，满足，，则______. 14. 设，为双曲线上两点，线段的中点为，，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表. 性别 感冒情况 合计 不感冒 感冒 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 （1）请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性； （2）利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若为上一点，，，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面. （1）证明：. （2）若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求. 18. 已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，. （1）求抛物线的方程. （2）设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：轴平分. （ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围. 19. 定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”. （1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”. （2）判断函数是否为“等差函数”，并说明理由. （3）判断函数是否为“等比函数”，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $