第九章第5讲二元一次方程组 2024-2025学年沪教版（五四制）六年级数学下册寒假讲义

第5讲 二元一次方程组1 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．下列各项中，一元一次方程是（　　） A．2x＝4 B．2﹣＝5 C．2x﹣y＝6 D．2x﹣y＝7 【分析】利用一元一次方程的定义进行解答即可． 【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意； B、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 2．下列方程中，其解为﹣1的方程是（　　） A．2x﹣1＝4x+3 B．3x＝x+3 C． D．2（x﹣3）＝3 【分析】把x＝﹣1代入每个方程，当左边等于右边时，x＝﹣1是该方程的解；当左边不等于右边时，x＝﹣1不是该方程的解，进行判断即可． 【解答】解：A、把x＝﹣1代入方程得：左边＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，右边＝4×（﹣1+3）＝﹣1，左边≠右边，故本选项不符合题意； B、把x＝﹣1代入方程得：左边＝3×（﹣1）＝﹣3，右边＝﹣1+3＝2，左边≠右边，故本选项不符合题意； C、把x＝﹣1代入方程得：左边＝＝﹣，左边＝右边，故本选项符合题意； D、把x＝﹣1代入方程得：左边＝2×（﹣1﹣3）＝﹣8，右边＝3，左边≠右边，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 3．已知x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解，则k＝　2　． 【分析】根据方程解的概念，将x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，求k的值即可． 【解答】解：∵x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解， ∴把x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5， ∴k＝2， 故答案为2． 【点评】本题考查了方程解的概念，将为指数的值代入即可得出关于k的方程． 4．方程+3＝0中，的次数是 　2　次． 【分析】根据单项式的次数解答即可． 【解答】解：方程+3＝0中，的次数是2次． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了方程的定义，熟知单项式的次数是解答本题的关键． 5．如果方程x+1＝0与5+m＝2x的解相同，那么m＝　﹣7　． 【分析】求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出m的值． 【解答】解：方程x+1＝0， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入5+m＝2x中得：5+m＝﹣2， 解得：m＝﹣7， 故答案为：﹣7 【点评】此题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程． 6．解方程：． 【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，化系数为1，从而得到方程的解． 【解答】解：去分母得，2（2x﹣1）﹣3（5x+1）﹣6＝0， 去括号的，4x﹣2﹣15x﹣3﹣6＝0， 移项得，4x﹣15x＝2+3+6， 合并同类项得，﹣11x＝11， 系数化为1得，x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 4．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 5．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 6．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 7．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 8．同解方程 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．） 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．方程的定义 例1．下列式子中：①5x+3y＝0，②6x2﹣5x，③3x＜5，④x2+1＝3，⑤+2＝3x．是方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】方程的定义：含有未知数的等式叫方程．据此判断即可． 【解答】解：①5x+3y＝0，是方程；②6x2﹣5x，是多项式，不是方程； ③3x＜5，是不等式，不是方程；④x2+1＝3，是方程；⑤+2＝3x是方程． 所以方程有①④⑤，共3个．故选：C． 【点评】本题考查了方程的定义，正确区分方程与整式和不等式是解答本题的关键． 例2．下列叙述中，正确的是（　　） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 【分析】根据方程的定义结合选项选出正确答案即可． 【解答】解：A、方程是含有未知数的等式，错误；B、方程是含有未知数的等式，故选项正确； C、并不是只有含有字母x，y的等式才叫方程，错误；D、含有未知数的等式叫做方程，错误；故选：B． 【点评】本题考查了方程的定义，掌握各知识点的定义是解答本题的关键． 二．方程的解 例3．如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0 【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答． 【解答】解：∵方程ax＝b有无数个解，∴未知数x的系数a＝0，∴b＝0．故选：A． 【点评】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，x前面系数为0时方程有无数个解是解题的关键． 三．等式的性质 例4．如果＝，那么a＝　14　． 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解答】解：方程两边都乘以4（6+a）得： 3（6+a）＝60，去括号得：18+3a＝60，解得：a＝14． 检验：a＝14使原式成立，是原方程的解．故答案为：14． 【点评】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 例5．下列变形符合等式的基本性质的是（　　） A．如果2a﹣b＝7，那么b＝7﹣2a B．如果mk＝nk，则m＝n C．如果﹣3x＝5，那么x＝ D．如果＝2，则a＝﹣6 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解答】解：A、如果2a﹣b＝7，那么b＝2a﹣7，原变形不成立，故此选项不符合题意； B、如果mk＝nk，那么m＝n，这里必须k≠0，原变形不成立，故此选项不符合题意； C、如果﹣3x＝5，那么x＝﹣，原变形不成立，故此选项不符合题意； D、如果﹣a＝2，那么a＝﹣6，原变形成立，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质．等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 例6．已知a＝b，则下列变形错误的是（　　） A．2+a＝2+b B．a﹣b＝0 C．﹣2a＝﹣2b D． 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a＝b，∴2+a＝2+b，故本选项不符合题意； B．∵a＝b，∴a﹣b＝b﹣b，即a﹣b＝0，故本选项不符合题意； C．∵a＝b，∴﹣2a＝﹣2b，故本选项不符合题意； D．当c＝0时，由a＝b不能推出＝，故本选项符合题意；故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立，②等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立． 四．一元一次方程的定义 例7．已知下列方程：①；②x+y＝3；③x＝0；④x2+4x＝3；⑤﹣3＝；⑥x（1﹣2x）＝3x﹣1．其中是一元一次方程的是（　　） A．①③⑤ B．①③ C．①③⑥ D．⑤⑥ 【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【解答】解：①属于一元一次方程；②x+y＝3属于二元一次方程； ③x＝0属于一元一次方程；④x2+4x＝3属于一元二次方程； ⑤﹣3＝属于分式方程；⑥x（1﹣2x）＝3x﹣1属于一元二次方程；故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 例8．方程（a﹣3）x|a|-2+3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝（　　） A．3 B．﹣3 C．±1 D．±3 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．一元一次方程的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此解答即可． 【解答】解：∵方程（a﹣3）x|a|﹣2+3＝0是关于x的一元一次方程， ∴|a|﹣2＝1且a﹣3≠0， 解得a＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答． 五．一元一次方程的解 例9．已知x＝1是方程x+2m＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣2 B． C．0 D．2 【分析】把x＝1代入方程x+2m＝0得出1+2m＝0，再求出方程的解即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x+2m＝0得：1+2m＝0，解得：m＝﹣，故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键． 例10．若x＝3是关于x的一元一次方程2x+m﹣5＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．11 【分析】把x＝3代入方程计算即可求出m的值． 【解答】解：将x＝3代入方程2x+m﹣5＝0，得：6+m﹣5＝0，解得：m＝﹣1，故选：A． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 六．解一元一次方程 例11．小军同学在解关于x的方程﹣1去分母时，方程右边的﹣1没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为（　　） A．2，2 B．2，3 C．3，2 D．3，3 【分析】先根据题意求出m的值，再把m的值代入方程中进行解答即可． 【解答】解：由题意可得： 把x＝3代入方程2x﹣1＝x+m﹣1中，可得：6﹣1＝3+m﹣1，解得：m＝3， 把m＝3代入原方程中得： ＝﹣1，2x﹣1＝x+3﹣2，解得：x＝2，故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次方程，根据题意求出m的值是解题的关键． 例12．解方程： （1）7﹣3（x﹣1）＝﹣x； （2）． 【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：7﹣3x+3＝﹣x， 移项得：﹣3x+x＝﹣7﹣3， 合并得：﹣2x＝﹣10， 系数化为1，得：x＝5； （2）去分母得：3（1﹣x）＝2（4x﹣1）﹣6， 去括号得：3﹣3x＝8x﹣2﹣6， 移项得：﹣3x﹣8x＝﹣2﹣6﹣3， 合并得：﹣11x＝﹣11， 系数化为1，得：x＝1． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1． 七．含绝对值符号的一元一次方程 例13．解方程：|x﹣|3x+2||＝4． 【分析】根据绝对值都是非负数，分类讨论，去掉绝对值符号，可得一元一次方程，解一元一次方程，可得答案． 【解答】解：化简，得 x﹣＝4①或x﹣＝﹣4② 当x≥﹣时，x﹣3x﹣2＝4或x﹣3x﹣2＝﹣4， x＝﹣3（不符合题意的要舍去）或x＝1； 当x＜﹣时，x+3x+2＝4或x+3x+2＝﹣4， x＝（不符合题意的要舍去），x＝﹣， 综上所述：x＝1或x＝﹣． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键． 八．同解方程 例14．下列方程中，与x﹣1＝﹣x+3的解相同的是（　　） A．x+2＝0 B．2x﹣3＝0 C．x﹣2＝2x D．x﹣2＝0 【分析】先解出x﹣1＝﹣x+3的解，然后代入各选项可得出答案． 【解答】解：x﹣1＝﹣x+3，解得：x＝2，将x＝2代入各选项可得： A．左边＝4，右边＝0，左边≠右边，故本选项不合题意；B．左边＝1，右边＝0，左边≠右边，故本选项不合题意； C．左边＝0，右边＝4，左边≠右边，故本选项不合题意；D．左边＝0，右边＝0，左边＝右边，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查同解方程的知识，求出方程x﹣1＝﹣x+3的解是解答本题的关键． 例15．若方程2（2x﹣3）＝1﹣3x的解与关于x的方程8﹣m＝2（x+1）的解相同，则m＝（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣12 D．12 【分析】先根据等式的性质求出第一个方程的解，再把求出的解代入第二个方程，即可求出m． 【解答】解：解方程2（2x﹣3）＝1﹣3x得：x＝1，把x＝1代入8﹣m＝2（x+1）得：8﹣m＝4， 解得：m＝4，故选：B． 【点评】本题考查了同解方程，解一元一次方程等知识点，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．已知关于x的方程＝3+k的解满足|x|＝3，则符合条件的所有k的值的和为 　﹣6　． 【分析】先求出方程的解，再根据方程的解满足|x|＝3，可得k的值，进而得结论． 【解答】解：由，得x＝3+k，∵|x|＝3，∴x＝±3， ∴k＝0或﹣6，∴所有k的值的和为0+（﹣6）＝﹣6．故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是注意x的值有两种情况． 2．方程|2x﹣6|＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝±3 D． 【分析】本题考查含有绝对值的一元一次方程．根据0的绝对值是0，先去绝对值，再解方程即可． 【解答】解：∵|2x﹣6|＝0，∴2x﹣6＝0，解得：x＝3．故选：A． 【点评】本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 3．已知关于x的方程mx+3＝2的解满足|x﹣2|＝0，则m的值是 　　． 【分析】解|x﹣2|＝0得到x＝2，把x＝2代入mx+3＝2即可得到m的值． 【解答】解：∵|x﹣2|＝0，∴x﹣2＝0，∴x＝2， 把x＝2代入mx+3＝2得2m+3＝2，∴m＝﹣．故答案为：﹣． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，掌握0的绝对值是0是解题的关键． 4．解方程：﹣＝1． 【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：﹣＝1， 去分母，得2（3x﹣5）﹣（x+1）＝4， 去括号，得6x﹣10﹣x﹣1＝4， 移项，得6x﹣x＝4+10+1， 合并同类项，得5x＝15， 系数化为1，得x＝3． 【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 5．解方程： （1）3（2﹣3x）＝x+1； （2）． 【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：6﹣9x＝x+1， 移项得：﹣9x﹣x＝1﹣6， 合并得：﹣10x＝﹣5， 解得：x＝； （2）去分母得：2（2x+1）＝6+（1﹣3x）， 去括号得：4x+2＝6+1﹣3x， 移项得：4x+3x＝6+1﹣2， 合并得：7x＝5， 解得：x＝． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1． 6．解方程： （1）x+1＝6﹣3（x﹣1）； （2）﹣＝2． 【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：x+1＝6﹣3x+3， 移项得：x+3x＝6+3﹣1， 合并得：4x＝8， 系数化为1，得：x＝2； （2）去分母得：5（10x+4）﹣3（20x﹣3）＝30， 去括号得：50x+20﹣60x+9＝30， 移项得：50x﹣60x＝30﹣20﹣9， 合并得：10x＝1， 系数化为1，得：x＝． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1． 7．在有理数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+，如：1☆（﹣3）＝1+＝﹣1．如果2☆x＝x☆（﹣1）成立，则x的值是（　　） A．﹣1 B．5 C．0 D．2 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【解答】解：根据题中的新定义化简2☆x＝x☆（﹣1）得：2+＝x﹣1， 去分母得：4+x﹣1＝2x﹣2，移项得：x﹣2x＝﹣2﹣4+1，合并得：﹣x＝﹣5，解得：x＝5．故选：B． 【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 8．一般情况下+＝不成立，但有些数可以使得它成立，例如m＝n＝0．我们称使得+＝成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）． （1）试说明（1，﹣4）是相伴数对； （2）若（x，4）是相伴数对，求x的值． 【分析】（1）根据定义即可判断； （2）根据定义列出方程即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：m＝1，n＝﹣4， ∴+＝，＝，∴（1，﹣4）是相伴数对； （2）由题意可知：+＝，解得：x＝﹣1 【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是正确理解相伴数对的定义，本题属于基础题型． 9．已知方程7x+2＝3x﹣6与x﹣1＝k的解相同，则3k2﹣1的值为（　　） A．18 B．20 C．26 D．﹣26 【分析】根据同解方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：由7x+2＝3x﹣6，得x＝﹣2， 由7x+2＝3x﹣6与x﹣1＝k的解相同，得﹣2﹣1＝k，解得k＝﹣3．则3k2﹣1＝3×（﹣3）2﹣1＝27﹣1＝26， 故选：C． 【点评】本题考查了同解方程，利用同解方程的出关于k的方程是解题关键． 10．阅读下列问题： 例．解方程|2x|＝5． 解：当2x≥0，即x≥0时，2x＝5，∴x＝； 当2x＜0，即x＜0时，﹣2x＝5，∴x＝﹣． ∴方程|2x|＝5的解为x＝或x＝﹣． 请你参照例题的解法，求方程||＝1的解． 【分析】根据题意，分两种情况求解，当x≥时，x＝2；当x＜时，x＝﹣1； 【解答】解：当2x﹣1≥0时，即x≥，＝1，∴x＝2； 当2x﹣1＜0时，即x＜，＝﹣1，∴x＝﹣1； ∴方程||＝1的解为x＝﹣1或x＝2． 【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论将所求方程转化为一元一次方程是解题的关键． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．在有理数范围内定义一个新的运算法则“*”；当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab．根据这个法则，方程4*（4*x）＝256的解是x＝　1，3，16　． 【分析】根据运算法则当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab，分类讨论4与x的大小关系求解． 【解答】解：由题意得①当x≤4时， 4*（4*x）＝4*（4x）， 当4≥4x时，4*（4x）＝4＝256， 解得x＝1． 当4＜4x时，4*（4x）＝4x+1＝256， 解得x＝3． ②当x＞4时，4*（4*x）＝4*（4x）＝16x＝256， 解得x＝16． 故答案为：1，3，16． 【点评】本题考查新定义计算，解题关键是严格按照题干所给运算法则分类讨论运算． 2．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． （1）试比较代数式5m2﹣4m+2与4m2﹣4m﹣7的值之间的大小关系； （2）已知A＝5m2﹣4（m﹣），B＝7（m2﹣m）+3，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小． （3）比较3a+2b与2a+3b的大小． 【分析】（1）先求出（5m2﹣4m+2）﹣（4m2﹣4m﹣7）的值，再比较大小即可； （2）先求出A﹣B的值，再比较大小即可； （3先求出（3a+2b）﹣（2a+3b）的值，再分情况讨论即可． 【解答】解：（1）（5m2﹣4m+2）﹣（4m2﹣4m﹣7） ＝5m2﹣4m+2﹣4m2+4m+7 ＝m2+9， ∵不论m为何值，m2+9＞0， ∴5m2﹣4m+2＞4m2﹣4m﹣7； （2）∵A＝5m2﹣4（m﹣），B＝7（m2﹣m）+3， ∴A﹣B ＝[5m2﹣4（m﹣）]﹣[7（m2﹣m）+3] ＝5m2﹣4（m﹣）﹣7（m2﹣m）﹣3 ＝5m2﹣7m+2﹣7m2+7m﹣3 ＝﹣2m2﹣1， ∵不论m为何值，﹣2m2﹣1＜0， ∴A﹣B＜0， 即A＜B； （3）（3a+2b）﹣（2a+3b） ＝3a+2b﹣2a﹣3b ＝a﹣b， 当a＞b时，a﹣b＞0，此时3a+2b＞2a+3b； 当a＝b时，a﹣b＝0，此时3a+2b＝2a+3b； 当a＜b时，a﹣b＜0，此时3a+2b＜2a+3b． 【点评】本题考查了整式的加减，不等式的性质，等式的性质等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．将方程去分母，得（　　） A．4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2） B．4（2x﹣1）＝12﹣（x+2） C．（2x﹣1）＝6﹣3（x+2） D．4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2） 【分析】先找到各个分母的最小公倍数，根据等式的性质去分母即可． 【解答】解：去分母得：4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2）， 故选：D． 【点评】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 2．下列等式是一元一次方程的是（　　） A．3x＝0 B．3+5＝8 C．x2﹣4＝0 D．x﹣2y＝5 【分析】利用一元一次方程的定义：含有一个未知数，且未知数次数为一次的整式方程，判断即可． 【解答】解：A、3x＝0是一元一次方程，符合题意； B、3+5＝8是等式，不符合题意； C、x2﹣4＝0是一元二次方程，不符合题意； D、x﹣2y＝5是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 3．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则关于x的方程（a+b）x²+3cd（x+1）＝3的解为多少？ 【分析】根据题意得：a+b＝0，cd＝1，代入原方程，解出即可． 【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1， 原方程化为：3（x+1）﹣＝3，12（x+1）﹣（7x﹣5）＝12， 12x+12﹣7x+5＝12，12x﹣7x＝12﹣12﹣5，5x＝﹣5，x＝﹣1． 【点评】本题考查了方程的解，掌握解方程的方法，根据题意列等式及整体代入原方程是解题关键 二．填空题 4．将方程36x﹣2y＝56变形为用含x的式子表示y的形式是 　y＝18x﹣28　． 【分析】根据减数＝被减数﹣差得到2y的表达式，然后等式两边都除以2即可得到y的表达式． 【解答】解：∵36x﹣2y＝56，∴2y＝36x﹣56， ∴y＝18x﹣28，故答案为：y＝18x﹣28． 【点评】本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键，即：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 5．如果|x﹣2|+x﹣2＝0，那么x的取值范围是 　x≤2　． 【分析】根据|x﹣2|+x﹣2＝0，可得：|x﹣2|＝2﹣x≥0，求出x的取值范围去掉绝对值即可． 【解答】解：根据|x﹣2|+x﹣2＝0，可得：|x﹣2|＝2﹣x≥0， ∴x≤2，原方程可化为：2﹣x+x﹣2＝0恒成立．故x的取值范围是：x≤2．故答案为：x≤2． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是根据原方程先确定x的取值范围再去掉绝对值． 6．下列利用等式的性质，错误的是（　　） A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2b B．由ac＝bc，得到a＝b C．由﹣14x＝7，得到x＝﹣ D．由﹣3＝x，得到x＝﹣3 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a＝b，∴﹣2a＝﹣2b， ∴1﹣2a＝1﹣2b，故本选项不符合题意； B．当c＝0时，由ac＝bc不能推出a＝b，故本选项符合题意； C．∵﹣14x＝7，∴等式两边同时除以﹣14得：x＝﹣，故本选项不符合题意； D．∵﹣3＝x，∴x＝﹣3，故本选项不符合题意；故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立，②等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立． 7．下列等式的变形正确的是（　　） A．如果x＝y，那么2+x＝2﹣y B．如果x＝6，那么x＝2 C．如果2（x﹣1）＝3，那么2x﹣1＝3 D．如果，那么m＝n 【分析】根据等式的性质即可判断选项A、选项B、选项D，根据单项式乘多项式法则即可判断选项C． 【解答】解：A．∵x＝y，∴2+x＝2+y，故本选项不符合题意； B．∵x＝6，∴等式两边都乘3得：x＝18，故本选项不符合题意； C．∵2（x﹣1）＝3，∴2x﹣2＝3，故本选项不符合题意； D．∵＝，∴等式两边同时乘k得：m＝n，故本选项符合题意；故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质和单项式乘多项式法则，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立，②等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立． 三．解答题 8．解方程：﹣＝1． 【分析】直接去分母进而去括号，移项合并同类项，进而得出答案． 【解答】解：方程两边同乘以12得： 12×﹣12×＝12， 则3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝12， 故3x+6﹣4x+6＝12， 移项合并同类项得：﹣x＝0， 解得：x＝0． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键． 9．已知2：（15﹣x）＝3：x，求x的值． 【分析】根据比例的性质，等式的性质，解答即可． 【解答】解：因为2：（15﹣x）＝3：x， 所以3（15﹣x）＝2x， 所以45﹣3x＝2x， 所以5x＝45， 所以x＝9． 即x的值是9． 【点评】此题考查了比例的性质，等式的性质，能够正确运用比例的性质，等式的性质把等式变形是解题关键． 10．列方程求解：某数的是8的1，求这个数． 【分析】可设这个数是x，根据等量关系：某数×＝8×1，列出方程计算即可求解． 【解答】解：设这个数是x，依题意有： x＝8×1， 解得x＝． 故这个数是． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件找出合适的等量关系列出方程，再求解． 11． x＝2是方程ax﹣4＝0的解，检验x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解． 【分析】x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由为：由x＝2为已知方程的解，把x＝2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可． 【解答】解：x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由为： ∵x＝2是方程ax﹣4＝0的解， ∴把x＝2代入得：2a﹣4＝0， 解得：a＝2， 将a＝2代入方程2ax﹣5＝3x﹣4a，得4x﹣5＝3x﹣8， 将x＝3代入该方程左边，则左边＝7， 代入右边，则右边＝1， 左边≠右边， 则x＝3不是方程4x﹣5＝3x﹣8的解． 【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 题组B 能力提升练 一．选择题 1．某中学需要安排x名学生住宿，若8人一间则有50人无宿舍住，若12人一间则空余30张床位，求学生人数可列出方程（　　） A． B．8x+50＝12x﹣30 C．8x﹣50＝12x+30 D． 【分析】设需要安排x名学生住宿，根据每间宿舍学生数不变列出方程． 【解答】解：设需要安排x名学生住宿，则每间宿舍的学生数为，故可列出方程． 故选：A． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，难点是找到等量关系，列出方程． 2．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过（　　）秒两人首次相遇？ A．208 B．204 C．200 D．196 【分析】甲在乙前面8米处同时同向出发，那么首次相遇即为甲比乙多跑（400﹣8）米． 【解答】解：设经过x秒甲、乙两人首次相遇， 则8x＝6x+400﹣8 解得：x＝196． 答：经过196秒甲、乙两人首次相遇． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解该情况下两人所走路程之间的关系． 二．填空题 3．若关于x的方程的解是正整数，则正整数m的值为 　2或4　． 【分析】把m看做已知数求出x，根据m为正整数，x为正整数，确定出m的值即可． 【解答】解：， 去分母得：3x﹣2x+m＝6﹣x， 移项，合并同类项得：2x＝6﹣m， 系数化为1得：x＝， ∵x，m都是正整数， ∴6﹣m是2的倍数， ∴当6﹣m＝2时，m＝4， 当6﹣m＝4时，m＝2， ∴正整数m的值有2个，是2或4． 故答案为：2或4． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确解一元一次方程并得出6﹣m是2的倍数是关键． 4．关于x的方程bx＝x+1（b≠1）的根是　　． 【分析】移项，合并同类项，系数化为1，据此即可求解． 【解答】解：移项，得：bx﹣x＝1， 即（b﹣1）x＝1， ∵b≠1时， ∴b﹣1≠0 ∴方程的解为：x＝． 故答案是：． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，理解解一元一次方程的一般步骤是解题关键． 三．解答题 5．解方程：． 【分析】首先熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 【解答】解：去分母得：3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7） 去括号得：9x﹣3﹣12＝10x﹣14 移项得：9x﹣10x＝﹣14+15 合并得：﹣x＝1 系数化为1得：x＝﹣1． 【点评】本题考查解一元一次方程，特别注意去分母的时候不要发生漏乘的现象，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则． 6．解方程： （1）2[x﹣（x+2）]＝5（x﹣2）； （2）y﹣＝2﹣． 【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； 【解答】解：（1）2[x﹣（x+2）]＝5（x﹣2）， 去括号得：2x﹣x﹣2＝5x﹣10， 移项，得：2x﹣x﹣5x＝﹣10+2， 合并同类项，得：﹣4x＝﹣8， 化系数为1，得：x＝2． （2）y﹣＝2﹣， 去分母，得：10y﹣5（y﹣1）＝20﹣2（y+2）， 去括号，得：10y﹣5y+5＝20﹣2y﹣4， 移项，得：10y﹣5y+2y＝20﹣4﹣5， 合并同类项，得：7y＝11， 化系数为1，得：y＝． 【点评】本题主要考查解一元一次方程的基本技能，熟练掌握解方程的基本步骤和根本依据是解题的关键． 7．解方程：＝2﹣． 【分析】方程去分母，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：去分母得：5（x﹣1）＝20﹣2（3x﹣4）， 去括号得：5x﹣5＝20﹣6x+8， 移项合并得：11x＝33， 解得：x＝3． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解． 8．若关于x的方程2x+a＝x﹣1的解是x＝﹣2，求a2018的值． 【分析】把x＝﹣2代入方程求出a的值，再代入求出即可． 【解答】解：把x＝﹣2代入方程2x+a＝x﹣1中， 得：2×（﹣2）+a＝﹣2﹣1， 解得：a＝1， 所以a2018＝12018＝1， 答：a2018的值为1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能理解一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 9．当x为何值时，整式和的值互为相反数？ 【分析】利用相反数性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【解答】解：根据题意得：+1+＝0， 去分母得：2x+2+4+2﹣x＝0， 解得：x＝﹣8． 【点评】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题组C 培优拔尖练 1．阅读理解；我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义． ①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2． ②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x＝3或x＝﹣1． 知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解： （1）方程|x|＝5的解； （2）方程|x﹣2|＝3的解． 【分析】（1）根据已知方程|x|＝5得出x的值就是数轴上到原点的距离为5的点对应的数，再求出答案即可； （2）根据已知方程|x﹣2|＝3得出x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，再求出答案即可． 【解答】解：（1）方程|x|＝5中，x的值就是数轴上到原点的距离为5的点对应的数为±5，即该方程的解为x＝±5， 即方程|x|＝5的解是x＝5或﹣5； （2）方程|x﹣2|＝3中x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数， ∴|x﹣2|＝3的解就是x＝5或﹣1． 即方程|x﹣2|＝3的解是x1＝5，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了数轴，方程的解，绝对值和解一元一次方程等知识点，理解|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离是解此题的关键． 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 二元一次方程组1 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．下列各项中，一元一次方程是（　　） A．2x＝4 B．2﹣＝5 C．2x﹣y＝6 D．2x﹣y＝7 2．下列方程中，其解为﹣1的方程是（　　） A．2x﹣1＝4x+3 B．3x＝x+3 C． D．2（x﹣3）＝3 3．已知x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解，则k＝　　． 4．方程+3＝0中，的次数是 　　次． 5．如果方程x+1＝0与5+m＝2x的解相同，那么m＝　　． 6．解方程：． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 4．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 5．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 6．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 7．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 8．同解方程 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．） 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．方程的定义 例1．下列式子中：①5x+3y＝0，②6x2﹣5x，③3x＜5，④x2+1＝3，⑤+2＝3x．是方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．下列叙述中，正确的是（　　） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 二．方程的解 例3．如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0 三．等式的性质 例4．如果＝，那么a＝　 　． 例5．下列变形符合等式的基本性质的是（　　） A．如果2a﹣b＝7，那么b＝7﹣2a B．如果mk＝nk，则m＝n C．如果﹣3x＝5，那么x＝ D．如果＝2，则a＝﹣6 例6．已知a＝b，则下列变形错误的是（　　） A．2+a＝2+b B．a﹣b＝0 C．﹣2a＝﹣2b D． 四．一元一次方程的定义 例7．已知下列方程：①；②x+y＝3；③x＝0；④x2+4x＝3；⑤﹣3＝；⑥x（1﹣2x）＝3x﹣1．其中是一元一次方程的是（　　） A．①③⑤ B．①③ C．①③⑥ D．⑤⑥ 例8．方程（a﹣3）x|a|-2+3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝（　　） A．3 B．﹣3 C．±1 D．±3 五．一元一次方程的解 例9．已知x＝1是方程x+2m＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣2 B． C．0 D．2 例10．若x＝3是关于x的一元一次方程2x+m﹣5＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．11 六．解一元一次方程 例11．小军同学在解关于x的方程﹣1去分母时，方程右边的﹣1没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为（　　） A．2，2 B．2，3 C．3，2 D．3，3 例12．解方程： （1）7﹣3（x﹣1）＝﹣x； （2）． 七．含绝对值符号的一元一次方程 例13．解方程：|x﹣|3x+2||＝4． 八．同解方程 例14．下列方程中，与x﹣1＝﹣x+3的解相同的是（　　） A．x+2＝0 B．2x﹣3＝0 C．x﹣2＝2x D．x﹣2＝0 例15．若方程2（2x﹣3）＝1﹣3x的解与关于x的方程8﹣m＝2（x+1）的解相同，则m＝（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣12 D．12 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．已知关于x的方程＝3+k的解满足|x|＝3，则符合条件的所有k的值的和为 　　． 2．方程|2x﹣6|＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝±3 D． 3．已知关于x的方程mx+3＝2的解满足|x﹣2|＝0，则m的值是 　　． 4．解方程：﹣＝1． 5．解方程： （1）3（2﹣3x）＝x+1； （2）． 6．解方程： （1）x+1＝6﹣3（x﹣1）； （2）﹣＝2． 7．在有理数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+，如：1☆（﹣3）＝1+＝﹣1．如果2☆x＝x☆（﹣1）成立，则x的值是（　　） A．﹣1 B．5 C．0 D．2 8．一般情况下+＝不成立，但有些数可以使得它成立，例如m＝n＝0．我们称使得+＝成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）． （1）试说明（1，﹣4）是相伴数对； （2）若（x，4）是相伴数对，求x的值． 9．已知方程7x+2＝3x﹣6与x﹣1＝k的解相同，则3k2﹣1的值为（　　） A．18 B．20 C．26 D．﹣26 10．阅读下列问题： 例．解方程|2x|＝5． 解：当2x≥0，即x≥0时，2x＝5，∴x＝； 当2x＜0，即x＜0时，﹣2x＝5，∴x＝﹣． ∴方程|2x|＝5的解为x＝或x＝﹣． 请你参照例题的解法，求方程||＝1的解． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．在有理数范围内定义一个新的运算法则“*”；当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab．根据这个法则，方程4*（4*x）＝256的解是x＝　 　． 2．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． （1）试比较代数式5m2﹣4m+2与4m2﹣4m﹣7的值之间的大小关系； （2）已知A＝5m2﹣4（m﹣），B＝7（m2﹣m）+3，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小． （3）比较3a+2b与2a+3b的大小． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．将方程去分母，得（　　） A．4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2） B．4（2x﹣1）＝12﹣（x+2） C．（2x﹣1）＝6﹣3（x+2） D．4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2） 2．下列等式是一元一次方程的是（　　） A．3x＝0 B．3+5＝8 C．x2﹣4＝0 D．x﹣2y＝5 3．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则关于x的方程（a+b）x²+3cd（x+1）＝3的解为多少？ 二．填空题 4．将方程36x﹣2y＝56变形为用含x的式子表示y的形式是 　 　． 5．如果|x﹣2|+x﹣2＝0，那么x的取值范围是 　 　． 6．下列利用等式的性质，错误的是（　　） A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2b B．由ac＝bc，得到a＝b C．由﹣14x＝7，得到x＝﹣ D．由﹣3＝x，得到x＝﹣3 7．下列等式的变形正确的是（　　） A．如果x＝y，那么2+x＝2﹣y B．如果x＝6，那么x＝2 C．如果2（x﹣1）＝3，那么2x﹣1＝3 D．如果，那么m＝n 三．解答题 8．解方程：﹣＝1． 9．已知2：（15﹣x）＝3：x，求x的值． 10．列方程求解：某数的是8的1，求这个数． 11． x＝2是方程ax﹣4＝0的解，检验x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解． 题组B 能力提升练 一．选择题 1．某中学需要安排x名学生住宿，若8人一间则有50人无宿舍住，若12人一间则空余30张床位，求学生人数可列出方程（　　） A． B．8x+50＝12x﹣30 C．8x﹣50＝12x+30 D． 2．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过（　　）秒两人首次相遇？ A．208 B．204 C．200 D．196 二．填空题 3．若关于x的方程的解是正整数，则正整数m的值为 　 　． 4．关于x的方程bx＝x+1（b≠1）的根是　　． 三．解答题 5．解方程：． 6．解方程： （1）2[x﹣（x+2）]＝5（x﹣2）； （2）y﹣＝2﹣． 7．解方程：＝2﹣． 8．若关于x的方程2x+a＝x﹣1的解是x＝﹣2，求a2018的值． 9．当x为何值时，整式和的值互为相反数？ 题组C 培优拔尖练 1．阅读理解；我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义． ①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2． ②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x＝3或x＝﹣1． 知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解： （1）方程|x|＝5的解； （2）方程|x﹣2|＝3的解． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$