专题6.7 一次函数（11大知识点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.7 一次函数（11大知识点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【知识点2】一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 【知识点3】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 【知识点4】一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点5】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点6】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点7】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点8】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点9】一次函数与方程（组） (1)一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. (2)二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. (3)一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 【知识点10】一次函数与不等式 (1)一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 (2)一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 【知识点11】一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 题型目录 【题型1】函数的概念........................................................4; 【题型2】函数解析式及自变量取值范围........................................5； 【题型3】一次函数的概念....................................................7； 【题型4】一次函数的图象与性质..............................................8； 【题型5】一次函数的平移（平行）、垂直.....................................12； 【题型6】一次函数与一次方程（组）.........................................14； 【题型7】一次函数与一元一次不等式.........................................17； 【题型8】一次函数的与几何综合.............................................20； 【题型9】一次函数的与将军饮马问题.........................................24； 【题型10】一次函数规律探索问题............................................29； 【题型11】一次函数的应用..................................................33; 【题型12】直通中考........................................................37; 【题型13】拓展延伸........................................................39. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】函数的概念 【例1】（23-24八年级下·河北邢台·期中）若点和另一个点在同一个函数图像上，则另一个点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义判断即可． 解：对于点与点， 若这两点在同一函数图像上，这表明对于，有两个不同的y值与之对应，这与函数定义矛盾， 故选：A． 【变式1】（20-21九年级上·山东聊城·期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 解：①，y是x的函数； ②，y不是x的函数； ③，y是x的函数； ④，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数； ⑤．y是x的函数； 所以其中y是x的函数的个数是3， 故选：B 【点拨】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·山东济宁·期中）设表示关于的函数，若，且，那么 ． 【答案】4 【分析】根据，把化为代入计算即可． 解：∵若，， ∴ ， ∴． 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了函数的概念，能够把把化为是解题的关键． 【题型2】函数解析式及自变量取值范围 【例2】（22-23八年级下·北京西城·期中）小明带了40元钱去超市买大米，大米售价为8元/千克，若小明买了x千克大米，还剩下y元，写出y与x的函数解析式 ，其中自变量x取值范围是 ． 【答案】 / / 【分析】根据题意写出函数解析式，并判断自变量x取值范围． 解：根据题意可得， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，． 【点拨】此题考查了函数解析式，解题的关键是读懂题意并根据题意写出函数解析式． 【变式1】（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）函数的定义域是，该函数关于轴对称，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据函数的性质确定出函数为偶函数，在上是增函数，在上是减函数，分别在和两种情况下利用增减性直接求解即可． 解：函数的定义域是，该函数关于轴对称， 函数为偶函数， 函数在上是增函数， 在上是减函数， 当时， ， ， 当时， 函数在义域上为偶函数，在上是增函数， ， ， 故选：． 【点拨】本题考查了利用函数的增减性，熟练掌握函数性质，灵活运用函数增减性，奇偶性是解答本题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·四川内江·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案． 解：由可得： ， 解得：且． 故答案为：且． 【题型3】一次函数的概念 【例3】（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数， (1)当是何值时函数是一次函数． (2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值． (3)点在此一次函数图象上，则的值为多少． 【答案】(1)；(2)，当时，；(3) 【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （3）代入，求出此时x的值即可得到答案． 解：（1）∵函数是一次函数， ∴， ∴， ∴当时，函数是一次函数； （2）由（1）得， ∴当时，； （3）在中，当时，， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如（其中k、b都是常数，且）的函数叫做一次函数． 【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）已知直线的解析式为，则直线过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，得到，即可得到打答案，此题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 解：当时，， ∴直线过定点， 故选：B 【变式2】（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 【题型4】一次函数的图象与性质 【例4】（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移等知识．熟练掌握一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移是解题的关键． 由，可得，，则图象过第二、三、四象限，不过第一象限，可判断A的正误；当时，，即图象与y轴的交点坐标为，可判断B的正误；图象可由直线向下平移2个单位长度得到，可判断C的正误；随着的增大而减小，由，可得，可判断D的正误． 解：∵， ∴，， ∴图象过第二、三、四象限，不过第一象限，A正确，故不符合要求； 当时，，即图象与y轴的交点坐标为，B正确，故不符合要求； 图象可由直线向下平移2个单位长度得到，C正确，故不符合要求； 随着的增大而减小， ∵， ∴，D错误，故符合要求； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是 . 【答案】①②③ 【分析】此题考查了一次函数交点问题，一次函数的性质，根据一次函数的图象及交点分别判断即可得到答案，正确理解函数图象是解题的关键． 解：由图象得过一，二，三象限；过二，三，四象限； ∴, ∴随x的增大而减小，故①正确； 函数的图象不经过第二象限，故②正确； ∵两图象交点横坐标为， ∴ ∴，故③正确； 当时，，故 ∴，故④错误； 故正确的是①②③． 【变式2】（22-23八年级下·广东广州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（        ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．一次函数的图象不一定经过第三象限 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和图象求解即可． 解：A、把代入得：，解得：， ∴， 当时，，时，，如图所示，    ∴与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错； B、∵，∴， ∴一次函数y随x增大而增大，如图所示，    ∴若，则， ∴，故B错； C、假设一次函数不经过第三象限，则需，， 由B得：当时，， ∴一次函数的图象一定经过第三象限，故C错； D、当时，要想，则，解得：，即，如图所示，    当时，要想，则即可，如图所示，    综上所述：k的取值范围是或，故D正确； 故选：D． 【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，灵活运用所学知识是关键． 【题型5】一次函数的平移（平行）、垂直 【例5】（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据一次函数经过点，，求出，的值，即可． 解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵一次函数分别与轴，轴交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，即点，，即， ∴一次函数向左平移了个单位长度， ∴直线的解析式为：． 故选：A． 【变式1】（21-22八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的二元一次方程组 无解，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【答案】A 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系即可判断． 解：∵二元一次方程组无解，即直线与无交点， ∴两直线的位置关系为平行， 故选：A． 【点拨】此题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是熟知他们的关系，有一解为相交，有无数解为重合，无解为平行． 【变式2】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）已知直线与直线平行，且将直线向下平移2个单位后得到直线，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数图象与平移变换，根据平移和平行求出的值，再代入计算即可． 解：∵直线与直线平行， ∴， ∵将直线向下平移2个单位后得到直线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·安徽宣城·期中）与直线垂直且过点的直线解析式是 ． 【答案】 【分析】根据互相垂直的两条直线的值的乘积为，设直线的解析式为：，再将点，代入求解即可． 解：由题意，设直线的解析式为，将点代入，得：， ∴； 故答案为：． 【题型6】一次函数与一次方程（组） 【例6】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线的函数表达式为与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与直线交于点． (1)求点C坐标和直线l2的函数表达式； (2)求的面积； (3)为直线上一动点，且，请求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)；(3)或. 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． （1）先求出C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出点A，点D的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）先求出M的纵坐标为，再代入的解析式求解即可． 解：（1）把代入得：， 解得：， ∴ 设直线的函数表达式为， 把，代入，得： ，解得 ∴的函数表达式为． （2）令，代入，得：， 解得： ∴， 令，代入，得：， 解得：， ∴， ∴． （3）∵，， ∴M的纵坐标为， ∵为直线上一动点， ∴， 解得：或6， ∴或． 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，横坐标为方程组x的值，纵坐标为方程组y的值． 解：将代入，得：， 即直线与直线的交点坐标为， 关于x、y的方程组的解为． 故选C． 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式， 一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图像和性质，利用数形结合是解题的关键. 解：由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 【题型7】一次函数与一元一次不等式 【例7】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)，; (2). 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 解：（1）∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 【变式1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键，先把点A的坐标代入中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解． 解：把代入． 得． 解得． 即A点坐标为． ∵当时，， ∴． ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与不等式，在数轴上表示解集．熟练掌握一次函数与不等式，在数轴上表示解集是解题的关键． 由图象可知，一次函数的图象过原点，由题意知，不等式的解集为一次函数的图象在图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象可求不等式的解集为，然后判断作答即可． 解：由图象可知，一次函数的图象过原点， 由题意知，不等式的解集为一次函数的图象在图象上方部分所对应的的取值范围， 由图象可知，不等式的解集为， ∴在数轴上表示解集如下； ， 故选：A． 【变式3】（22-23八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断． 解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ， 一次函数 过定点 ， ∵①时， ，两直线平行时，始终有 ， ∴ ． ②当 时，设经过点 的直线为 ，有 ， 解得：     ∴   ∵一次函数 的图象过定点 ， 不论 取何值，始终有 ， ∴ ∴综上解得： 或． 即：且 故选：D 【点拨】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键． 【题型8】一次函数的与几何综合 【例8】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．   （1）在轴上存在点，使得，求点的坐标； （2）在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为或；(2)存在，点的坐标或． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据已知求得、坐标，由重点坐标公式求坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可； （2）设点坐标，当是直角三角形分两种情况：或时求解即可． （1）解：与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则， 当时，，，则， ，， ∴， ∵点是的中点， ， ， 设， 则， ， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为或； （2）解：设轴存在一点，使得是直角三角形， ，，， 根据勾股定理可得：， ， ，， 是直角三角形，分两种情况： ①时，与原点重合，此时； ②时，则， ， 解得：，此时， 综上所述：点的坐标或． 【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，   ， ， ； ②当时，如图2，   ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解． 解：，当时，；当时，； ，， ，， 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处， ， ，， 在中，，即：， ， 点在轴的负半轴上， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键． 【题型9】一次函数的与将军饮马问题 【例9】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． （1）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； （2）若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 【答案】(1)， (2)当点P运动到时，的值最小，最小为 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值； （1）分别令、求解即可； （2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可． 解：（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． ∴点C纵坐标为1， 当时，解得， ∴， 当时，解得， ∴， 故答案为：， ； （2）点关于x轴的对称点为，则， 连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时， 连接BP，此时的值最小， 设直线的表达式为 将点和点分别代入上式，得 解得， ∴直线的表达式为 当时，解得， ∴点P的坐标为 当点P运动到时，的值最小，最小值为． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理，如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 周长的最小值是 ， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于轴对称的点，过点作于，交轴于点，连接，利用一次函数解析式求出点A和点B坐标，根据对称的性质得出，可得的值最小，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长即可得解． 解：在中，令，则，令，则， ∴，， ∵N是的中点， ∴， 作点关于轴对称的点，则的坐标为， 过点作于，交轴于点，连接， ， 此时的值最小， ∵， ∴， 即， 解得：， 的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称求最小值，勾股定理，面积法，最短路径问题．根据轴结称和垂线段确定最短路径是解题的关键． 【题型10】一次函数规律探索问题 【例10】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，，求得的横坐标为，于是得到结论． 解：∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴在直线上， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， ∴， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标，且在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， 即：的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 用同样的方法可得： 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为． 故选：B． 【点拨】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，规律型：点的坐标，有理数乘方的应用，列代数式等知识点．正确地找出点的横坐标的规律是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·江西宜春·期末）直线（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，当k分别为时，则（　　） A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638 【答案】D 【分析】确定的表达式，继而寻找规律即可． 解：直线恒过点    设直线与轴的交点为，则点 故选：D 【点拨】本题考查特殊的一次函数．掌握该函数过定点的特征是解决问题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式得出：，，，从而得出规律，再计算的长度即可． 解：∵， ∴将代入得：， ∴， ∴ ∴将代入得：， ∴， ∴, ∴将代入得：， ， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键． 【题型11】一次函数的应用 【例11】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【变式1】（22-23八年级上·河南平顶山·期末）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（    ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息.由图①的信息可判断A；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可判断B；再求解当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量与当天一件产品的销售利润，从而可判断C和D． 【详解】解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故A不符合题意； 设当时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，， 所以第10天销售一件产品的利润是15元，故B不符合题意； 当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，，， 所以第12天的日销售利润为：元， 第30天的日销售利润为：元，而，故C符合题意； 由第30天的日销售利润为：元，故D不符合题意， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知A、B两地相距3600米，甲从A地出发步行到B地，40分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求，与x的函数关系式； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 【答案】(1)（），（） (2)甲出发后45分钟两人相遇，相遇时乙离A地2700米 【分析】本题考查待定系数法，一次函数与一元一次方程的实际应用，读懂题意和一次函数图象信息是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意可知两人相遇时，甲、乙两人离A地的距离相等，以此建立方程求解，进而得出答案． 【详解】（1）解：设与x的函数关系式为， ∵该函数图象过点， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为（）； 设与x的函数关系式为， ∵该函数图象过点， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为（）； （2）解：两人相遇时，甲、乙两人离A地的距离相等，即， ∴，解得． 当时，． 答：甲出发后45分钟两人相遇，相遇时乙离A地2700米． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．第所用的时间最长 B．第的平均速度最大 C．第和第的平均速度相同 D．前的平均速度大于最后的平均速度 【答案】D 【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意； 平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意； 由于前的的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意； 故选D． 【例2】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元；(2)；购买A种书架8个，B种书架12个；(3)120. 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 解：（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）由题意得 ， 解得． 【题型13】拓展延伸 【例1】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可． 解：由题意可得， 设直线AB的解析式为y=kx+b 则 解得： ∴直线AB的解析式为：y=x-4， ∴x=y+4， 设直线AC的解析式为y=mx+n 则 解得： ∴直线AC的解析式为：， ∴， ∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：， ∴， ∵EP=3PF， ∴， ∴点P的横坐标为：， ∵， ∴． ∴ 故答案为：A． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键． 【例2】（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 【答案】(1)由负到正；(2)；(3)当或时，. 【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解； （2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解； （3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 解：（1）∵， 当滑块在点时，，， 当滑块在点时，，， ∴的值由负到正． 故答案为：由负到正． （2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴ ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为， ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为， ∴滑块返回的速度为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为； （3）当时，有两种情况， 由（2）可得， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：， 综上所述，当或时，． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 一次函数（11大知识点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【知识点2】一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 【知识点3】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 【知识点4】一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点5】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点6】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点7】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点8】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点9】一次函数与方程（组） (1)一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. (2)二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. (3)一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 【知识点10】一次函数与不等式 (1)一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 (2)一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 【知识点11】一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 题型目录 【题型1】函数的概念........................................................4; 【题型2】函数解析式及自变量取值范围........................................4； 【题型3】一次函数的概念....................................................5； 【题型4】一次函数的图象与性质..............................................5； 【题型5】一次函数的与一元一次方程..........................................6； 【题型6】一次函数与二元一次方程组..........................................7； 【题型7】一次函数与一元一次不等式..........................................8； 【题型8】一次函数的与几何综合..............................................9； 【题型9】一次函数的与将军饮马问题.........................................10； 【题型10】一次函数规律探索问题............................................11； 【题型11】一次函数的应用..................................................12; 【题型12】直通中考........................................................13; 【题型13】拓展延伸........................................................14. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】函数的概念 【例1】（23-24八年级下·河北邢台·期中）若点和另一个点在同一个函数图像上，则另一个点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21九年级上·山东聊城·期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（22-23九年级上·山东济宁·期中）设表示关于的函数，若，且，那么 ． 【题型2】函数解析式及自变量取值范围 【例2】（22-23八年级下·北京西城·期中）小明带了40元钱去超市买大米，大米售价为8元/千克，若小明买了x千克大米，还剩下y元，写出y与x的函数解析式 ，其中自变量x取值范围是 ． 【变式1】（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）函数的定义域是，该函数关于轴对称，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（22-23八年级下·四川内江·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是 ． 【题型3】一次函数的概念 【例3】（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数， (1)当是何值时函数是一次函数． (2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值． (3)点在此一次函数图象上，则的值为多少． 【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）已知直线的解析式为，则直线过定点（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【题型4】一次函数的图象与性质 【例4】（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【变式1】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是 . 【变式2】（22-23八年级下·广东广州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（        ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．一次函数的图象不一定经过第三象限 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【题型5】一次函数的平移（平行）、垂直 【例5】（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的二元一次方程组 无解，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【变式2】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）已知直线与直线平行，且将直线向下平移2个单位后得到直线，则 ． 【变式3】（23-24八年级上·安徽宣城·期中）与直线垂直且过点的直线解析式是 ． 【题型6】一次函数与一次方程（组） 【例6】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线的函数表达式为与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与直线交于点． (1)求点C坐标和直线l2的函数表达式； (2)求的面积； (3)为直线上一动点，且，请求出点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【题型7】一次函数与一元一次不等式 【例7】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【变式1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【题型8】一次函数的与几何综合 【例8】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．   （1）在轴上存在点，使得，求点的坐标； （2）在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 ．    【题型9】一次函数的与将军饮马问题 【例9】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． （1）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； （2）若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为 ． 【题型10】一次函数规律探索问题 【例10】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级下·江西宜春·期末）直线（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，当k分别为时，则（　　） A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638 【变式2】（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【题型11】一次函数的应用 【例11】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【变式1】（22-23八年级上·河南平顶山·期末）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（    ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知A、B两地相距3600米，甲从A地出发步行到B地，40分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求，与x的函数关系式； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．第所用的时间最长 B．第的平均速度最大 C．第和第的平均速度相同 D．前的平均速度大于最后的平均速度 【例2】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【题型13】拓展延伸 【例1】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$