第6章 一次函数 全章复习讲义2024-2025学年苏科版数学八年级上册

一次函数 全章节 一.函数的定义 函数:一般地,如果一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个值,y都有唯一的一个值与之对应,我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量; 强调:函数y与自变量x两个变量,y随x变化而变化; 只要未知数x的值一旦确定,那么对应的y值只有唯一一个; 函数表示方法:列表法、关系式法、图像法 考向一.函数的定义 例题分析 1. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是( ) A.B. C. D. 2. 变量x,y有如下关系:①x+y=10;②y;③y=x﹣3;④y2=8x.其中y是x的函数的是( ) A.①②③④ B.①②③ C.①② D.① 3. 函数y(x﹣5)﹣2中自变量x的取值范围是( ) A.x≥3且x≠5 B.x>3且x≠5 C.x<3且x≠5 D.x≤3且x≠5 4. 若函数有意义,则自变量x的取值范围是 . 及时练习 1. 下列各图给出了变量x与y之间的对应关系,其中y是x的函数的是( ) A.B. C.D. 2. 下列式子:①y=3x﹣5;②y;③y;④y2=x;⑤y=|x|,其中y是x的函数的个数是( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3. 函数y中自变量x的取值范围是( ) A.x≥2 B.x≥2且x≠﹣1 C.x>2且x≠﹣1 D.x≠﹣1 4. 函数y中自变量x的取值范围是 考向二. 正比例函数定义 1. 正比例函数:若y=kx(k0),则称y是x的正比例函数. 例题分析 1. 在下列关系式中,y和x是两个相关联的量,其中y和x成正比例关系的是( ) A.y=56﹣x B.x+y=0.9 C. D.xy 2. 已知y关于x的函数y=(m+2)x+m2﹣4是正比例函数,则m的值是 . 及时练习 1. 当m= 时,函数y=(2m﹣1)x2m﹣2是正比例函数. 2. 若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数,则m的值为 . 3. 定义[p,q]为一次函数y=px+q的特征数,若特征数为[k+3,k2﹣9]的一次函数为正比例函数,则k为 . 考向三 .正比例函数的图象与性质; 1. 正比例函数的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线; 2. 在正比例函数的图象中, k>0,图象经过一、三象限,y随x的增大而增大 k<0,图象经过二、四象限,y随x的增大而减小 3.在正比例函数的图象中越大,直线与x轴所称的锐角较大。 例题分析 1. 在平面直角坐标系xOy中,若正比例函数y=(n﹣1)x的图象经过第一、三象限,则n的取值范围是 . 2. 下列正比例函数中,y的值随x值的增大而减小是( ) A.y=8x B.y=0.6x C.yx D.y=()x 3. 一个正比例函数的图象经过点A(﹣2,3),B(a,﹣3),则a= . 练习: 1. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 . 2. 已知点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2)都在正比例函数y=﹣2x的图象上,则y1 y2.(填“>”或“<”) 考向四.一次函数图象与性质 1.一次函数和正比例函数的定义 一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数. 特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k是常数,k≠0),这时y叫做x的正比例函数. 2.一次函数的图象与性质 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,b)和 的一条直线.它的倾斜程度由k决定,b决定该直线与y轴交点的位置. 一次函数的图象与性质 重点:一次函数的图象是由共同决定; 决定走向:时,从左向右向上走,y随x 增大而增大,时,从左向右向下走,y随x 增大而减小; 决定与y轴交点位置:时,交y轴于正半轴;时,过原点;时,交y轴于负半轴; 一次函数的草图:先后;先确定与轴交点位置,再确定走向; 例题分析 1. 函数①y=kx+b;②y=2x;③;④;⑤y=x2﹣2x+1.是一次函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 若y=mx|m+1|﹣2是关于x的一次函数,则m的值为 . 3. 已知y=(m+3)3是一次函数,则m= . 4. 已知点(k,b)为第四象限内的点,则一次函数y=kx+b的图象大致是( ) A. B. C. D. 5. 关于一次函数y=kx﹣2k图象,下列正确的是( ) A. B. C. D. 6. 一次函数y=﹣kx﹣k2与正比例函数y=kx(k为常数且k≠0)在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 7. 若a<﹣1,则一次函数y=(a+1)x+1﹣a的图象可能是( ) A. B. C. D. 8. 下列函数中,y的值随x的值增大而减小的是( ) A.y=3x+1 B.y=2x﹣3 C.y=﹣2x﹣1 D. 9. 当2≤x≤5时,一次函数y=(﹣m2﹣1)x+2有最大值﹣8,则实数m的值为( ) A.1 B.1或﹣1 C.2 D.2或﹣2 10. 已知点(﹣3,y1),(1,y2)在直线y=﹣3x+b上,则y1,y2的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1≥y2 D.y1=y2 11. 一次函数y=(3+m)x+m+5的图象经过第一,二,四象限,则m应为 . 12. 下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是( ) A.图象经过第一、二、四象限 B.y随x的增大而减小 C.图象与y轴交于点(0,b) D.当x时,y>0 练习: 1. 下列函数①y=2x;②y;③y=2x+1;④y=2x2+1中,是一次函数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2. 已知函数y=(k﹣3)x|k|﹣2+6是一次函数,则k= . 3. 已知函数是一次函数,则m的值为 . 4. 一次函数y=﹣x﹣2的大致图象是( ) A.B. C.D. 5. 在平面直角坐标系中,若点P(m,n)在第二象限,那么一次函数y=mx﹣n的图象大致是( ) A.B. C. D. 6. 一次函数y=kx+b与y=kbx,它们在同一坐标系内的图象可能为( ) A.B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中,函数y=2kx(k≠0)的图象如图所示,则函数y=﹣kx+k的图象大致是( ) A. B. C. D. 8. 直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则直线y=bx+a的图象只能是图中的( ) A. B. C. D. 9. 若点A(4,y1),B(6,y2)都在函数y=(﹣a2﹣1)x+2的图象上,则y1 y2(填“>”或“<”). 10. 关于一次函数y=﹣7x+9,下列说法不正确的是( ) A.图象经过第一、三、四象限 B.图象与y轴交于点(0,9) C.函数值y随自变量x的增大而减小 D.当时,y<0 考向五.一次函数图像的点及交点问题 1.一次函数与一次函数求交点,就是将解析式组成方程组,解出x值,和y值;交点坐标 2.面积问题 (1)一次函数与y轴交点(0,b) ,一次函数与x轴交点;一次函数与坐标轴围成的面积; (2)求三角形面积时,常常需要每个顶点坐标; (3)面积问题的难度在于交点坐标有时含有参数(即含参数的方程组) 例题分析 1. 若一条直线经过点A(﹣1,1)和B(1,5),这条直线的函数表达式为 . 2. 如果函数y=kx+b(k≠0)的自变量x的取值范围是﹣2≤x≤6,相应的函数值的范围是﹣11≤y≤9,求此函数的解析式是 3. 一次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,下列说法正确的是( ) A.点A的坐标是(﹣2,0) B.y随x的增大而减小 C.当x>2时,函数值y>0 D. AOB的面积是2 4. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D在y轴的负半轴上,若将 DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处. (1)求AB的长; (2)求点C和点D的坐标; (3)y轴上是否存在一点P,使得S PABS OCD?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 5. 如图,在平面直角坐标系中,A(﹣3,0),B(1,4),直线BC交x轴于(4,0),过点A作AD∥BC交y轴于点D. (1)求直线BC和直线AD的关系式; (2)点M在直线AD上,且 ABM与 ABO的面积相等,求点M的坐标. 练习: 1. 一次函数y=kx+b的图象经过点(2,﹣1)和(0,3),那么这个一次函数的解析式为( ) A.y=﹣2x+3 B.y=﹣3x+2 C.y=3x﹣2 D.yx﹣3 2. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)图象过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,则一次函数的解析式为( ) A.y=x+2 B.y=﹣x+2 C.y=x+2或y=﹣x+2 D.y=﹣x+2或y=x﹣2 3. 已知一次函数y=kx+b的图象过点(﹣1,0)和点(0,2),则该一次函数的解析式是 . 4. 在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到,且经过点(﹣1,3). (1)求一次函数的解析式; (2)已知点A(﹣3,0),P(x,y)是该一次函数图象上一点,当 OPA的面积为6时,求点P的坐标. 5. 如图,在平面直角坐标系中,点A(﹣2,﹣1),B(1,5),直线AC⊥AB与y轴交于点C,直线AB分别与x轴、y轴交于点D、E. (1)求直线AB的解析式; (2)求点C的坐标; (3)在x轴上是否存在点P,使S PAC=S四边形ODAC?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. 考点六:一次函数的平移 一次函数平移的三种方式: ⑴上下平移:上加下减.向上在整体上加,向下在整体上减; ⑵左右平移:左加右减.向左在“”上加,向右在“”上减; ⑶沿某条直线平移:这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 注意:函数的平移和坐标的平移,两者有区别; 例题分析 1. 把直线y=2x向下平移3个单位长度得到直线为( ) A.y=2x+3 B.y=5x C.y=6x D.y=2x﹣3 2. 在平面直角坐标系xOy中,若一次函数y=kx+b的图象由直线y=kx(k>0)向上平移4个单位长度得到,则一次函数y=kx+b的图象经过的象限是( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 3. 关于一次函数,下列结论正确的是( ) A.图象不经过第二象限 B.图象与x轴的交点是(0,2) C.将一次函数的图象向上平移1个单位长度后,所得图象的函数表达式为 D.点(x1,y1)和(x2,y2)在一次函数的图象上,若x1<x2,则y1>y2 4. 将直线y=2x﹣1先向右平移2个单位,再向上平移1个单位后,所得直线的表达式为 . 5. 直线y=2x﹣3沿x轴向左平移1个单位长度后与y轴的交点坐标是 . 6. 如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,4),且与正比例函数yx的图象交于点B(a,2). (1)求a的值及一次函数y=kx+b的解析式; (2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点C,且正比例函数yx的图象向下平移m(m>0)个单位长度后经过点C,求m的值; (3)坐标轴上有一点E,使得 BCE为等腰三角形,请直接写出点E的坐标. 练习: 1. 对于一次函数yx+3,下列结论正确的是( ) A.函数的图象不经过第四象限 B.函数的图象与x轴的交点坐标是(0,3) C.函数的图象向下平移3个单位长度得yx的图象 D.若A(x1,y1),B(x2,y2)两点在该函数图象上,且x1<x2,则y1<y2 2. 若直线y=x向上平移m个单位长度后经过点(3,5),则m的值为 . 3. 在平面直角坐标系中,将y=﹣2x+1向下平移3个单位,所得函数图象过(a,3),则a的值为 4. 已知点P(1,2)关于x轴的对称点为P',且P'在直线y=kx+3上,把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位,所得的直线解析式为 . 5. 如图,将直线yx向下平移后得到直线AB,且点B(0,﹣4),则直线AB的函数表达式为 ;线段AB的长为 . 6. 如图,直线l:y=ax+3交x轴于点A(6,0),将直线l向下平移4个单位长度,得到的直线分别交x轴,y轴于点B,C. (1)求a的值及B,C两点的坐标; (2)点M为线段AB上一点,连接CM并延长,交直线l于点N,若 AMN是等腰三角形,求点M的坐标. 7. 已知2y+1与3x﹣3成正比例,且x=6时,y=17. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)将(1)中函数图象向上平移5个单位后得到直线l1,求直线l1对应的函数表达式,并回答:点P(4,3)是否在直线l1上? 考点七:两条直线的位置关系 两条直线的位置关系:设直线与 (1) 。 (2) 例题分析 1. 已知一次函数的图象与y=2x+3平行,且过点(4,2),则该一次函数与坐标轴围成图形的面积为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 2. 已知一次函数的图象经过点(0,5),且与直线y=x平行,则一次函数的表达式为 . 3. 直线y=kx+b平行于直线y=3x,且过点(1,﹣2),则其解析式为 练习: 1. 一次函数图象与直线y=3x+1交于点(2,7),且与直线y=6﹣2x平行,则这个一次函数的表达式为 . 2. 一次函数图象与直线y=﹣2x+6交于点(2,n),且与直线y=4x+1无交点,则这个一次函数的表达式为 . 3. 在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与直线y=3x平行,且经过点A(2,4),则一次函数的解析式为 . 考点八:一次函数综合 1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴交于点A,与直线y=kx﹣2k+1相交于点B;直线y=kx﹣2k+1与x轴交于点C. (1)当时,求 ABC的面积; (2)若∠ABC=45 ,求k的值; (3)若 ABC是以BC为腰的等腰三角形,求k的值. 2. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣1,0),B(0,3),点C在x轴上,且直线BC与直线AB关于y轴对称. (1)求直线BC的解析式; (2)若在直线AB上存在点P使S BCP,求点P的坐标; (3)若点M是直线AB上一点,点N是y轴上一点,连接CM,CN,MN,使 CMN是以CM为腰的等腰直角三角形,直接写出点N的坐标. 3. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,线段OB上有一点C,点B关于直线AC的对称点B'在x轴上. (1)求 AOB的面积; (2)求直线AC的解析式; (3)点P是直线AC上一点,当 ABP为直角三角形时,求点P的坐标. 4. 如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线AB:y=2x+b与x轴交于点A(﹣2,0),与y轴交于点B. (1)求直线AB的解析式; (2)若直线 CD:yx与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E,求 BDE面积; (3)如图2,在(2)的条件下,点F为线段AC上一动点,将 EFC沿直线EF翻折得到 EFN,EN交x轴于点M.当 MNF为直角三角形时,求点N的坐标. 5. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b与x轴交于点B(﹣4,0),与y轴交于点A,直线y=﹣2x+4过点A,与x轴交于点C. (1)点A的坐标是 ;直线AB的函数表达式 ; (2)若点P是直线AB上一动点,且S PBC=S AOB,求P点的坐标; (3)点M在第二象限,当S MAB=S AOB时,动点N从点B出发,先运动到点M,再从点M运动到点C后停止运动.点N的运动速度始终为每秒1个单位长度,运动的总时间为t(秒),请求出t的最小值. 练习: 1. 直线AB:y=x+3分别与x,y轴交于A,B两点、过点B的直线交x轴正半轴于点C,且OB:OC=3:1. (1)直接写出点A、B、C的坐标; (2)在线段OB上存在点P,使点P到B,C的距离相等,求出点P的坐标: (3)在第一象限内是否存在一点E,使得 BCE为等腰直角三角形,若存在,直接写出E点坐标;若不存在,说明理由. 2. 如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于点B、A,直线y=2x+4分别交x轴、y轴于点C、A. (1)求线段AC的中点坐标; (2)若点M是直线AB上的一点,连接CM,若,求点M的坐标; (3)在(2)的条件下,若点M在第一象限内,以M为顶点作∠CMP=45 ,射线MP交x轴于P.求点P的坐标. 3. 如图,在平面直角坐标系中,直线l与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点B(0,2),已知点C(﹣2,0). (1)求直线l的表达式; (2)点P是直线l上一动点,且 BOP和 COP的面积相等,求点P坐标; (3)在平面内是否存在点Q,使得 ABQ是以AB为底的等腰直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 4. 如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣2x+6交x轴于点A,交y轴于点B,点C(m,4)在直线l1上,直线l2经过点C和点D(﹣7,0),Q是直线l2上一动点. (1)求直线l2的函数表达式; (2)若S QAC=S AOB,求点Q的坐标; (3)若∠QAC=45 ,求点Q的坐标. 考点九:补充 一次函数特殊的k值 (1) 直线与x轴夹角为; (2) 直线与x轴夹角为; (3) 直线与x轴夹角为; 一次函数k值另一种求法:; 最慢的步伐不是跬步,而是徘徊:最快的脚步不是冲刺,而是坚持。1 学科网(北京)股份有限公司 $$