精品解析：四川省宜宾市第二中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

宜宾市二中2024年秋期八年级12月教学质量监测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 有理数25的平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，他们互为相反数即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴有理数25的平方根是， 故选：D． 2. 下列各数：0.456，，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次根式化简，再根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：∵，． 无理数有，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，共有3个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，无限不循环小数是无理数是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、合并同类项．根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、合并同类项法则计算即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率频数总数进行求解即可． 【详解】解：∵一共有14个字，其中“强”字一共出现了3次， ∴“强”字出现的频率为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求频率，熟知频率频数总数是解题的关键． 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在代著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 5，10，13 D. 12，16，20 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】A、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，不是正整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足，但不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可． 【详解】解：在A中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题； 在B中，，，不满足，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题； 在C中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题； 在D中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值能说明该命题为假命题； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反例的应用，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立． 7. 如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 【详解】解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A. 20 B. 4 C. 10 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点， 过作交的延长线于， 则四边形是矩形， ，， 连接，则即为最短距离， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，， 在中，． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 9. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交于点P，连接，则的度数为（　　） A. 60° B. 55° C. 50° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角性质，先根据三角形外角性质求出，由作图得到，推出是等边三角形，由此得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 延长至H，使，证，，设正方形边长为a，根据全等三角形的性质及勾股定理即可求得正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：延长至H，使，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∵，， ∴，， 在中， ， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11. 如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：设ED=x，则AE=6-x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDB=∠DBC； 由题意得：∠EBD=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴EB=ED=x； 由勾股定理得： BE2=AB2+AE2， 即x2=9+（6-x）2， 解得：x=， ∴ED=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答． 12. 如图，在中，是的高，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到平分，，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用可判断，从而得到与不全等，于是可对②进行判断；由得到，而，所以，接着证明，则利用三角形外角性质可对③进行判断；连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理得到，然后利用等线段代换可对④进行判断． 【详解】解：∵，，是的高， ∴平分，， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，所以①正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴与不全等，所以②错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，所以③正确； 连接，如图， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∵，， ∴，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式：x3y﹣4xy＝_____． 【答案】xy(x+2)(x－2) 【解析】 【详解】原式=. 故答案为. 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将进行变形为后，再代入计算即可． 【详解】解：将原式变形可得到：， ∵，， ∴原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是积的乘方与幂的乘方，熟知同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则是解此题的关键． 15. 如果，那么________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数，负整数指数幂运算， 根据二次根式有意义的体积可得、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， 故答案为：． 16. 如图，中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据中垂线的性质，可得，则的周长为，即可求得的长． 【详解】∵的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴． 故答案为：4． 17. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当______时，是直角三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，分和两种情况然后根据直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点的运动时间为， ∴，， ∵是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∴， ∴，得， 解得：； 当时， ∴， ∴，得， 解得：； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形， 故答案为：或． 18. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别，，，若，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设其中一个直角三角形的面积为x，则，，再根据，可得答案． 【详解】解：设其中一个直角三角形的面积为x， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴的值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意：在试题卷上作答无效） 19. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】0， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算以及因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据算术平方根、立方根的性质计算即可求解； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题中主要考查整式的化简求值，根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 21. 如图：，于，于，．求证： （1） （2） 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键； （1）利用题中的垂直关系，借助即可证明，结合全等三角形的性质即可得到结论； （2）证明得，根据平行线判定定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 证明：由（1）得， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 22. 某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督、社区服务四个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取部分学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下不完整的统计图． （1）求扇形统计图中文明宣传所在扇形的圆心角度数； （2）求选择交通监督的学生人数，并补全统计图； （3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择社区服务的学生人数． 【答案】（1） （2）30人，补全图形见解析 （3）该校选择社区服务的学生人数为750人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，补画条形统计图，求扇形统计图中圆心角度数，用样本估计总体，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． （1）先由条形统计图的社区服务的人数除以扇形统计图中社区服务的百分比，得出总人数，再由条形统计图得出文明宣传的人数，除以总人数得出文明宣传的百分比，然后乘以即可求出扇形统计图中文明宣传所在扇形的圆心角度数； （2）用学生总人数减去文明宣传、环境保护、社区服务三个志愿者队伍学生人数即可得出交通监督志愿者队伍的学生人数，进而补全折线图； （3）用2500乘以样本中社区服务的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数：（人）， ． 【小问2详解】 解：交通监督人数为：（人）， 补充条形图如图： 【小问3详解】 解：（人） 该校选择社区服务的学生人数为750人． 23. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】（1）见解析， （2）， （3），过程见解析． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； 【小问2详解】 解：设， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， （千米）， 答：新路比原路少千米； 【小问3详解】 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． ． 24. 【探究】 若x满足，求的值． 设，则， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，则的值为　　； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）5；（2）；②12 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设， 则， ； （2）①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形面积是 8 ， ， 阴影部分面积， 设， 则， ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是 12 ． 25. 已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N． （1）证明：BM＝CN． （2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数； （3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）35°（3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN； （2）根据角平分线的性质得到DM=DN，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=40°，于是得到结论； （3）先根据，求得，进而在中根据相等，勾股定理可得的值，进而求得4DN2﹣BC2的值． 【详解】（1）证明：连接BD，DC，如图所示： ∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN， ∵DE垂直平分BC， ∴DB=DC， 在Rt△DMB和Rt△DNC中， ， ∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）， ∴BM=CN； （2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN， ∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN， 在Rt△DMA和Rt△DNA中， ∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL）， ∴∠ADM=∠ADN， ∵∠BAC=70°， ∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°， ∵∠BDM=∠CDN， ∴∠BDC=∠MDN=110°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠EDC=∠BDC=55°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=35°， ∴∠DCB=35°． （3） Rt△DMA≌Rt△DNA 设，AB＝8，AC＝4，DE＝3， 解得 即 在中 4DN2﹣BC2 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜宾市二中2024年秋期八年级12月教学质量监测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 有理数25的平方根是（ ） A B. C. 5 D. 2. 下列各数：0.456，，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在代著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 5，10，13 D. 12，16，20 6. 对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如果三个连续整数n、、和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A. 20 B. 4 C. 10 D. 2 9. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交于点P，连接，则的度数为（　　） A. 60° B. 55° C. 50° D. 40° 10. 如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 11. 如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 12. 如图，在中，是的高，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式：x3y﹣4xy＝_____． 14. 若，，则的值为______． 15. 如果，那么________________． 16. 如图，中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为___________． 17. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当______时，是直角三角形． 18. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别，，，若，则的值是 _____． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意：在试题卷上作答无效） 19. （1）计算：； （2）分解因式：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图：，于，于，．求证： （1） （2） 22. 某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督、社区服务四个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取部分学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下不完整的统计图． （1）求扇形统计图中文明宣传所在扇形的圆心角度数； （2）求选择交通监督的学生人数，并补全统计图； （3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择社区服务的学生人数． 23. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 24. 【探究】 若x满足，求的值． 设，则， ； 【应用】 请仿照上面方法求解下面问题： （1）若x满足，则的值为　　； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 25. 已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N． （1）证明：BM＝CN． （2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB度数； （3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$