精品解析：北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高一上学期阶段练习二（12月）数学试题

北京师范大学附属实验中学 2027届高一上学期数学阶段练习二 2024.12.10 班级______姓名______学号______ 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以，又， 所以. 故选：A 2. 某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意可得样本中高二学生的人数为（人）. 故选：B 3. 若函数与的图像关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】因为函数与的图像关于直线对称， 所以，所以. 故选：B. 4. 已知函数，在下列区间中，一定存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，， 所以，所以在区间上存在唯一零点. 故选：C 5. 记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性可得，，，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，又，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 因为在上单调递增，，所以 所以. 故选：D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数在上单调递增，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，结合为增函数，可得， 由，结合为增函数，可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 7. 有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1，两面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记第一次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，记第二次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，可得两次掷出点数之和为奇数为事件，利用并事件与互斥事件的概率公式可求概率. 【详解】记第一次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，则， 记第二次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，则， 则两次掷出点数之和为奇数为事件， 所以 . 故选：A. 8. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出相应的的值，即可画出的图象，数形结合求出的最值，即可得解. 【详解】由，即，解得或， 所以， 当时，，所以， 当时，令，即，解得，， 则的图象如下所示： 因为函数在上的值域为， 当，（或，）时取得最小值， 即； 当，时取得最大值， 即； 所以的取值范围是. 故选：D 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】对于函数，令，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 10. 若，，…，的平均数为5，方差为4，则，，…，的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平均数与方差的性质即可得解. 【详解】因为，，…，的平均数为5，方差为4， 所以数据，，…，的平均数为：， 方差为. 故答案为：；. 11. 已知函数，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得，可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 12. 已知定义在上的偶函数满足：在上为单调函数，，，若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质得到，即可得到的单调性，根据偶函数的性质及单调性得到，解得即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上为单调函数，，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 不等式，即，所以， 即或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 13. 已知幂函数在上单调递减. ①的值为______； ②记，，若，则的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性得到，求出，即可得到函数解析式，由函数的单调性求出集合，再根据，得到或，即可得解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得； 因为在上单调递减， 又，， 则， 因为，所以或，解得或， 即的取值范围是. 故答案为：； 14. 函数（且）.给出下列四个结论： ①当时，的值域为； ②当时，恰有两个零点； ③若存在最大值，则的取值范围是； ④若存在三个互不相等实数，使得，且，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，直接说明即可；对于②，对分段函数的两段分别研究零点即可；对于③和④，对分类讨论结合图象变化即可得到取值范围. 【详解】设，则； 设，当时，单调递减； 当时，单调递增；且. 令，解得或. 结论①，当时，. 此时，故①错误； 结论②，当时，由于在上单调递增，且， 故在上恰有一个零点. 而在上有， 由在单调递增，在单调递减， 且， 令，可得，可知在上有且仅有一个零点. 综上可知，当时，恰有两个零点，故②正确； 结论③，当时， 由于在上单调递减，且， 当时， 故当时，无最大值（如图1），不满足题意； 当时， 当时，由于在上单调递增，且，； 当时，由在单调递增，在单调递减， 故； 由，故当时， 故当时，存在最大值（如图2），满足题意； 当时， 当时，由于在上单调递增，且，； 当时，由在单调递减， ，且当时，故在不存在最大值； 可知当时，无最大值（如图3），不满足题意； 同理结合函数单调性与图象可知， 当时， 无最大值（如图4），不满足题意； 当时，，存在最大值1（如图5），满足题意； 当时，存在最大值1（如图6），满足题意； 综上所述，若存在最大值，则的取值范围是即③正确； 结论④，存在三个互不相等实数，使得， 可转化为函数的图象与直线有三个不同的交点， 不妨设，. 当时， 结合图象（如图）可知， 当时，函数的图象与直线有三个不同的交点， 且，，则，故满足题意， 故当时，满足题意； 当时，，且， 结合图象（如图）可知， 当时，函数的图象与直线有三个不同的交点， 但，，则，故不满足题意； 当时，函数的图象与直线有三个不同的交点， 且，，则， 故当时，满足题意； 当时，，且， 结合函数的单调性与图象（如图）可知， 当时，函数的图象与直线有三个不同的交点， 但，，则，故不满足题意； 同理结合图象（如图，③中图，图，图，图）可知， 当时，函数图象与直线至多两个交点，故不满足题意. 综上所述，的取值范围是，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于数形结合思想的应用.根据分段函数的两段图象变化进行适当的分类讨论，如③通过函数图象两段最值的变化探究函数的最大值；如④则转化为函数的图象与直线的交点个数研究. 三、解答题（共44分） 15. 现有大小相同的红球和白球各两个，若在其中随机抽取（不放回）两个球. （1）求所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率； （2）求所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记两个红球为，，两个白球为，，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）找出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记两个红球为，，两个白球为，， 从中随机抽取（不放回）两个球，则可能结果有，，，，，共个， 恰有一个为红球的有，，，共种情况， 所以所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率. 【小问2详解】 所抽的两个球中，至少有一个为红球有，，，，共种情况， 所以所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率. 16. 为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. （1）求，的值； （2）求样本中在内的频数； （3）若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图及直方图的性质得到方程组，解得即可； （2）首先求出，即可求出频数； （3）求出，从而估计人数. 【小问1详解】 依题意，， 又，且，， 解得，，； 【小问2详解】 因为， 所以样本中在内的频数为； 【小问3详解】 因为， 所以根据样本数据估计全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数约为（人）. 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 又， 所以函数是定义在上的奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可证明； （2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 不等式，即，即，即， 解得， 所以的取值范围为. 18. 已知函数（且）. （1）当时，求的最大值； （2）若对任意，均有，求的最大值； （3）若对任意，均有，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法可求的最大值； （2）参变分离可得，均有，变形利用基本不等式可求得的最小值，从而可得的最大值； （3）令，令，对分类讨论求得值域，可得所满足的条件，进而可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最大值为1 【小问2详解】 因为，所以， 由题“”即：“，均有” 当且仅当时等号成立，故，即的最大值为4 【小问3详解】 令，则，令， ①当时，由，则，则在上单调递减， 又， 所以，依题意，故； ②当时，由，则， 1）当时，在上单调递减， 所以恒成立，符合题意； 2）当时，在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，故， 综上可得，的取值范围是. 【附加题】 19. 若函数的定义域为，且满足，则称为“函数”. （1）分别判断下列函数是否为“函数”；（直接给出结论） ①；② （2）若“函数”在上单调递增，且，求的取值范围； （3）若“函数”满足：当时，，且在上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1）①是“函数”，②不是“函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①是“函数”；②不是“函数”，利用“函数”的定义判断即可. （2）利用已知可证在上单调递增，进而由单调性可得，求解即可； （3）①当时，利用，②当时，利用“函数”，可求值域，③当时，，根据值域为，只需，求解即可. 【小问1详解】 ①是“函数”；②不是“函数”. 理由如下：①，又函数的定义域为，所以为“函数”. ②，故不是“函数”. 【小问2详解】 先证：在上单调递增. 任取，且 ①若，由于在上单调递增，则 ②若，则，由于在上单调递增，则，结合“函数”定义，有即在上单调递增 ③若，由①②，则有， 故在上单调递增 ， 由于在上单调递增，因此， 即，解得， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 ①当时：， ，当且仅当时，等号成立 ，当且仅当时，等号成立 故，当且仅当时，等号成立， 所以，在上的最大值为 进而，在上的值域为； ②当时，的取值范围是， 由“函数”的定义，的取值范围是， 即在上的值域为； ③当时，，即 因此，在上的值域为 若使其为，只需，而，解得， 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：3小问，当，关键在于利用，利用二次函数与基本不等式求得最大值，从而求得值域，利用新定义求得的值域，进而解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属实验中学 2027届高一上学期数学阶段练习二 2024.12.10 班级______姓名______学号______ 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 若函数与的图像关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知函数，在下列区间中，一定存在零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 记，，，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1，两面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 函数的定义域为______. 10. 若，，…，的平均数为5，方差为4，则，，…，的平均数为______；方差为______. 11. 已知函数，若，则______. 12. 已知定义在上的偶函数满足：在上为单调函数，，，若，则的取值范围是______. 13. 已知幂函数在上单调递减. ①的值为______； ②记，，若，则的取值范围是______. 14. 函数（且）.给出下列四个结论： ①当时，的值域为； ②当时，恰有两个零点； ③若存在最大值，则的取值范围是； ④若存在三个互不相等实数，使得，且，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题（共44分） 15. 现有大小相同的红球和白球各两个，若在其中随机抽取（不放回）两个球. （1）求所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率； （2）求所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率. 16. 为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. （1）求，的值； （2）求样本中在内的频数； （3）若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若，求的取值范围. 18. 已知函数（且）. （1）当时，求的最大值； （2）若对任意，均有，求的最大值； （3）若对任意，均有，求的取值范围. 【附加题】 19. 若函数的定义域为，且满足，则称为“函数”. （1）分别判断下列函数是否为“函数”；（直接给出结论） ①；② （2）若“函数”在上单调递增，且，求的取值范围； （3）若“函数”满足：当时，，且在上的值域为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $