精品解析： 广东省江门市2024-2025学年上学期义务教育质量监测九年级数学试题

2024—2025学年度第一学期义务教育质量监测 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 声音会在空气中传播 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，背面向上 C 过马路遇到红灯 D. 如果，那么 5. 如图，一块含角的直角三角板绕点逆时针旋转一定的角度到的位置，且，则三角板旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形内接于的半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ） A. 3 B. C. D. 2 7. 若三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若一次函数的图像如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，弦的长为，点在上，．若所在的平面内有一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 10. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点A与点B关于原点O的对称，若点A的坐标为(－3,2)，则点B的坐标为 ______ ． 12. 一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右，则盒子中约有________个红色小球． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 14. 如图，小亮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是，高度是．若实心球的落地点为，则________． 15. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交边于点，则阴影部分的面积为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上． 18. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀． （1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片概率是________． （2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率． 20. （1）尺规作图：已知及圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别是点和点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接并延长，交于点，连接．若，求的度数． 21. 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 23. 综合与探究 如图，抛物线与坐标轴交于，，三点，其中点和点的坐标分别为和． （1）求抛物线的解析式． （2）求线段长． （3）如图2，P为抛物线第三象限上一个动点，过点P作轴，交y轴于点H，连接，，与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当时，S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期义务教育质量监测 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：如果一个图形绕着一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 3. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解后判断即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为； 故选B． 4. 下列事件是必然事件是（ ） A. 声音会在空气中传播 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，背面向上 C. 过马路遇到红灯 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类．必然事件是一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件；随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是必然事件，符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、随机事件，不符合题意； 故选A． 5. 如图，一块含角的直角三角板绕点逆时针旋转一定的角度到的位置，且，则三角板旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，设和相交于点，根据题意，得到，求出的度数即可． 【详解】解：设和相交于点， ∵， ∴， 由题意，得：， ∴，即：三角板旋转的角度是； 故选B． 6. 如图，正六边形内接于的半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出度数，得到为的等边三角形，三线合一求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， 由题意，得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴； 故选B． 7. 若三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的函数值的大小关系，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵三点都在二次函数的图象上，且， ∴； 故选D． 8. 若一次函数的图像如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， 所以二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有B， 故选：B． 9. 如图，在中，弦的长为，点在上，．若所在的平面内有一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】设与交于点，圆周角定理得到，勾股定理求出的长，进而判断与的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在上． 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，判断点与圆的位置关系，解题的关键是求出半径的长． 10. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点A与点B关于原点O的对称，若点A的坐标为(－3,2)，则点B的坐标为 ______ ． 【答案】(3,-2) 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标变换规律：两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：已知点A与点B关于原点O的对称，若点A的坐标为(－3,2)，则点B的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标变换，熟练掌握关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键． 12. 一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右，则盒子中约有________个红色小球． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据题意，得到摸取到红色小球的概率为，设盒子里有个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右， ∴摸取到红色小球的概率为， 设盒子里有个红色小球，由题意，得：， 解得：； 故盒子中约有5个红色小球； 故答案为：5． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14. 如图，小亮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是，高度是．若实心球的落地点为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意设出二次函数的解析式为，待定系数法求出函数解析式，再令，求出自变量的值，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意设二次函数的解析式为，点， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交边于点，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．连接，过点作，垂足为，找出即可求出答案． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示， ∵， ∴， ， 则， 以点C为圆心，的长为半径作弧， ，又， 是等边三角形， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用十字相乘法进行因式分解后，求解即可． 【详解】解： ， ∴或， ∴． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】（1） （2）点不在这个函数图象上 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出函数值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，， ∴点不在这个函数图象上． 18. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀． （1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是________． （2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式，正确画出表格，是解题的关键． （1）利用概率公式进行计算即可； （2）B，D为物理变化，列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中两张内容均为物理变化的有，或，共2种情况， ∴． 20. （1）尺规作图：已知及圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别是点和点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接并延长，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定、四边形的内角和，熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解答本题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接即可． （2）由（1）知，，根据四边形内角和为求得，再由圆周角定理得到，即可得的答案． 【详解】解：（1）如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接， 由圆周角定理可得，， ∵为的半径， ∴为的切线． 则即为所求； （2）由（1）知，， ∵， ∴． ∴． 21. 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 【答案】（1） （2）200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种运动器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款40万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市参加体育运动的人数的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种运动器材的套数大于120套， 设购买的这种运动器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元，不符合题意，故舍去， 当时，售价元，符合题意， 答：购买的这种运动器材的套数为200套． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转性质得，，，，，则可求得，是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，过作交延长线于H，则，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得，，，， 为等边三角形 ， 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， ， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3）如图３，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，，，，， ，是等边三角形， ，， ∵， 、、、四点共线， 过作交延长线于H，则， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 23. 综合与探究 如图，抛物线与坐标轴交于，，三点，其中点和点的坐标分别为和． （1）求抛物线的解析式． （2）求线段的长． （3）如图2，P为抛物线第三象限上的一个动点，过点P作轴，交y轴于点H，连接，，与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当时，S的值． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求得点的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，则，四边形是矩形，根据，表示出，进而求得的长，根据三角形的面积公式，列出函数关系式，进而根据得出纵坐标为，即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入得， 解得： ∴； 小问2详解】 当时， 解得： ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵P为抛物线第三象限上的一个动点，设点P的横坐标为t， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则，四边形是矩形， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴， 即 ∵四边形是矩形，，当时，则 ∴ 解得：或（舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $