“倍长中线模型”专题训练-2024-2025学年华东师大版八年级数学上册期末复习必刷专题训练

“倍长中线模型”专题训练 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D为的中点，若，．则可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 3．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是( 　　) A．， B．， C．， D．， 4．中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=(     ).    A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 7．如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 8．在中，点是中点，连接，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 10．如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图所示，则中，，，则边上的中线长的取值范围是 ． 12．是的边上的中线，，，则边的取值范围是 ；中线的取值范围是 ． 13．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ． 14．在中，若，，则中线的最小整数值是 ． 15．在中，若，则中线的最大整数值是_________． 16．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 17．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 18．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 19．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 20．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 三、解答题 21．如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 22．（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 23．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 24．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中一组全等三角形_______________； （2）如图2，是的中线，若，设，则x的取值范围是_________． 【理解与应用】 （3）如图3，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 25．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据SAS可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．） 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，， 试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ “倍长中线模型”专题训练 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 延长到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接，则， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，D为的中点，若，．则可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故选：D． 3．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是( 　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 4．中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】延长至点，使得，连接，证明，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴, ∴， 在中，由 得：， ∴, ∵的长度为奇数， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 6．如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=(     ).    A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】C 【分析】延长AD，使DG=AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=7.5，即可求EF的长． 【详解】解：如图，延长AD，使DG=AD，连接BG，    ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，且DG=AD，∠ADC=∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G， ∵EF=AF， ∴∠DAC=∠AEF， ∴∠G=∠AEF=∠BEG， ∴BE=BG=7.5， ∴6+AF=BG=7.5， ∴AF=1.5=EF， 故选择：C． 7．如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用三角形的三边关系求得的范围，再进行选择即可． 【详解】解：延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 只有选项A符合要求， 故选：A 8．在中，点是中点，连接，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键．延长至点，使得，连接，可证，可得，根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接， 点是中点， ， 又， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， ． 故选：C． 9．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选：A． 10．如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】作，证、即可求解． 【详解】解：作，如图：    ∵ ∵， ①无法推出，故①错误；②正确； ③∵ 且 ∴ 故③正确； ④∵为中线 ∴ 故④正确； ⑤ 故⑤正确； 故选：D 二、填空题 11．如图所示，则中，，，则边上的中线长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题．本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ， 在中， ∴， ， ∴．故答案为：． 12．是的边上的中线，，，则边的取值范围是 ；中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系．边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解；而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】解：如图所示， 在中，则， 即，则， 延长至点E，使，连接， ∵是的边上的中线， ∴， 又，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴，即， ∴． 故答案为：，． 13．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ． 【答案】120° 【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解． 【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N 如图所示，此时△AMN的周长最小 ∵∠ABM=90° ∴∠EBM=90° 在△AMB和△EMB中 ∴△AMB≌△EMB ∴∠BEM=∠BAM ∴∠AMN=2∠BAM 同理可得：△AND≌△FDN ∴∠NAD=∠NFD ∴∠ANM=2∠NAD 设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y ∵∠BAD=120° ∴ 解得： 即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°． 故答案为：120°． 14．在中，若，，则中线的最小整数值是 ． 【答案】2 【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC， ∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE=AB， ∵AB=5，AC=7，CE=5， 设AD=x，则AE=2x， ∴2＜2x＜12， ∴1＜x＜6， ∴1＜AD＜6． 最小整数解为 故答案为：． 15．在中，若，则中线的最大整数值是_________． 【答案】5 【分析】延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ∴中线的最大整数值是5．故答案为：5． 16．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ．故答案为： 17．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 18．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是；故答案为：． 19．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形三边关系，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 20．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 21．如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系． （1）延长到，使，连接，再由为中点得到，夹角为对顶角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，在三角形中，利用三角形三边关系即可得证； （2）根据与的长，利用由三角形的三边关系，求出的范围即可． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中点， ， 又， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，即． 22．（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、全等三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）取中点，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由“”可证，可得，，进而可得，对顶角相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，取中点，则，连接， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ，即． 23．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的中线 ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至，使， 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， . ， ， ． 24．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中一组全等三角形_______________； （2）如图2，是的中线，若，设，则x的取值范围是_________． 【理解与应用】 （3）如图3，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据是的中线，得，再结合，通过定理证明； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长到，使，连接，证明三角形全等可得，，得，由此可得结论； 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，中线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的中线， ， 在和中， ， ； 故答案为：； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是：； 故答案为：； （3）解：延长到，使，连接，如图②所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 25．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据SAS可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．） 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，， 试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，再进一步证明，即可证明结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图2，延长至点，使得，连接，则， ∵是的中点 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∴ （3）， 理由：如图3，延长交于点，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知，//， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$