第六章第3讲圆和扇形（1 ） 2024-2025学年沪教版（五四制）六年级数学下册寒假讲义

第3讲 圆和扇形1 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1.下列说法正确的是（ ） A.圆的周长÷圆的直径=圆周率； B.两个奇数一定互素； C.1、2、3、4能组成比例； D.因为4.8÷1.2=4，所以4.8能被1.2整除. 2.若圆的半径由3厘米增加到15厘米，则圆的周长增加了（ ） A.4厘米； B.厘米； C. 厘米； D. 厘米. 3.一个边长为10厘米的正方形铁丝线圈，若在保持周长不变的情况下把它拉成一个圆，则它的半径为( ) 厘米. A. ； B. ； C. ； D.． 4.在一个长4cm，宽2cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）. A.9.42; B. 50.24; C 3.14; D. 12.56. 5. 从甲地到乙地有A，B两条路线，这两条路线经过的路程相比较 ( ） A.路线A远 B.路线B远 C.同样远 D.无法确定 6.一个圆的半径为r,圆周长为,面积为; 一个半圆的半径为2r,半圆弧长为,面积为,则以下结论成立的是 ( ) (A) (B) (C) (D) . 7．直径为6cm的圆周长是_________cm。 8.圆的周长是62.8米，这个圆的面积是 平方米 9.圆的半径由10厘米减少到6厘米,它的面积减少 平方厘米. 10.用一张正方形的纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，如果已知正方形的边长是4厘米，那么这个圆形的面积是 平方厘米. 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、圆的周长与弧长 1.圆的周长：； 2.半圆的周长：； 3.弧长：. 二、圆和扇形的面积 4.圆的面积：; 5.圆环的面积：; 6.扇形的面积：; 7.同圆中的之间的关系：. 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 【考点1】圆的周长与弧长 例题1 参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都 ，这个距离就是这个圆的 ． 例题2 一个时钟的分针长8cm，经过半个小时后，分针尖端所走过的路程是（ ） A.cm; B. cm; C cm; D. cm. 例题3圆的半径为3cm，则该圆的周长是 cm. 例题4在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米 【考点2】圆和扇形的面积 例题5一个扇形的弧长是24厘米，半径是4厘米，则扇形的面积是 平方厘米. 例题5如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”那么半径为8的“等边扇形”的面积是________. 例题6 如图，三角形ABC是直角三角形，AC长为4cm，BC长 为2cm，以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上，则图中阴影部分的面积为________cm2. 例题7如图所示，求下图正方形中阴影部分的周长。（结果可保留π） 【考点3】综合应用 例题8.我们都学习了扇形的面积，试回忆扇形面积的推导公式，并根据你的理解，回答下列问题：（1）对于一个半径为r，圆心角为的扇形，其面积为 . （2）你认为上述面积公式的推导过程，与下列哪个公式的推导使用了基本相同的办法 . A.圆的面积公式； B.圆的周长公式； C.平行四边形的面积公式； D.弧长公式. （3）在上述扇形面积的推导过程中，下列哪些知识起着重要作用（有几个写几个） . A.圆的面积公式； B.圆的周长公式； C.弧长公式； D.分数的意义. （4）如果已知一个扇形的弧长为，半径为r，试用和r表示该扇形的面积，并写出简要的推导过程. 例题9．正方形ABCD的边长为4厘米.[来源:学科网ZXXK] （1）分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧DE、弧BF与边AB、CD所形成的阴影部分如图1. 求图1阴影部分的面积. （2）以点B为圆心，4厘米为半径的弧AC与以AB、BC为直径的两个半圆所形成的阴影 部分如图2. 求图2阴影部分的面积. （3）若以AB为直径的半圆与三角形ABC的边AC、BC所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积. 【拓展进阶】 30min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 一、选择题（本大题共12题） 1．如图1和2，两个圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）不能确定. 2.如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（ ） A.； B. ； C. ； D.4. 3.若圆的半径由3厘米增加到15厘米，则圆的周长增加了（ ） A.4厘米； B.厘米； C. 厘米； D. 厘米. 4.下列说法中正确的是（ ） A.在所有正整数中，除了素数都是合数； B.两个整数的积一定是这两个数的公倍数； C.互为倒数的两个数中一定有一个数大于1； D.圆的面积与它的半径之比是一个不变的常数. 5.一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作S圆、正方形的面积记作S正方形，那么下列说法正确的是（ ） A. S圆>S正方形; B. S圆=S正方形 ; C. S圆<S正方形; D. 不能比较. 6. 从甲地到乙地有A，B两条路线，这两条路线经过的路程相比较 ( ） A、路线A远 B、路线B远 C、同样远 D、无法确定 7.一个花坛原来的半径长为4米，为了更好的美化环境，将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么花坛的半径长需要扩大（ ） A. 1米； B. 1.5米； C. 2米； D. 3米. 8.如图，图中半圆弧长与扇形弧长的大小关系是（ ） A. ； B. ； C. ； D.无法确定. 9.已知扇形的圆心角小于90度，如果将这个扇形的圆心角扩大为原来的两倍，半径也扩大为原来的两倍，那么下列说法正确的是（ ） A.扇形的周长扩大为原来的4倍； B. 弧长扩大为原来的4倍； C.扇形的面积扩大为原来的4倍； D.弧长和扇形的面积都扩大为原来的4倍. 10.如果大圆的周长是小圆周长的4倍，那么小圆面积是大圆面积的（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 11.如图，有两张边长都是4厘米的正方形纸片上，分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆，余下的面积分别为，则（ ） A. ； B. ； C. ； D.不能确定. 12.如图，线段AB是图中最大的半圆的直径，而、分别是另外五个小的半圆的直径，有两只小虫以相同的速度同时从点A出发，甲虫沿着用实线表示的大的半圆爬行，乙虫沿用虚线表示的五个小的半圆爬行，则下列结论正确的是（ ） A. 甲先到点B； B.乙先到点B； C. 甲、乙同时到点B； D.无法确定. 二、填空题（本大题共11题） 13.已知的圆心角所对的弧长为厘米，那么这条弧所在圆的半径等于 厘米. 14．如右图，矩形的长是10cm，宽是6cm，则阴影部分周长是 米. 15.已知，如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 . 16.如图，扇形AOB的半径OA=OB=4cm，，分别以OA、OB的中点C、D为圆心，OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积 为 平方厘米. 17.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”那么半径为8的“等边扇形”的面积是________. 18. 如图，三角形ABC是直角三角形，AC长为4cm，BC长 为2cm，以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上，则图中阴影部分的面积为________cm2. 19.如图，大、小圆的重叠部分面积是大圆面积的，是小圆面积的，如果大圆的半径是5厘米，那么小圆的半径是 厘米. 20.大、小两个圆的面积之比为16∶1.周长之差为6cm，那么大、小两个圆的面积之和是_________cm2. 21.如图，将一张圆形纸片剪开成甲乙丙三个扇形，已知甲扇形的弧长比乙扇形的弧长小，乙扇形的弧长比丙扇形的弧长小，那么最大扇形的圆心角是 度. 22.如图，阴影部分是扇形与圆重叠的部分，阴影部分的面积是圆面积的20%，是扇形面积的，则扇形面积是圆面积的 %. 23.如图，正方形ABCD的边长为6，分别以点D为圆心，4为半径作弧；以点C为圆心，6为半径张弧. 若图中阴影部分的面积分别为时，则= .（结果保留π） 【过关演练】 20min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1.圆心角为，半径为12厘米的扇形面积是 平方厘米. 2.一个扇形的半径为6cm，圆心角为60°，那么扇形的弧长为 cm. 3.一段弧所在的圆的半径为60，这段弧的长是157，那么这弧所对的圆心角是_________度. 4．如图，从一个正方形顶点A到顶点B共有三条线路：在这三条线路中最短的是线路 （填入“1”，“2”或“3”） 5.已知，如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 . 6.如图，长方形的长和宽分别是8cm和4cm，求图中阴影部分的周长. 7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画扇形，求阴影部分的面积. 8.如图，正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积与周长.（保留） 9．如图所示，∠AOB＝90°，∠COB=45°， （1）已知OB=10，求以OB为直径的半圆面积及扇形COB的面积；（结果可保留π） （2）填空：已知阴影甲的面积为6平方厘米，则阴影乙的面积为 平方厘米。 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1.下列说法中正确的是（ ） A.在所有正整数中，除了素数都是合数； B.两个整数的积一定是这两个数的公倍数； C.互为倒数的两个数中一定有一个数大于1； D.圆的面积与它的半径之比是一个不变的常数. 2.扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ） A.不变； B.扩大为原来的3倍； C.缩小为原来的； D.扩大为原来的9倍. 3.一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作S圆、正方形的面积记作S正方形，那么下列说法正确的是（ ） A. S圆>S正方形 ; B. S圆=S正方形 ; C. S圆<S正方形; D. 不能比较. 4.如果长为5cm，宽为4cm的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的面积是（ ） A.； B. ； C. ； D. . 5.如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（ ） A.； B. ； C. ； D.4. 6．如图1和2，两个圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）不能确定. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 7.如果一个圆的周长为21.98厘米，那么这个圆的半径是 厘米. 8.已知一个圆的周长为62.8厘米，那么这个圆的面积为 平方厘米. 9. 如果圆的半径扩大为原来的3倍，那么该圆的面积扩大为原来的 倍. 10.已知两圆的的半径之比是2：3，那么两圆的周长之比是________. 11．时钟的分针长6厘米，从10:00到11：00，分针扫过的面积是 平方厘米． 12.扇形的半径为5cm，面积是15.7，那么扇形的周长是 （取3.14）. 13.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.那么这个扇形的圆心角度数为 .（精确到0.1） 14.如图，某数学兴趣小组将正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心, AB为半径的扇形，则扇形的圆心角∠DAB的度数是________度（保留一位小数）. [来源:学科网] 15．如右图，矩形的长是10cm，宽是6cm，则阴影部分周长是 厘米. 16.如图，扇形AOB的半径OA=OB=4cm，，分别以OA、OB的中点C、D为圆心，OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米. 三、解答题（本大题共6题，第17~19题每题8分，第20~21题每题9分，第22题10分，满分52分） 17.已知半圆的直径CD=12cm，如图所示，弧DE所对的圆心角∠ECD=30°，求阴影部分的周长. 18．如图，请度量出需要的数据，并计算阴影部分的面积． 19.如图所示，正方形的边长为2，求阴影部分的周长与面积. 20.有一个著名的希波克拉蒂月牙问题.如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）.已知直径AC为4,直径BC为3,直径AB为5. （1）分别求出三个半圆的面积（结果保留π）； （2）请你猜测，这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系，请写出你的猜想，并通过计算说明。 21．如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形． ① 甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ② 乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③ 丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙． （1）请你直接写出S甲= ．（结果保留π） （2）请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上：_________________． （3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得S丙＝_______________．（结果保留π） 22.阅读材料：在房屋建造的过程中，我们常会见到“容积率”这个名词. “容积率”（floor area ratio），是批规划建设用地地面上的建筑物总面积与规划建设用地面积之比，其结果一般用整数或小数表示. 比如一块规划建设用地面积为10000平方米，其中底层总面积为3000平方米，除底层之外其余楼层的总面积为22000平方米，那么这块规划建设用地的“容积率”就是. 居住小区的“容积率”一般不超过5，因为规划建设用地的“容积率”越大，就意味着地面上建筑物的总面积也越大，那么居住的人口也相对越多，会降低居民在小区居住的舒适度. （1）（单选题）下列关于“容积率”的表述，错误的为（ ） A.当规划建设用地面积确定时，地面上的建筑物总面积越大，容积率也越大； B. 当地面上的建筑物总面积确定时，规划建设用地面积越大，容积率也越大； C. 房产开发商希望容积率越大越好，这样可出售的面积也越大，收益也越大； D. 住户希望容积率越小越好，这样绿化、公共设施相对较多，小区环境就好. （2）某建筑规划建设用地6400平方米，该建筑的底层总面积为2240平方米. 如果该建筑共10层，2至10层每层的建筑面积均为1800平方米，那么该建筑的容积率为多少？（精确到0.01） （3）①某综合养老社区平面设计方案如图所示，阴影部分的面积为该建筑的底层面积，其中正方形AOGD与正方形OBCG的边长均为60米，OE、OF为120米，求该建筑的底层面积. ②若该养老社区规划建设用地面积为25000平方米，容积率为1.2，计划建造5层，且2至5层面积相同. 为让老人居住舒适，平均每个床位需要12平方米的空间，且底层不安排床位，那么该养老社区总共可以安排多少个床位？ 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 圆和扇形1 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1.下列说法正确的是（ ） A.圆的周长÷圆的直径=圆周率； B.两个奇数一定互素； C.1、2、3、4能组成比例； D.因为4.8÷1.2=4，所以4.8能被1.2整除. 【答案】A； 【解析】解：A、圆周率是圆的周长与圆的直径的比值，故A正确；B、两个奇数不一定互素，如9与15，故B错误；C、1、2、3、4不能组成比例，故C错误；D、因为4.8与1.2不是整数，故D错误；因此答案选A. 2.若圆的半径由3厘米增加到15厘米，则圆的周长增加了（ ） A.4厘米； B.厘米； C. 厘米； D. 厘米. 【答案】C； 【解析】解：旧圆周长为，新圆周长为，所以圆的周长增加了，因此答案选C. 3.一个边长为10厘米的正方形铁丝线圈，若在保持周长不变的情况下把它拉成一个圆，则它的半径为( ) 厘米. A. ； B. ； C. ； D.． 【答案】B； 【解析】解：设圆的半径为r，依题得，解得，因此答案选B. 4.在一个长4cm，宽2cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）. A.9.42; B. 50.24; C 3.14; D. 12.56. 【答案】C； 【解析】解：依题知，此圆的直径为2cm，半径为1cm,则这个圆的面积为，故答案选C. 5. 从甲地到乙地有A，B两条路线，这两条路线经过的路程相比较 ( ） A.路线A远 B.路线B远 C.同样远 D.无法确定 【答案】C； 【解析】解：设B线路中三个小半圆的半径分别为，则A线路中大半圆的半径为，故A线路长为，B线路的长为，故A、B两个线路的长相等.故答案选C. 6.一个圆的半径为r,圆周长为,面积为; 一个半圆的半径为2r,半圆弧长为,面积为,则以下结论成立的是 ( ) (A) (B) (C) (D) . 【答案】A； 【解析】解：根据题意，，因此，故B错误；A正确；又，，故，因此C、D均错误；所以答案选A. 二、填空题 7．直径为6cm的圆周长是_________cm。 【答案】18.84； 【解析】解：直径为6cm的圆周长是. 8.圆的周长是62.8米，这个圆的面积是 平方米 【答案】314； 【解析】解：，m，=314平方米. 9.圆的半径由10厘米减少到6厘米,它的面积减少 平方厘米. 【答案】； 【解析】解：，，它的面积减少了. 10.用一张正方形的纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，如果已知正方形的边长是4厘米，那么这个圆形的面积是 平方厘米. 【答案】12.56； 【解析】解：依题可知圆的半径为2厘米，所以平方厘米. 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、圆的周长与弧长 1.圆的周长：； 2.半圆的周长：； 3.弧长：. 二、圆和扇形的面积 4.圆的面积：; 5.圆环的面积：; 6.扇形的面积：; 7.同圆中的之间的关系：. 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 【考点1】圆的周长与弧长 例题1参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都 ，这个距离就是这个圆的 ． 【答案与解析】解：根据圆的定义，可知：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是这个圆的半径；故答案为：相等；半径. 例题2一个时钟的分针长8cm，经过半个小时后，分针尖端所走过的路程是（ ） A.cm; B. cm; C cm; D. cm. 【答案】C ； 【解析】解：分针经过半小时旋转，故分针尖端走过的路程为cm，故答案选C. 例题3圆的半径为3cm，则该圆的周长是 cm. 【答案】18.84； 【解析】解：因为r=3cm，所以圆的周长为cm. 例题4在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米 【答案】47.1cm； 【解析】解：150°圆心角所对的弧长为：=47.1cm. 【考点2】圆和扇形的面积 例题5一个扇形的弧长是24厘米，半径是4厘米，则扇形的面积是 平方厘米. 【答案】48； 【解析】解：因为弧长cm，半径cm，故扇形的面积为. 例题5如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”那么半径为8的“等边扇形”的面积是________. 【答案】32； 【解析】解：依题，此扇形中. 例题6如图，三角形ABC是直角三角形，AC长为4cm，BC长 为2cm，以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上，则图中阴影部分的面积为________cm2. 【答案】3.85； 【解析】解：观察图形可知，== =3.85. 例题7如图所示，求下图正方形中阴影部分的周长。（结果可保留π） 【答案】122.8； 【解析】解：根据题意得：， cm. 【考点3】综合应用 例题8.我们都学习了扇形的面积，试回忆扇形面积的推导公式，并根据你的理解，回答下列问题：（1）对于一个半径为r，圆心角为的扇形，其面积为 . （2）你认为上述面积公式的推导过程，与下列哪个公式的推导使用了基本相同的办 法 . A.圆的面积公式； B.圆的周长公式； C.平行四边形的面积公式； D.弧长公式. （3）在上述扇形面积的推导过程中，下列哪些知识起着重要作用（有几个写几个） . A.圆的面积公式； B.圆的周长公式； C.弧长公式； D.分数的意义. （4）如果已知一个扇形的弧长为，半径为r，试用和r表示该扇形的面积，并写出简要的推导过程. 【答案与解析】解：（1）；（2）推导扇形面积公式使用的办法是：寻找扇形与其半径相同的圆的面积之间关系来推导扇形的面积计算公式的，而弧长公式是寻找弧与其相同半径的圆周长之间的关系来推导弧长的公式的，方法基本相同；故选D；（3）A、D；（4）结论：；推导：因为，所以. 例题9．正方形ABCD的边长为4厘米.[来源:学科网ZXXK] （1）分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧DE、弧BF与边AB、CD所形成的阴影部分如图1. 求图1阴影部分的面积. （2）以点B为圆心，4厘米为半径的弧AC与以AB、BC为直径的两个半圆所形成的阴影 部分如图2. 求图2阴影部分的面积. （3）若以AB为直径的半圆与三角形ABC的边AC、BC所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积. 【答案】（1）3.44;（2）4.56；（3）4； 【解析】（1）解：= =3.44；（2）解：==4.56 （3）解：=4. 答：略. 【拓展进阶】 30min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 一、选择题（本大题共12题） 1．如图1和2，两个圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）不能确定. 【答案】A； 【解析】解：设两圆的半径为r，如图1，，如图2， ，因为，所以，因此答案选A. 2.如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（ ） A.； B. ； C. ； D.4. 【答案】D； 【解析】解：根据题意，得，故答案选D. 3.若圆的半径由3厘米增加到15厘米，则圆的周长增加了（ ） A.4厘米； B.厘米； C. 厘米； D. 厘米. 【答案】C； 【解析】解：旧圆周长为，新圆周长为，所以圆的周长增加了，因此答案选C. 4.下列说法中正确的是（ ） A.在所有正整数中，除了素数都是合数； B.两个整数的积一定是这两个数的公倍数； C.互为倒数的两个数中一定有一个数大于1； D.圆的面积与它的半径之比是一个不变的常数. 【答案】B； 【解析】解：A、在所有正整数中，除了素数还有合数与1，故A错误；B、两个整数的积一定是这两个数的公倍数；正确；C、互为倒数的两个数中不一定有一个数大于1，如1与1互为倒数，故C错误；D、圆的面积与它的半径之比不是一个常数，但圆的面积与它的半径平方之比是一个常数，故D错误；因此答案选B. 5.一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作S圆、正方形的面积记作S正方形，那么下列说法正确的是（ ） A. S圆>S正方形; B. S圆=S正方形 ; C. S圆<S正方形; D. 不能比较. 【答案】C; 【解析】解：设圆的半径为r，则正方形边长为2r，则，所以.因此答案选C. 6. 从甲地到乙地有A，B两条路线，这两条路线经过的路程相比较 ( ） A、路线A远 B、路线B远 C、同样远 D、无法确定 【答案】C； 【解析】解：设B线路中三个小半圆的半径分别为，则A线路中大半圆的半径为，故A线路长为，B线路的长为，故A、B两个线路的长相等.故答案选C. 7.一个花坛原来的半径长为4米，为了更好的美化环境，将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么花坛的半径长需要扩大（ ） A. 1米； B. 1.5米； C. 2米； D. 3米. 【答案】A； 【解析】解：设花坛的半径需要扩大x米，根据题意得：，解之得r=1或 – 9（舍去），所以答案选A. 8.如图，图中半圆弧长与扇形弧长的大小关系是（ ） A. ； B. ； C. ； D.无法确定. 【答案】A； 【解析】设正方形的边长为a，则，，故，所以答案选A. 9.已知扇形的圆心角小于90度，如果将这个扇形的圆心角扩大为原来的两倍，半径也扩大为原来的两倍，那么下列说法正确的是（ ） A.扇形的周长扩大为原来的4倍； B. 弧长扩大为原来的4倍； C.扇形的面积扩大为原来的4倍； D.弧长和扇形的面积都扩大为原来的4倍. 【答案】B； 【解析】解：设原来的扇形的圆心角为，半径为r，则原来扇形的周长为，原来扇形的面积为，原来扇形的弧长为；那么新的扇形的周长为，故A错误；新扇形的弧长为，故B正确；新扇形的面积为，故C错误；D错误；因此答案选B. 10.如果大圆的周长是小圆周长的4倍，那么小圆面积是大圆面积的（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】C； 【解析】解：设大小圆的半径分别为R、r，则，得，则，即，故答案选C. 11.如图，有两张边长都是4厘米的正方形纸片上，分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆，余下的面积分别为，则（ ） A. ； B. ； C. ； D.不能确定. 【答案】C； 【解析】解：根据题意，得，，故，因此答案选C. 12.如图，线段AB是图中最大的半圆的直径，而、分别是另外五个小的半圆的直径，有两只小虫以相同的速度同时从点A出发，甲虫沿着用实线表示的大的半圆爬行，乙虫沿用虚线表示的五个小的半圆爬行，则下列结论正确的是（ ） A. 甲先到点B； B.乙先到点B； C. 甲、乙同时到点B； D.无法确定. 【答案】C； 【解析】解：设AB=2r, 根据题意，得甲爬行的路程为；乙爬行的路程为=；又两只小虫的爬行速度相同，故甲、乙同时到达点B，故答案选C. 二、填空题（本大题共11题） 13.已知的圆心角所对的弧长为厘米，那么这条弧所在圆的半径等于 厘米. 【答案】10 【解析】解：设这条弧所在圆的半径为r，则，解得r=10cm；故答案为10. 14．如右图，矩形的长是10cm，宽是6cm，则阴影部分周长是 米. 【答案】35.7； 【解析】解：设图中左右两个圆的半径分别为，则cm，所以阴影部分的周长为cm. 15.已知，如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 . 【答案】1.14； 【解析】解：= =. 16.如图，扇形AOB的半径OA=OB=4cm，，分别以OA、OB的中点C、D为圆心，OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米. 【答案】4.56； 【解析】解：如图所示，==. 17.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”那么半径为8的“等边扇形”的面积是________. 【答案】32； 【解析】解：依题，此扇形中. 18. 如图，三角形ABC是直角三角形，AC长为4cm，BC长 为2cm，以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上，则图中阴影部分的面积为________cm2. 【答案】3.85； 【解析】解：观察图形可知，== =3.85. 19.如图，大、小圆的重叠部分面积是大圆面积的，是小圆面积的，如果大圆的半径是5厘米，那么小圆的半径是 厘米. 【答案】； 【解析】解：设重叠部分面积为S，则大圆面积为，小圆面积为，所以，所以大、小圆半径之比为R：r=3：2，故. 20.大、小两个圆的面积之比为16∶1.周长之差为6cm，那么大、小两个圆的面积之和是_________cm2. 【答案】； 【解析】解：设大、小两圆的半径分别为R、r，因为大、小两个圆的面积之比为16：1，则，所以R：r=4:1即R=4r，又周长之差为6cm，所以，所以 ，故两个圆的面积之和为；故答案为. 21.如图，将一张圆形纸片剪开成甲乙丙三个扇形，已知甲扇形的弧长比乙扇形的弧长小，乙扇形的弧长比丙扇形的弧长小，那么最大扇形的圆心角是 度. 【答案】160； 【解析】解：根据题意，得，得，故最长，所以所对的圆心角最大为：，故答案为160. 22.如图，阴影部分是扇形与圆重叠的部分，阴影部分的面积是圆面积的20%，是扇形面积的，则扇形面积是圆面积的 %. 【答案】32； 【解析】解：设重叠部分的面积为S，则扇形的面积为，圆的面积为5S，所以扇形的面积是圆面积的；故答案为32. 23.如图，正方形ABCD的边长为6，分别以点D为圆心，4为半径作弧；以点C为圆心，6为半径张弧. 若图中阴影部分的面积分别为时，则= .（结果保留π） 【答案】13π-36； 【解析】解：根据图形，=. 【过关演练】 20min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1.圆心角为，半径为12厘米的扇形面积是 平方厘米. 【答案】37.68； 【解析】解：平方厘米. 2.一个扇形的半径为6cm，圆心角为60°，那么扇形的弧长为 cm. 【答案】6.28cm； 【解析】解：根据扇形的弧长公式，知=6.28cm. 3.一段弧所在的圆的半径为60，这段弧的长是157，那么这弧所对的圆心角是_________度. 【答案】； 【解析】解：设圆心角为n度，则根据公式，得. 4．如图，从一个正方形顶点A到顶点B共有三条线路：在这三条线路中最短的是线路 （填入“1”，“2”或“3”） 【答案】2; 【解析】解：设正方形的边长为1，则线路1的长度是2；线路2的长度为；线路3的长度为2；故线路2最短. 5.已知，如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 . 【答案】1.14； 【解析】解：= =. 6.如图，长方形的长和宽分别是8cm和4cm，求图中阴影部分的周长. 【答案】20.56厘米； 【解析】解：大弧长为厘米，两个小弧长为，所以图中阴影部分的周长为：厘米. 答：图中阴影部分的周长为20.56厘米. 7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画扇形，求阴影部分的面积. 【答案】； 【解析】解：因为正方形ABCD的边长为1，所以扇形的半径分别1、2、3、4，圆心角为，所以==. 8.如图，正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积与周长.（保留） 【答案】16；； 【解析】解：由题意，得=； .答：阴影部分的面积是16，周长是. 9．如图所示，∠AOB＝90°，∠COB=45°， （1）已知OB=10，求以OB为直径的半圆面积及扇形COB的面积；（结果可保留π） （2）填空：已知阴影甲的面积为6平方厘米，则阴影乙的面积为 平方厘米。 【答案】（1），S扇=；（2）6； 【解析】解：（1） 解：根据题意得： S半圆= , S扇=; （2）如图，由（1）知，S扇=，所以，所以，阴影甲的面积为6，所以阴影乙的面积为6. 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1.下列说法中正确的是（ ） A.在所有正整数中，除了素数都是合数； B.两个整数的积一定是这两个数的公倍数； C.互为倒数的两个数中一定有一个数大于1； D.圆的面积与它的半径之比是一个不变的常数. 【答案】B； 【解析】解：A、在所有正整数中，除了素数还有合数与1，故A错误；B、两个整数的积一定是这两个数的公倍数；正确；C、互为倒数的两个数中不一定有一个数大于1，如：1与1，故C错误；D、圆的面积与它的半径之比不是一个常数，但圆的面积与它的半径平方之比是一个常数，故D错误；因此答案选B. 2.扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ） A.不变； B.扩大为原来的3倍； C.缩小为原来的； D.扩大为原来的9倍. 【答案】A； 【解析】解：设原扇形面积为，则，故不变，选A. 3.一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作S圆、正方形的面积记作S正方形，那么下列说法正确的是（ ） A. S圆>S正方形 ; B. S圆=S正方形 ; C. S圆<S正方形; D. 不能比较. 【答案】C; 【解析】解：设圆的半径为r，则正方形边长为2r，则，所以.因此答案选C. 4.如果长为5cm，宽为4cm的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的面积是（ ） A.； B. ； C. ； D. . 【答案】A； 【解析】解：根据题意，这个最大圆的半径为2cm，故它的面积为，故答案选A. 5.如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（ ） A.； B. ； C. ； D.4. 【答案】D； 【解析】解：根据题意，得，故答案选D. 6．如图1和2，两个圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）不能确定. 【答案】A； 【解析】解：设两圆的半径为r，如图1，，如图2， ，因为，所以，因此答案选A. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 7.如果一个圆的周长为21.98厘米，那么这个圆的半径是 厘米. 【答案】3.5； 【解析】解：根据题意，得，所以厘米. 8.已知一个圆的周长为62.8厘米，那么这个圆的面积为 平方厘米. 【答案】314; 【解析】解：因为已知一个圆的周长为62.8厘米，所以，所以r=10厘米，所以这个圆的面积为100=314. 9.如果圆的半径扩大为原来的3倍，那么该圆的面积扩大为原来的 倍. 【答案】9； 【解析】解：设原来的圆的半径为r，则新圆的半径为3r，故. 10.已知两圆的的半径之比是2：3，那么两圆的周长之比是________. 【答案】； 【解析】解：根据圆周长公式可知：. 11．时钟的分针长6厘米，从10:00到11：00，分针扫过的面积是 平方厘米． 【答案】113.04； 【解析】解：从10：00到11：00一共经历了60分钟，分针旋转的角度为360度，所以分针扫过的面积是以6厘米长为半径的一个圆的面积，故. 12.扇形的半径为5cm，面积是15.7，那么扇形的周长是 （取3.14）. 【答案】16.28cm； 【解析】解：根据扇形面积公式得，故扇形的周长为=16.28cm. 13.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.那么这个扇形的圆心角度数为 .（精确到0.1） 【答案】; 【解析】解：因为，所以. 14. 如图，某数学兴趣小组将正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心, AB为半径的扇形，则扇形的圆心角∠DAB的度数是________度（保留一位小数）. [来源:学科网] 【答案】114.6； 【解析】解：设正方形的边长为1. 根据题意，得扇形的弧长为= 2，半径为1，圆心角，所以由得. 15．如右图，矩形的长是10cm，宽是6cm，则阴影部分周长是 厘米. 【答案】35.7； 【解析】解：设图中左右两个圆的半径分别为，则cm，所以阴影部分的周长为cm. 16.如图，扇形AOB的半径OA=OB=4cm，，分别以OA、OB的中点C、D为圆心，OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积 为 平方厘米. 【答案】4.56； 【解析】解：如图所示，= =. 三、解答题（本大题共6题，第17~19题每题8分，第20~21题每题9分，第22题10分，满分52分） 17.已知半圆的直径CD=12cm，如图所示，弧DE所对的圆心角∠ECD=30°，求阴影部分的周长. 【答案】37.12cm； 【解析】解：如图所示，阴影部分的周长包括半圆的弧长、扇形的弧长与扇形的半径CE之和，所以===37.12厘米. 答：阴影部分的周长为37.12厘米. 18．如图，请度量出需要的数据，并计算阴影部分的面积． 【答案】； 【解析】解：测量可得半圆半径为2cm，扇形半径为4cm． S半圆＝3.14×22÷2＝6.28cm2， S扇形＝3.14×42÷4＝12.56cm2， S阴影＝12.56−6.28＝6.28 cm2 ． 19.如图所示，正方形的边长为2，求阴影部分的周长与面积. 【答案】周长6.71；面积0.645； 【解析】解：（1）；；；所以；（2），； ，，所以. 20.有一个著名的希波克拉蒂月牙问题.如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）.已知直径AC为4,直径BC为3,直径AB为5. （1）分别求出三个半圆的面积（结果保留π）； （2）请你猜测，这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系，请写出你的猜想，并通过计算说明。 【答案与解析】解：以AB为直径的半圆：；以AC为直径的半圆：；以BC为直径的半圆：；（2）两个月牙形的面积之和等于三角形ABC的面积（或）. ，， ，所以 21．如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形． ① 甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ② 乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③ 丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙． （1）请你直接写出S甲= ．（结果保留π） （2）请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上：_________________． （3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得S丙＝_______________．（结果保留π） 【答案】（1）S甲＝;（2）S甲＝2 S乙;（3）S丙＝. 【解析】解：（1）S甲＝ ＝;（2），所以S甲＝2 S乙;（3）S丙＝. 22.阅读材料：在房屋建造的过程中，我们常会见到“容积率”这个名词. “容积率”（floor area ratio），是批规划建设用地地面上的建筑物总面积与规划建设用地面积之比，其结果一般用整数或小数表示. 比如一块规划建设用地面积为10000平方米，其中底层总面积为3000平方米，除底层之外其余楼层的总面积为22000平方米，那么这块规划建设用地的“容积率”就是. 居住小区的“容积率”一般不超过5，因为规划建设用地的“容积率”越大，就意味着地面上建筑物的总面积也越大，那么居住的人口也相对越多，会降低居民在小区居住的舒适度. （1）（单选题）下列关于“容积率”的表述，错误的为（ ） A.当规划建设用地面积确定时，地面上的建筑物总面积越大，容积率也越大； B. 当地面上的建筑物总面积确定时，规划建设用地面积越大，容积率也越大； C. 房产开发商希望容积率越大越好，这样可出售的面积也越大，收益也越大； D. 住户希望容积率越小越好，这样绿化、公共设施相对较多，小区环境就好. （2）某建筑规划建设用地6400平方米，该建筑的底层总面积为2240平方米. 如果该建筑共10层，2至10层每层的建筑面积均为1800平方米，那么该建筑的容积率为多少？（精确到0.01） （3）①某综合养老社区平面设计方案如图所示，阴影部分的面积为该建筑的底层面积，其中正方形AOGD与正方形OBCG的边长均为60米，OE、OF为120米，求该建筑的底层面积. ②若该养老社区规划建设用地面积为25000平方米，容积率为1.2，计划建造5层，且2至5层面积相同. 为让老人居住舒适，平均每个床位需要12平方米的空间，且底层不安排床位，那么该养老社区总共可以安排多少个床位？ 【答案】（1）B；（2）2.88；（3）①11808平方米；②1516个； 【解析】解：（1）B；（2）125≈2.88；（3）①（平方米）；（平方米）；所以（平方米）；答：该建筑的底层面积为11808平方米；②1.2×25000=30000平方米；个；答：该养老社区共可以安排1516个床位. 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$