第九章第6讲二元一次方程组的解法2024-2025学年沪教版（五四制）六年级数学下册寒假讲义

第6讲 二元一次方程组的解法 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是　58　． 【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 【解答】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴10x+y＝58． 故答案为：58． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．两个长方形的长与宽的比都是2：1，大长方形的宽比小长方形的宽多3cm，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，则大长方形的周长是 　36　cm． 【分析】设小长方形的宽为xcm，大长方形的宽为ycm，则小长方形的长为2xcm，大长方形的长为2ycm，由题意：大长方形的宽比小长方形的宽多3cm，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，列出方程组，解方程组，即可求解． 【解答】解：设小长方形的宽为xcm，大长方形的宽为ycm，则小长方形的长为2xcm，大长方形的长为2ycm， 由题意得：， 解得：， 则2y＝12， ∴大长方形的周长为2×（6+12）＝36（cm）， 故答案为：36． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？ 【分析】设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【解答】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．已知平面上有x个点，联结其中任意两点得到一条线段，若线段的总数是m条，则下列求x的方程中符合题意的方程是（　　） A．2x（x﹣1）＝m B．x（x+1）＝2m C．2x（x+1）＝m D．x（x﹣1）＝2m 【分析】根据线段的总数的公式解答即可． 【解答】解：根据题意可得：x（x﹣1）＝2m，故选：D． 【点评】此题考查由实际问题抽象得出二元一次方程，关键是根据线段总数的公式解答． 5．如果一个两位正整数交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么这个数可以是　16，27，38，49　（写出所有满足条件的数） 【分析】设个位数字为x，十位数字为y，进而利用一个两位正整数交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45得出方程解答即可． 【解答】解：设个位数字为x，十位数字为y，根据题意可得： 10x+y﹣10y﹣x＝45， 即x﹣y＝5， 当x＝9，y＝4，两位数是49； 当x＝8，y＝3，两位数是38； 当x＝7，y＝2，两位数是27； 当x＝6，y＝1，两位数是16； 故答案为：16，27，38，49． 【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程解答． 6．解方程组： 【分析】①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． 【解答】解：将①代入②并化简得 x+y＝3 ④， ④+③，得 x＝3， ④﹣③，得 y＝0， 将x＝3，y＝0代入①，得z＝3， ∴原方程组的解 【点评】本题考查了三元一次方程组，熟练运用加减消元法与代入消元法是解题的关键． 7．已知＝，那么代数式＝　　． 【分析】设＝＝k，得到解三元一次方程组，求得x、y、z的值，代入解析式即可求得． 【解答】解：设＝＝k， ∴ 解得， ∴代数式＝＝， 故答案． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果x个，买苦果y个，那么列出的关于x，y的二元一次方程组是 　　． 【分析】由甜果苦果共买千可得出x+y＝1000，利用总价＝单价×数量可得出x+y＝999，联立两方程组成方程组即可得出结论． 【解答】解：∵甜果苦果共买千， ∴x+y＝1000； ∵甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱， ∴x+y＝999． 联立两方程组成方程组． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间，两个班都有一些同学参与课外天文小组，（1）班参加的人数是（2）班没有参加的，（2）班参加的人数是（1）班没有参加的．问这两个班没有参加天文小组各多少人？ 【分析】根据题意和题目中的数据，可以先设（1）班参加的有x人，（2）班参加的有y人，然后即可表示出（1）班和（2）班没有参加的人数，再根据题目中的数据，即可得到二元一次方程和不等式，从而可以求得这两个班没有参加天文小组各多少人． 【解答】解：设（1）班参加的有x人，（2）班参加的有y人， ∵（1）班参加的人数是（2）班没有参加的， ∴（2）班没有参加的有3x人， ∵（2）班参加的人数是（1）班没有参加的， ∴（1）班没有参加的有4y人， ∵六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间， ∴x+4y＝y+3x，30＜x+4y＜50，30＜y+3x＜50， 解得，， 当x＝9，y＝6时，3x＝27，4y＝24， 当x＝12，y＝8时，3x＝36，4y＝32， 答：这两个班没有参加天文小组分别为27人、24人或36人、32人． 【点评】本题考查二元一次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系或不等关系，列出相应的方程和不等式． 10．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液共400瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共7500元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1800人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【分析】（1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据总价＝单价×数量，结合该校购买两种消毒液400瓶共花费7500元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用使用时间＝购进消毒液的总容量÷（平均每人每天的使用量×该校在校师生人数），即可求出结论． 【解答】解：（1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶， 依题意得：， 解得：． 答：甲种消毒液购买了100瓶，乙种消毒液购买了300瓶． （2）（300×100+500×300）÷（10×1800）＝10（天）． 答：这批消毒液可使用10天． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 二．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 三．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 四．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 五．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 六．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 七．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 八．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 九．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 十．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 十一．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 十二．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 例题1：解方程组 教法说明：可以让学生用代入消元法和加减消元法两种方法来解，并比较两种方法的优劣。总结什么样的二元二次方程组用代入消元法解比较简便． 参考答案： 试一试：解方程组 例题2：解方程组： 教法说明：可以让学生先观察方程组，让学生思考代入消元法和加减消元法哪种方法计算更简便 参考答案： 试一试：解方程组： 例题3：解方程组 教法说明：先要让学生将二元一次方程组的系数化为整数 参考答案： 解：原方程组可变形为 由(1)+(2)得： 由(1)—(2)得： 所以原方程组的解是 试一试：解方程组 解：原方程组可变形为 得： 把代入(2)得： 所以原方程组的解是。 例题4：解方程组： 教法说明：观察三元一次方程组，如果有一个未知数的值已知，可以将其代入其它两式，转化为二元一次方程组。本题实际上就是将代入（2）（3）中解关于y、z的二元一次方程组． 参考答案： 试一试：解方程组： 教法说明：本题建议让学生参照例题1的方法进行求解，将（3）式变形为，在将y、z分别代入（2）解关于x的一元一次方程．让学生思考下还有没有其它的简便方法． 参考答案： 例题5：解方程组： 参考答案：观察方程组，发现(3)式只含有未知数x、y，可以通过(1)(2)式消去未知数z，将三元一次方程组化 为二元一次方程组，再解二元一次方程组即可 参考答案： 试一试：解方程组： 参考答案： 例题6：解方程组： 教法说明：解三元一次方程组的思想就是将三元一次方程组化为二元一次方程组来求解，本题可以消去y比较简便。可以通过(1)(2)，(2)(3)分别消去y得二元一次方程组，还可以通过(1)(2)，(1)(3)或(1)(3)，(2)(3)消去y 参考答案： 试一试：解方程组： 参考答案： 例题7：解方程组 试一试：解方程组 例题8在上海市松江区某一公园附近有一家宾馆，这家宾馆的客房有三种：三人间、二人间、单人间，其中三人间每晚380元，二人间每晚320元，单人间每晚260元．端午假期一个旅游团共50人准备来住宿，其中一部分选择三人间、一部分选择二人间、还有一部分选择单人间．最后统计刚好住满20间（没有空床位），并且住单人间的房间数比住二人间的房间数多．问这个旅游团三种客房各住了几间？ 【分析】设单人间住了x间，双人间住了y间，三人间住了z间，根据已知可列，即可解得x＝4，y＝2，z＝14． 【解答】解：设单人间住了x间，双人间住了y间，三人间住了z间，根据题意可得： ， ①×3﹣②得：2x+y＝10，即y＝10﹣2x④， ④代入③得：x＞10﹣2x＞0， 解得＜x＜5， ∵x为正整数， ∴x＝4， ∴y＝10﹣2x＝2，z＝20﹣x﹣y＝14， 答：单人间住了4间，双人间住了2间，三人间住了14间． 【点评】本题考查一次方程组及不等式的应用，涉及“消元”思想，解题的关键是根据题意，找出等量关系及不等关系，列方程和不等式． 试一试：第48届世界乒乓球锦标赛在上海举行，中国选手包揽了全部五个单项的冠军．已知这一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共进行了68场，参赛运动员共有208人次．问这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛？ 【分析】设这一天举行了x场单打比赛，y场双打比赛，由题意：单打比赛和双打比赛共进行了68场，参赛运动员共有208人次．列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设这一天举行了x场单打比赛，y场双打比赛， 由题意得：， 解得：， 答：这一天举行了32场单打比赛，36场双打比赛． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 例9．某水果店计划进A，B两种水果共100千克，这两种水果的进价和售价如下表所示． 进价（元/千克） 售价（元/千克） A种水果 5 8 B种水果 9 13 （1）若该水果店购进这两种水果共花费740元，求该水果店分别购进A，B两种水果各多少千克？ （2）在（1）的基础上，为了促销，水果店老板决定把A种水果全部八折出售，B种水果全部降价10%出售，那么售完后共获利多少元？ 【分析】（1）设该水果店购进A种水果x千克，B种水果y千克，根据“该水果店购进A，B两种水果共100千克，且共花费740元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润＝每千克的利润×销售数量，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该水果店购进A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：该水果店购进A种水果40千克，B种水果60千克． （2）（8×80%﹣5）×40+[13×（1﹣10%）﹣9]×60＝218（元）． 答：售完后共获利218元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 例10．茜茜数码专卖店销售容量分别为1G、2G、4G、8G和16G的五种移动U盘，2020年10月1日的销售情况如下表： U盘容量（G） 1 2 4 8 16 销售数量（只） 5 6 3 （1）由于不小心，表中销售数量中，2G和4G销售数量被污染，但知道4G的销售数量比2G的销售数量的2倍少2只，且5种U盘的销售总量是30只．求2G和4G的销售数量． （2）若移动U盘的容量每增加1G，其销售单价增加10元，已知2020年10月1日当天销售这五种U盘的营业额是2730元，求容量为4G的移动U盘的销售单价是多少元？ 【分析】（1）设容量为2G的移动U盘的销售数量为x只，容量为4G的移动U盘的销售数量为y只，根据“4G的销售数量比2G的销售数量的2倍少2只，且五种移动U盘共买了30只”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设容量为4G的移动U盘的销售单价是m元，则容量为1G的移动U盘的销售单价是（m﹣30）元，容量为2G的移动U盘的销售单价是（m﹣20）元，容量为8G的移动U盘的销售单价是（m+40）元，容量为16G的移动U盘的销售单价是（m+120）元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设容量为2G的移动U盘的销售数量为x只，容量为4G的移动U盘的销售数量为y只， 依题意得：， 解得：． 答：容量为2G的移动U盘的销售数量为6只，容量为4G的移动U盘的销售数量为10只． （2）设容量为4G的移动U盘的销售单价是m元，则容量为1G的移动U盘的销售单价是（m﹣30）元，容量为2G的移动U盘的销售单价是（m﹣20）元，容量为8G的移动U盘的销售单价是（m+40）元，容量为16G的移动U盘的销售单价是（m+120）元， 依题意得：5（m﹣30）+6（m﹣20）+10m+6（m+40）+3（m+120）＝2730， 解得：m＝80． 答：容量为4G的移动U盘的销售单价是80元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．在下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x2+y＝3 B．2x＝y C．xy＝2 D．2x+y＝z﹣1 【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案． 【解答】解：A、该方程中未知数的最高次数是2，不属于二元一次方程，故不符合题意． B、该方程符合二元一次方程的定义，故符合题意． C、该方程含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故不符合题意． D、该方程中含有3个未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型． 2．观察下列方程其中是二元一次方程是（　　） A．5x﹣y＝35 B．xy＝16 C．2x2﹣1＝0 D．3z﹣2（z+1）＝6 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【解答】解：A、该方程符合二元一次方程的定义，符合题意． B、该方程是二元二次方程，不符合题意． C、该方程是一元二次方程，不符合题意． D、该方程是一元一次方程，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 3．已知是方程2x﹣ky＝5的解，那么k＝　　． 【分析】将代入2x﹣ky＝5即可求k的值． 【解答】解：将代入2x﹣ky＝5，可得 3×2+3k＝5， ∴k＝﹣， 故答案为﹣． 【点评】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解与方程的关系，并能准确代入求值是解题的关键． 4．将方程4x﹣3y＝5变形为用含y的式子表示x，那么x＝　　． 【分析】把y看作已知数求出x即可． 【解答】解：方程4x﹣3y＝5， 移项，得4x＝3y+5， 解得：x＝． 故答案为：． 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数求出x． 5．将方程x+2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．x＝2y﹣11 D．x＝11﹣2y 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【解答】解：x+2y＝11， 2y＝11﹣x， ∴y＝． 故选：B． 【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 6．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即 ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【解答】解：A、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意 B、该方程组中的第一个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； D、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 7．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 【解答】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、该方程组的第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 8．方程组的解的情况是（　　） A． B． C．无解 D．无数组解 【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程． 【解答】解：观察方程组， 发现第一个方程可以变形为10x﹣y＝35， 显然该方程组有无数组解． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是注意观察两个方程的未知数的系数之间的关系． 9．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围． 【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可． 【解答】解：方程组， 解得：， ∴x+y＝1+a， ∵x+y＜2， ∴1+a＜2， 解得：a＜4． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 10．解方程组：． 【分析】整理后②﹣①即可求出x＝1，把x＝1代入①得出2﹣2y＝3，再求出y即可． 【解答】解：整理，得， ②﹣①，得x＝1， 把x＝1代入①，得2﹣2y＝3， 解得：y＝﹣0.5， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 11．定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数，已知1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，则a⊕b＝　13　． 【分析】根据题意得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，再求出答案即可． 【解答】解：∵1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4， ∴， 解得：a＝3，b＝2， ∴a⊕b＝3⊕2＝3×3+2×2＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 12．解方程组：． 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组． 【解答】解：整理可得， ②×2，可得：4x﹣2y＝72③， ③+①，可得：7x＝84， 解得：x＝12， 把x＝12代入②，可得：24﹣y＝36， 解得：y＝﹣12， ∴方程组的解为． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，掌握消元法（代入消元法和加减消元法）解方程组的步骤是解题关键． 13．（1）解方程组：； （2）解方程组：． 【分析】（1）先由②得x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，则解方程组和即可； （2）设＝m，＝n，将原方程组可化为，解得，则解方程组即可得到，再对解进行检验即可． 【解答】解：（1）由②得，x﹣2y＝0或x﹣3y＝0， ∴或， 解得或， ∴原方程组的解是或； （2）设＝m，＝n， ∴原方程组可化为， 解得， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程组的解， ∴原方程组的解为． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，灵活应用换元法解方程组是解题的关键． 14．已知m、n满足＝＝2，求m、n的值． 【分析】根据已知条件得到方程组，然后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：由题意得， 整理得 由①﹣②×2，得9n＝﹣18． 解得n＝﹣2， 把n＝﹣2代入②，得m＝8， 所以这个方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把方程组的问题转化为一元一次方程的问题． 15．解方程组：． 【分析】方程组利用换元法变形后，求出解即可． 【解答】解：设＝a，＝b， 方程组变形得：， 解得：， 代入得：， 解得：， 经检验是原方程组的解． 【点评】此题考查了解二元一次方程，利用了换元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．解方程组：． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：， ②+③得：3x﹣2y＝5④， 由④和①组成一个二次一次方程组， 解得：， 把代入③3﹣6﹣z＝0， 解得：z＝﹣3， 所以原方程组的解是：． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．解方程组：． 【分析】用加减消元法解三元一次方程组． 【解答】解：， 由②﹣①，得：3x+3y＝3④， 由③﹣②，得：21x+3y＝57⑤， 由⑤﹣④，得：18x＝54， 解得：x＝3， 将x＝3代入④，得：9+3y＝3， 解得：y＝﹣2， 将x＝3，y＝﹣2代入①，得：3+2+z＝0， 解得：z＝﹣5， ∴方程组的解为：． 【点评】本题考查解三元一次方程组，掌握消元法解方程组的步骤准确计算是解题关键． 18．解方程组：． 【分析】利用加减消元法解方程组． 【解答】解：由 ①+②+③得：x+y+z＝3④， ④﹣①，得：z＝﹣2， ④﹣②，得：x＝5， ④﹣③，得：y＝0． ∴方程组的解是 ． 【点评】本题考查加减消元法解三元一次方程组，掌握解方程组的步骤准确计算是解题关键． 19．解方程组：． 【分析】利用“加减消元法”和“代入法”来解此三元一次方程组． 【解答】解：， 由①×2﹣②，得5x+3y＝11 ④， 由①+③，得5x+6y＝17 ⑤， 由⑤﹣④，并整理得y＝2， 把y＝2代入④，并解得x＝1， 把x＝1，y＝2代入①，并解得z＝3， 所以，原方程组的解是：． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛　　斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案． 【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛， 则， 故5x+x+y+5y＝5， 则x+y＝． 答：1大桶加1小桶共盛斛米． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 2．我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果x个，买苦果y个，那么列出的关于x，y的二元一次方程组是 　　． 【分析】由甜果苦果共买千可得出x+y＝1000，利用总价＝单价×数量可得出x+y＝999，联立两方程组成方程组即可得出结论． 【解答】解：∵甜果苦果共买千， ∴x+y＝1000； ∵甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱， ∴x+y＝999． 联立两方程组成方程组． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． （1）生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直观图． （2）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ （3）现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买该教具？（直接写出答案即可） 品种 高档 中档 低档 价格/元 20 15 10 【分析】（1）根据正方体的画法补全图形； （2）设安排x人生产塑料棒，（22﹣x）人生产金属球，然后根据12根金属棒和8个金属球可配成一套列方程求解； （3）设购买高档教具a套，中档教具b套，低档教具c套，分购买高档和中档，高档和低档，中档和低档三种情况，根据购买200套，恰好用了2800元，分别列出二元一次方程组求解． 【解答】解：（1）如图即为所求： （2）设安排x人生产塑料棒，（22﹣x）人生产金属球，由题意可得： ， 解得：x＝12， 22﹣x＝22﹣12＝10（人）， ∴安排12人生产塑料棒，10人生产金属球； （3）设购买高档教具a套，中档教具b套，低档教具c套， ①若购买高档和中档教具，由题意可得： ， 解得：（不合题意，舍去）； ②若购买高档和低档教具，由题意可得： ， 解得：； ③若购买中档和低档教具，由题意可得： ， 解得：， 综上，学校可以购买高档教具80套，低档教具120套或中档教具160套，低档教具40套． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解题目中的数量关系，利用分类讨论思想解题是关键． 4．阅读以下材料： 若x+3y+5z＝5，x+4y+7z＝7，求x+y+z的值． 解：x+y+z＝3（x+3y+5z）﹣2（x+4y+7z）＝3×5﹣2×7＝1． 答：x+y+z的值的为1． 根据以上材料提供的方法解决如下问题： 若2x+5y+4z＝6，3x+y﹣7z＝﹣4，求x+y﹣z的值． 【分析】根据2x+5y+4z＝6，3x+y﹣7z＝﹣4，将题目中的式子变形即可求得x+y﹣z的值． 【解答】解：∵4（2x+5y+4z）+6（3x+y﹣7z） ＝8x+20y+16z+18x+6y﹣42z ＝26x+26y﹣26z ＝26（x+y﹣z）， 2x+5y+4z＝6，3x+y﹣7z＝﹣4， ∴4×6+6×（﹣4）＝26（x+y﹣z）， 解得，x+y﹣z＝0． 【点评】本题考查解三元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．下列方程中，二元一次方程是（　　） A．2x+1＝0 B．x2+y＝2 C．2x﹣y＝1 D．x﹣y+z＝1 【分析】二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1． 【解答】解：A、只含有1个未知数，不符合二元一次方程的定义； B、未知数的最高次项的次数是2，不符合二元一次方程的定义； C、符合二元一次方程的定义； D、有3个未知数，不符合二元一次方程的定义． 故选：C． 【点评】主要考查二元一次方程的概念．要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得． 【解答】解：A：方程组含有x2，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； B：方程组含有xy二次，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C：方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； D是二元一次方程组． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 二．填空题 3. 一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是　58　． 【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 【解答】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴10x+y＝58． 故答案为：58． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．二元一次方程3x+y＝8的正整数解是 　或　． 【分析】先整理二元一次方程，根据方程的解为正整数，可用试验的办法确定解的对数． 【解答】解：3x+y＝8， x＝， 由题意y、x为大于0的正整数， ∴当y＝2时，x＝2；当y＝5时，x＝1； 故答案为：或． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义．理解并运用方程的解为正整数，是解决本题的关键． 5．将方程2x+5y＝7变形为用含y的式子表示x，那么x＝　　． 【分析】将含y的项移到方程的右边，再两边除以2即可得． 【解答】解：∵2x+5y＝7， ∴2x＝7﹣5y， ∴x＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 6．二元一次方程x+2y＝3的正整数解是　　． 【分析】把y看做已知数求出x，即可确定出正整数解． 【解答】解：方程x+2y＝3， 变形得：x＝﹣2y+3， 当y＝1时，x＝1， 则方程的正整数解为， 故答案为： 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x． 7．二元一次方程组的解是　　． 【分析】利用加减消元法即可求解． 【解答】解：， ①+②，得4x＝20，解得x＝5， 把x＝5代入②，得5﹣2y＝5，解得y＝0， 故方程组的解为． 故答案为：． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 8．将x+2y＝4变形成用含x的式子表示y，那么y＝　2﹣x　． 【分析】利用等式的性质将等式进行变形求解． 【解答】解：x+2y＝4， 移项，得：2y＝4﹣x， ∴y＝， 故答案为：2﹣x． 【点评】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 9．使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x﹣5y＝7的等模解是 　或　． 【分析】根据新定义得：x与y的绝对值相等，所以x＝y或x＝﹣y，与2x﹣5y＝7联立解方程组即可． 【解答】解：根据题意得：或， 解得：或， 故答案为：：或． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，分两种情况解方程组是本题的关键，注意不要漏解． 10．在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是 　　． 【分析】根据x和y是相反数可得x＝﹣y，然后代入原方程求解即可． 【解答】解：∵x和y是相反数， ∴x＝﹣y， 把x＝﹣y代入原方程中，可得：﹣3y+y＝12， 解得：y＝﹣6， ∴x＝6， ∴在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是， 故答案为：． 【点评】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解和互为相反数的概念是解题关键． 11．已知是方程2x+ay＝7的一个解，那么a＝　﹣1　． 【分析】根据方程的解的概念将方程的解代入原方程，然后计算求解． 【解答】解：由题意可得：2×3﹣a＝7， 解得：a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查二元一次方程的解和解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题关键． 12．已知关于x、y的二元一次方程（m+1）x+（m+2）y+3﹣2m＝0，当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为 　　． 【分析】把原方程整理得：m（x+y﹣2）+（x+2y+3）＝0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可． 【解答】解：原方程可整理得： m（x+y﹣2）+（x+2y+3）＝0， 根据题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键． 13．方程组的解是　或　． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：， ①+②得：x2+2x＝3，即（x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x＝1或x＝﹣3， 把x＝1代入①得：2﹣y＝0，即y＝2； 把x＝﹣3代入①得：﹣6﹣y＝0，即y＝﹣6， 则方程组的解为或． 故答案为：或． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 三．解答题 14．解方程组：． 【分析】利用加减消元法求解可得． 【解答】解：， ①×2，得：2x﹣2y＝2 ③， ②+③，得：5x＝7， 解得x＝， 将x＝代入①，得：﹣y＝1， 解得y＝， 所以方程组的解为． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 15．解方程组：． 【分析】，（1）+（2）得出4x＝16，求出x，把x的值代入（1）求出y即可． 【解答】解：（1）+（2）得：4x＝16， 解得：x＝4， 把x＝4代入（1）得：4﹣2y＝6， 解得：y＝﹣1， 所以原方程组的解为： 【点评】本题考查了解二元一次方程组的应用，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 16．试求方程组的解． 【分析】把第二个方程代入第一个方程消去x，求出y的值，进而确定出x的值，即可确定出方程组的解． 【解答】解：， 由②得：y﹣6≥0，即y≥6③， 把③代入①得：|x﹣2|＝7﹣y+5④， 由②④得：7﹣y+5＝y﹣6， 解得：y＝9，即|x﹣2|＝9﹣6＝3， 解得：x＝﹣1或x＝5， 则方程组的解为或． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．解方程组：． 【分析】①+②×2得出7x＝10，求出x，再把x＝代入②求出y即可． 【解答】解：， ①+②×2，得7x＝10， 解得：x＝， 把x＝代入②，得+y＝2， 解得：y＝﹣， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 18．，求4x﹣4z+1． 【分析】方程组两方程相减求出x﹣z的值，代入原式计算即可． 【解答】解：方程组， ②﹣①得：3x﹣3z＝﹣3，即x﹣z＝﹣1， 则原式＝4（x﹣z）+1＝﹣4+1＝﹣3． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．解方程组：． 【分析】①+③得出x﹣y＝3④，由④和②组成二元一次方程组，求出x、y的值，把x＝5代入①求出z即可． 【解答】解： ①+③得：x﹣y＝3④， 由④和②组成方程组， 解得：， 把x＝5代入①得：5﹣z＝﹣5， 解得：z＝10， 所以原方程组的解为． 【点评】本题考查了三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 20．解方程组：． 【分析】利用代入消元法先消去y，再利用加减消元法消去未知数z，即可求得x的值，由此代入即可分别求得x、y、z的值． 【解答】解：； 把①代入②可得：x+2x﹣7+z＝1， 整理可得：3x+z＝8，④； ③+④可得：6x＝12，则x＝2， 把x＝2代入①，可得y＝﹣3； 把x＝2，y＝﹣3代入②，可得z＝2， 所以这个方程组的解是：． 【点评】此题考查了利用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组的灵活应用． 21．解方程组：． 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【解答】解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝6，即x+y+z＝3④， 把①代入④得：z＝0， 把②代入④得：y＝2， 把③代入④得：x＝1， 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 22．解方程组：． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解： ②+③得：3x+y＝﹣1④， 由①﹣④得：y＝2， 把y＝2代入①得：x＝﹣1； 把x＝﹣1，y＝2代入②得：z＝0． 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 23．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【分析】设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，根据共用去132m这种布料，每2m的布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，衣身和衣袖恰好配套，据此列方程组求解． 【解答】解：设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖， 由题意得， 解得：． 答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖恰好配套． 【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 24．六年级同学乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，请问：一共有多少学生？ 【分析】设一共有x名学生，y辆车，根据“如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设一共有x名学生，y辆车， 依题意，得：， 解得：． 答：一共有240名学生． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 25．已知某种商品每件定价为8元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公司两次共邮购这种商品180件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1392元，问第一次、第二次分别邮购多少件？ 【分析】设第一次邮购x件，第二次邮购y件，根据“该公司两次共邮购这种商品180件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1392元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设第一次邮购x件，第二次邮购y件， 依题意，得：， 解得：． 答：第一次邮购60件，第二次邮购120件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 26．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液共400瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共7500元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1800人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【分析】（1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据总价＝单价×数量，结合该校购买两种消毒液400瓶共花费7500元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用使用时间＝购进消毒液的总容量÷（平均每人每天的使用量×该校在校师生人数），即可求出结论． 【解答】解：（1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶， 依题意得：， 解得：． 答：甲种消毒液购买了100瓶，乙种消毒液购买了300瓶． （2）（300×100+500×300）÷（10×1800）＝10（天）． 答：这批消毒液可使用10天． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题组B 能力提升练 一．选择题 1．如图，宽为50cm的矩形ABCD图案由10个全等的小长方形拼成，则矩形ABCD的面积为（　　） A．400cm2 B．500cm2 C．6000cm2 D．4000cm2 【分析】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意：小长方形的长+小长方形的宽＝50cm，小长方形的长＝小长方形的宽×4，列出方程组，解方程组，进而求解． 【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意得：， 解得：， 则AB＝2x＝80（cm）， ∴矩形ABCD的面积＝80×50＝4000（cm2）， 故选：D． 【点评】此题考查了二元一次方程的应用、长方形的性质，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组． 二．填空题 2．方程2x+y＝3的正整数解是　　． 【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解． 【解答】解：方程整理得：y＝3﹣2x， 当x＝1时，y＝1， 则方程的正整数解为， 故答案为： 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 3．已知是方程2x+ky＝1的一个解，那么k 的值是　﹣1　． 【分析】根据方程的解满足方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ﹣2﹣3k＝1， 解得k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于k的方程是解题关键． 4．把方程x2+4xy﹣5y2＝0化为两个二元一次方程，它们是　x+5y＝0　和　x﹣y＝0　． 【分析】先把方程x2+4xy﹣5y2＝0左边分解得到（x+5y）（x﹣y）＝0，则原方程可转化为x+5y＝0或x﹣y＝0． 【解答】解：∵x2+4xy﹣5y2＝0， ∴（x+5y）（x﹣y）＝0， ∴x+5y＝0或x﹣y＝0， 故答案为：x+5y＝0和 x﹣y＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法：通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解． 5．如果将方程4x﹣5y＝15变形为用含有x的式子表示y，那么y＝　　． 【分析】把x看做已知数求出y即可． 【解答】解：方程4x﹣5y＝15， 解得：y＝， 故答案为： 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 6．已知关于x、y的方程2x2m+yn﹣1＝1是二元一次方程，那么mn＝　　． 【分析】依据二元一次方程的定义列方程求得m、n的值，然后再代入计算即可． 【解答】解：∵关于x、y的方程2x2m+yn﹣1＝1是二元一次方程， ∴2m＝1，n﹣1＝1，解得m＝，n＝2． ∴mn＝××2＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是二元一次方程的定义，求得m、n的值是解题的关键． 7．定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝　4　． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出所求式子的值． 【解答】解：根据题中的新定义得：， 解得：， 则1*2＝1×2+2×1＝2+2＝4， 故答案为：4 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三．解答题 8．解方程组：． 【分析】根据题干，先把第一个方程变形为x＝3y+5，再把这个x代入第二个方程，即可消去未知数x，从而求出y的值，再把求得的y的值代入x＝3y+5，求出x的值即可． 【解答】解： 方程①变形为：x＝3y+5③， 把方程③代入②可得：3（3y+5）+4y﹣2＝0， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入③可得：x＝2， 则这个方程组的解是． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 9．解方程组： 【分析】根据二元一次方程组即可求出答案． 【解答】解：①+②得：9x﹣33＝0 x＝ 把x＝代入①，得y＝ ∴方程组的解是 【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型． 10．一个两位数，十位数字与个位数字之和是该两位数的，如果将该两位数的个位和十位数字对调，得到的数比原数的还大3，求这个两位数． 【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“十位数字与个位数字之和是该两位数的，如果将该两位数的个位和十位数字对调，得到的数比原数的还大3”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意，得：， 解得：， ∴10x+y＝72． 答：这个两位数为72． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11．营养对促进中学生机体健康具有重要意义．现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息： 根据上述信息回答下面的问题： （1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共　150　克； （2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量； （3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质＝8：1：9， 同时三者含量为总质量的90%．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？ 如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）． 【分析】（1）总质量乘以百分率即可得结果； （2）设矿物质质量为x克，则蛋白质质量为3x克，脂肪质量为y克，列方程组可解； （3）分别计算出碳水化合物，脂肪，蛋白质的质量，计算它们的比值，看是否符合“理想比”；再按理想比计算出脂肪、矿物质的质量即可． 【解答】解：（1）300×50%＝150（克） 故答案为：150． （2）设矿物质质量为x克，则蛋白质质量为3x克，脂肪质量为y克，由题意得 解得 答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克． （3）碳水化合物，脂肪，蛋白质的质量分别为：120克，60克，90克 ∴碳水化合物：脂肪：蛋白质＝4：2：3，不符合理想比． 300×90%＝270（克） 270÷（8+9+1）＝15（克） 300×（1﹣90%）＝30（克） 答：符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克． 【点评】本题考查了方程组在实际问题中的应用，以及根据新定义来解题，属于中档题． 12．班级组织有奖知识竞赛，班委会花100元购买了笔记本和水笔共29件作为班级奖品，已知每本笔记本的价格是5元，每支水笔的价格是2元，那么班委会购买了多少本笔记本、多少支水笔？ 【分析】设班委会购买了x本笔记本、y支水笔．关键描述语：100元购买了笔记本和水笔共29件． 【解答】解：设班委会购买了x本笔记本、y支水笔． 由题意知， 解得． 答：班委会购买了14本笔记本、14支水笔． 【点评】考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 13．甲乙两仓库分别贮存粮食600吨和250吨，如果从甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，那么甲仓库所剩粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等．问甲乙两仓库各运出了多少吨粮食． 【分析】找到相等关系：甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，甲仓库所剰粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等． 【解答】解：设甲仓库运出了x吨粮食，乙仓库运出了y吨粮食． 由题意，得， 解得 答：甲仓库运出了455吨粮食，乙仓库运出了105吨粮食． 【点评】此题是二元一次方程组的应用，解本题的关键是准确找到题目中的相等关系． 14．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材　64　张，B型板材　38　张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值． 【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中a与b的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4， 所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生A型板材为，2×4＝8， 所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张）， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个， 则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个， 所以， 解得． 【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组． 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 二元一次方程组的解法 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是　 　． 2．两个长方形的长与宽的比都是2：1，大长方形的宽比小长方形的宽多3cm，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，则大长方形的周长是 　 　cm． 3．六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？ 4．已知平面上有x个点，联结其中任意两点得到一条线段，若线段的总数是m条，则下列求x的方程中符合题意的方程是（　　） A．2x（x﹣1）＝m B．x（x+1）＝2m C．2x（x+1）＝m D．x（x﹣1）＝2m 5．如果一个两位正整数交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么这个数可以是　 　（写出所有满足条件的数） 6．解方程组： 7．已知＝，那么代数式＝　　 ． 8．我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果x个，买苦果y个，那么列出的关于x，y的二元一次方程组是 　　 ． 9．六（1）班、六（2）班的人数相同，在30人到50人之间，两个班都有一些同学参与课外天文小组，（1）班参加的人数是（2）班没有参加的，（2）班参加的人数是（1）班没有参加的．问这两个班没有参加天文小组各多少人？ 10．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液共400瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共7500元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1800人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 二．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 三．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 四．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 五．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 六．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 七．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 八．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 九．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 十．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 十一．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 十二．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 例题1：解方程组 试一试：解方程组 例题2：解方程组： 试一试：解方程组： 例题3：解方程组 试一试：解方程组 例题4：解方程组： 试一试：解方程组： 例题5：解方程组： 试一试：解方程组： 例题6：解方程组： 试一试：解方程组： 例题7：解方程组 试一试：解方程组 例题8在上海市松江区某一公园附近有一家宾馆，这家宾馆的客房有三种：三人间、二人间、单人间，其中三人间每晚380元，二人间每晚320元，单人间每晚260元．端午假期一个旅游团共50人准备来住宿，其中一部分选择三人间、一部分选择二人间、还有一部分选择单人间．最后统计刚好住满20间（没有空床位），并且住单人间的房间数比住二人间的房间数多．问这个旅游团三种客房各住了几间？ 试一试：第48届世界乒乓球锦标赛在上海举行，中国选手包揽了全部五个单项的冠军．已知这一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共进行了68场，参赛运动员共有208人次．问这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛？ 例9．某水果店计划进A，B两种水果共100千克，这两种水果的进价和售价如下表所示． 进价（元/千克） 售价（元/千克） A种水果 5 8 B种水果 9 13 （1）若该水果店购进这两种水果共花费740元，求该水果店分别购进A，B两种水果各多少千克？ （2）在（1）的基础上，为了促销，水果店老板决定把A种水果全部八折出售，B种水果全部降价10%出售，那么售完后共获利多少元？ 例10．茜茜数码专卖店销售容量分别为1G、2G、4G、8G和16G的五种移动U盘，2020年10月1日的销售情况如下表： U盘容量（G） 1 2 4 8 16 销售数量（只） 5 6 3 （1）由于不小心，表中销售数量中，2G和4G销售数量被污染，但知道4G的销售数量比2G的销售数量的2倍少2只，且5种U盘的销售总量是30只．求2G和4G的销售数量． （2）若移动U盘的容量每增加1G，其销售单价增加10元，已知2020年10月1日当天销售这五种U盘的营业额是2730元，求容量为4G的移动U盘的销售单价是多少元？ 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．在下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x2+y＝3 B．2x＝y C．xy＝2 D．2x+y＝z﹣1 2．观察下列方程其中是二元一次方程是（　　） A．5x﹣y＝35 B．xy＝16 C．2x2﹣1＝0 D．3z﹣2（z+1）＝6 3．已知是方程2x﹣ky＝5的解，那么k＝　　． 4．将方程4x﹣3y＝5变形为用含y的式子表示x，那么x＝　　． 5．将方程x+2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．x＝2y﹣11 D．x＝11﹣2y 6．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 7．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 8．方程组的解的情况是（　　） A． B． C．无解 D．无数组解 9．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围． 10．解方程组：． 11．定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数，已知1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，则a⊕b＝　　． 12．解方程组：． 13．（1）解方程组：； （2）解方程组：． 14．已知m、n满足＝＝2，求m、n的值． 15．解方程组：． 16．解方程组：． 17．解方程组：． 18．解方程组：． 19．解方程组：． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛　　 斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 2．我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果x个，买苦果y个，那么列出的关于x，y的二元一次方程组是 　　 ． 3．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． （1）生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直观图． （2）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ （3）现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买该教具？（直接写出答案即可） 品种 高档 中档 低档 价格/元 20 15 10 4．阅读以下材料： 若x+3y+5z＝5，x+4y+7z＝7，求x+y+z的值． 解：x+y+z＝3（x+3y+5z）﹣2（x+4y+7z）＝3×5﹣2×7＝1． 答：x+y+z的值的为1． 根据以上材料提供的方法解决如下问题： 若2x+5y+4z＝6，3x+y﹣7z＝﹣4，求x+y﹣z的值． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．下列方程中，二元一次方程是（　　） A．2x+1＝0 B．x2+y＝2 C．2x﹣y＝1 D．x﹣y+z＝1 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 3. 一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是　　． 4．二元一次方程3x+y＝8的正整数解是 　　 ． 5．将方程2x+5y＝7变形为用含y的式子表示x，那么x＝　　． 6．二元一次方程x+2y＝3的正整数解是　　 ． 7．二元一次方程组的解是　　 ． 8．将x+2y＝4变形成用含x的式子表示y，那么y＝　 ． 9．使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x﹣5y＝7的等模解是 　　 ． 10．在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是 　　 ． 11．已知是方程2x+ay＝7的一个解，那么a＝　 　． 12．已知关于x、y的二元一次方程（m+1）x+（m+2）y+3﹣2m＝0，当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为 　　 ． 13．方程组的解是　　 ． 三．解答题 14．解方程组：． 15．解方程组：． 16．试求方程组的解． 17．解方程组：． 18．，求4x﹣4z+1． 19．解方程组：． 20．解方程组：． 21．解方程组：． 22．解方程组：． 23．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 24．六年级同学乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，请问：一共有多少学生？ 25．已知某种商品每件定价为8元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公司两次共邮购这种商品180件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1392元，问第一次、第二次分别邮购多少件？ 26．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液共400瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共7500元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1800人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 题组B 能力提升练 一．选择题 1．如图，宽为50cm的矩形ABCD图案由10个全等的小长方形拼成，则矩形ABCD的面积为（　　） A．400cm2 B．500cm2 C．6000cm2 D．4000cm2 二．填空题 2．方程2x+y＝3的正整数解是　 ． 3．已知是方程2x+ky＝1的一个解，那么k 的值是　　． 4．把方程x2+4xy﹣5y2＝0化为两个二元一次方程，它们是　 　和　 　． 5．如果将方程4x﹣5y＝15变形为用含有x的式子表示y，那么y＝　 ． 6．已知关于x、y的方程2x2m+yn﹣1＝1是二元一次方程，那么mn＝　　 ． 7．定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝　　 ． 三．解答题 8．解方程组：． 9．解方程组： 10．一个两位数，十位数字与个位数字之和是该两位数的，如果将该两位数的个位和十位数字对调，得到的数比原数的还大3，求这个两位数． 11．营养对促进中学生机体健康具有重要意义．现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息： 根据上述信息回答下面的问题： （1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共　 　克； （2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量； （3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质＝8：1：9， 同时三者含量为总质量的90%．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？ 如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）． 12．班级组织有奖知识竞赛，班委会花100元购买了笔记本和水笔共29件作为班级奖品，已知每本笔记本的价格是5元，每支水笔的价格是2元，那么班委会购买了多少本笔记本、多少支水笔？ 13．甲乙两仓库分别贮存粮食600吨和250吨，如果从甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，那么甲仓库所剩粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等．问甲乙两仓库各运出了多少吨粮食． 14．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材　　张，B型板材　　张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$