精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2024-2025学年九年级上学期教学质量监测数学试卷

初三教学质量监测数学试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列选项中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下事件为随机事件的是（ ） A. 从三个数中任取两个数，和为6 B. 任意画一个四边形，其内角和是 C. 太阳每天从东方升起 D. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 如图，点在上，C为的中点．若 ，则 的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将以点为中心，逆时针旋转得到，点、点的对应点分别是点、点，当点恰好第一次落在边上时，则旋转角的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图是小孔成像的示意图，已知物距为，像距为，则当火焰高度为时，火焰的像的高度是（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 9 7. 若 ，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 8. 2023年12月10日，龙城太原迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边 ，中点，点O为正方形的中心，连接 ，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接， 的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线 的对称轴为，与轴的一个交点在点 和 之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ① ；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为____． 13. 如图，正五边形内接于，点F为上一点，则_______． 14. 如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 于点；②以点D为圆心，以 长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若 与四边形 的面积比为，则的值为_______． 15. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以， 为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为______． 16. 已知内接于，且的半径为6，圆心O到底边 的距离为3，则的长为_______． 17. 如图，以为边的正方形的对角线的交点都在函数的图像上，边都在轴上，则点的坐标是_______． 三、解答题（满分69分） 18. （1）计算： （2）分解因式： 19. 解方程：． 20. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为_______人，A类活动所占圆心角的度数为_______度； （2）补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）； （3）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （4）该校从C类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是_______． 21. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、 、，且 ． （1）求证：为的切线； （2）若 ， ，求阴影部分的面积． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接 ，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 23. 综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． （1）提出问题：若 和都是等边三角形，连接和 交于点，如图1所示，线段 与线段的数量关系是_______， _______； （2）探究证明：若 和都是直角三角形，，连接和 交于点，如图2所示，试猜想 与的关系，并说明理由； （3）拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中 固定不动，将绕顶点旋转，当点 在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中 固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则 的最小值为_______． 24. 综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． （1）求二次函数的解析式； （2）点E是y轴上任意一点，若是以 为腰的等腰三角形，则点E的坐标为_______； （3）当时，求点D的坐标； （4）在（3）的条件下，在x轴上存在一点F，则最小值为_______，此时点F的坐标为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三教学质量监测数学试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列选项中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别；理解中心对称图形的定义是解答的关键．根据中心对称图形的定义分析判断：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形与原来图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点为对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 以下事件为随机事件的是（ ） A. 从三个数中任取两个数，和为6 B. 任意画一个四边形，其内角和是 C. 太阳每天从东方升起 D. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A. 从三个数中任取两个数，和为6，是不可能事件； B. 任意画一个四边形，其内角和是，是必然事件； C. 太阳每天从东方升起，是必然事件； D. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件； 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴且， 故选C． 4. 如图，点在上，C为的中点．若 ，则 的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∵C是的中点， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，，将以点为中心，逆时针旋转得到，点、点的对应点分别是点、点，当点恰好第一次落在边上时，则旋转角的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，根据旋转性质得到，进而由等腰三角形的判定与性质得到，最后由三角形内角和定理求出，由旋转性质即可得到答案，熟记旋转性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：由旋转性质得到， ， 在中，由三角形内角和定理可知， 由旋转性质可知，旋转角的度数等于， 故选：C． 6. 如图是小孔成像的示意图，已知物距为，像距为，则当火焰高度为时，火焰的像的高度是（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可得与平行， ∴， 则， 即， 解得：， 即火焰的像的高度是， 故选：B． 7. 若 ，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵ ，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 8. 2023年12月10日，龙城太原迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意列方程为： ， 故选：D． 9. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接 ，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接， 的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心， ∴直线EO垂直BC， ∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t， ∴S=； 当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心， ∴直线OF∥BC， ∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t， ∴S=； 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 10. 抛物线 的对称轴为，与轴的一个交点在点 和 之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ① ；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出 的符号，即可判断①；由 时， ，即可判断②；画出函数的图象，根据图象可判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴ ， ∴ ， ∵抛物线开口向下， ∴ ， ∴ ， ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点在点 和 之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上， ∴， ∴ ，故①正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴ 时， ， 即， ∴，故②正确； 由方程得，， 画函数的图象如下， 由图象可知，直线与抛物线相交于两点，交点横坐标满足，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为 ，，且， ∴点在对称轴右侧， 当时, 在抛物线的右侧， 随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵, ∴， 又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大， ∴， ∴图象上有两点和，若，且，则一定有， 故④正确； ∴结论正确的有个， 故选：． 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是 ， 故答案为： ． 12. 已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆锥的母线的长度）求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2πr解出r的值即可． 【详解】设圆锥的底面半径为r． 圆锥的侧面展开扇形的半径为12， ∵它的侧面展开图的圆心角是120°， ∴弧长==8π， 即圆锥底面的周长是8π， ∴8π=2πr，解得，r=4， ∴底面圆的直径为8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13. 如图，正五边形内接于，点F为上一点，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，先由正多边形内角和定理求出 ，再分两种情况，并根据圆内接四边形的性质即可求出 ． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ①当点F在上时， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴， ②当点F在劣弧上时， 则有 故答案为：或 ． 14. 如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 于点；②以点D为圆心，以 长为半径作弧，交于点；③以点为圆心， 长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若 与四边形 的面积比为，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据作图可得 ，然后得出，可证明 ，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ， ， ， ∵ 与四边形 的面积比为， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键，设，先求出，则，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：2． 16. 已知内接于，且的半径为6，圆心O到底边 的距离为3，则的长为_______． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，当是锐角三角形时，连接， ，过O点作于点D，先求出长，证明是等边三角形即可解题；当是钝角三角形时，连接， ， 交AC于点D，证明是菱形解题即可． 【详解】解：如图，当是锐角三角形时，连接， ，过O点作于点D， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图，当是钝角三角形时，连接， ， 交AC于点D， ∵， ， ∴ 垂直平分， 又∵， ∴是菱形， ∴； 故答案为：或． 17. 如图，以为边的正方形的对角线的交点都在函数的图像上，边都在轴上，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出各个正方形的边长，如图所示，表示出正方形、、坐标，再由中点坐标公式求出坐标，根据都在函数的图像上，代入表达式解一元二次方程即可求出、、坐标，进而得到横坐标满足的规律是，从而确定答案． 【详解】解：如图所示： 设， ， 为正方形对角线的交点， ， 在函数的图像上， ，解得 或（负值，舍去），即； 设，则， ， 为正方形对角线的交点， ， 在函数的图像上， ，解得或（负值，舍去），即； 设，则， ， 为正方形对角线的交点， ， 在函数的图像上， ，解得或（负值，舍去），即； 综上所述，横坐标满足的规律是，即， 横坐标为，即点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的坐标规律，涉及正方形性质、反比例函数图象与性质、中点坐标公式、解一元二次方程等知识，熟记正方形性质、反比例函数图象与性质、中点坐标公式求出相关点的坐标找出规律是解决问题的关键． 三、解答题（满分69分） 18. （1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，实数的运算，因式分解； （1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，零次幂，再合并即可； （2）把原式分组，再按照公式法分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 19. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程．先找出方程中 的值，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 解得，． 20. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为_______人，A类活动所占圆心角的度数为_______度； （2）补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）； （3）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （4）该校从C类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是_______． 【答案】（1） （2）见详解 （3）600人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法或列表法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再根据选择A类的学生人数和总人数即可求出圆心角的度数． （2）先求出选择D类的学生人数，再补全条形统计图即可； （3）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （4）利用列表法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为 （人）， A类活动所占圆心角的度数为， 故答案为：200，72． 【小问2详解】 解：选择类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为600人； 【小问4详解】 解：列表如下图： 男 男 男 女 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 由表格可知，共有20种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有12种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 21. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、 、，且 ． （1）求证：为的切线； （2）若 ， ，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与 中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出 ，求出 ，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形 的面积，求差即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∴ ． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接 ，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴ ； 【小问2详解】 解：设一次函数 与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 23. 综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． （1）提出问题：若 和 都是等边三角形，连接和 交于点，如图1所示，线段 与线段的数量关系是_______， _______； （2）探究证明：若 和 都是直角三角形，，连接和 交于点，如图2所示，试猜想 与的关系，并说明理由； （3）拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中 固定不动，将 绕顶点旋转，当点 在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中 固定不动，将 绕顶点旋转，在旋转过程中，则 的最小值为_______． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得 ，即 ，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接 ，在 中，，当点三点共线时，，此时线段 的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得 的值，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 和 都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵ 和 都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ，即 ， 综上所述，； 【小问3详解】 解：由（2）可得，， ①如图所示，点 在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； ②如图所示， ∵ 绕顶点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接 ， 在 中，， 当点三点共线时，，此时线段 的值最小， ∵ 和 都是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． （1）求二次函数的解析式； （2）点E是y轴上任意一点，若是以 为腰的等腰三角形，则点E的坐标为_______； （3）当时，求点D的坐标； （4）在（3）的条件下，在x轴上存在一点F，则最小值为_______，此时点F的坐标为_______． 【答案】（1） （2）或或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）设二次函数的表达式为，再将点代入求出的值即可； （2）根据等腰三角形的性质，分别分为和两种情况讨论即可； （3）设，过作 轴交于，设直线为，用待定系数法求出直线的表达式，再得出，根据求出即可； （4）找出点关于轴的对称点，由共线时，最小，即可得出结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， 且与y轴交于点， 设， 将点代入得， 即，解得， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 设，， ∵是以 为腰的等腰三角形， 当时，， ∴或， 或 ∴或， 当时，， ∴， ∴， 其中与点重合， ∴ ，点， 综上所述，或或． 【小问3详解】 设，过作 轴交于， 设直线为， 将代入得， ，解得， ∴直线为 ， ∴， ， ∴ ， ∵， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点． 【小问4详解】 取关于轴的对称点， ∴， 连接交轴于点， 此时， ∴， ∴，即最小值为的长， ∵， ∴， ∴最小值为， 设所在直线的表达式为， 则，解得， ∴所在直线的表达式为， 当时，得， 解得 ， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质、二次函数的应用—面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $