精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市讷河市2024-2025学年九年级上学期期末教学质量测查数学试卷

2024-2025学年度上学期期末教学质量测查 九年级数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题 （每小题3分，满分30分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为的整式方程是一元二次程；据此进行逐一判断，即可解题． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是一元三次方程，不符合题意； C、中若时，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A：图形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形； B：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形； C：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形； D：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，绕对称中心旋转180°后能与原图形重合是中心对称图形，熟知其概念是解题的关键． 3. 把拋物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的平移规律计算即可． 【详解】∵拋物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴得到的抛物线的解析式为． 故选：B． 4. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，连接． 若点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质得，，根据等边对等角得，再通过平行线的性质及三角形外角的性质即可得出结论．解题的关键是会确定旋转角． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，点在上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据题意得，得关于m的方程，解之即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 故选：C． 6. 在中，，，，M是的中点，以点C为圆心，2为半径作，则（ ） A. 点在上 B. 点在外 C. 点在内 D. 点与的位置关系不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，点与圆的位置关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用勾股定理求出，再结合直角三角形性质得到，最后根据点到圆心的距离与半径的数量关系判断到点与圆的位置关系判断，即可解题． 【详解】解：，，， ， M是的中点， ， 以点C为圆心，2为半径作，且， 点在外， 故选：B． 7. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为x，某种商品原来每件售价为512元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为392元，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意， ， 故选：C． 8. 如图，在圆内接四边形中，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，四边形中，，，，若连接，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形．延长至点，使得，证明，进而推出为等边三角形，过点作于点，利用等边三角形性质和勾股定理求出，再根据四边形的面积求解，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 过点作于点， ， ， 四边形的面积， 故选：D． 10. 如图，抛物线对称轴为，且过点，顶点在第一象限．给出以下结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，正确的结论有（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质“左同右异”，可判断结论①；利用二次函数对称性，及二次函数与轴的交点情况，可判断结论②；由处函数值，结合对称轴可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：抛物线对称轴为，开口向下， 且,则， ， 故①正确； 抛物线过点，又对称轴为， 抛物线还过点， ， 故②正确； 对称轴为， ，即， 抛物线过点， ，即， 故③错误； 抛物线顶点在第一象限，， 抛物线开口向下，即点离对称轴越近，函数值越大， 、（其中）是抛物线上的两点，且， 当，在对称轴两侧时，有， 即， 当，同在对称轴右侧时，有， 即， 即④正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的高为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，勾股定理，根据圆锥的侧面积推出底面圆的半径，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：由题知，底面圆的周长为， 底面圆的直径为，半径为， 这个圆锥的高为， 故答案为：． 13. 若是关于x的方程的解，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：把代入方程得，即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，分别与相切于三点，若，，，则线段的值为________________________cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解． 【详解】解：解： ， ， 、，分别与相切于、、， ，，，， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长______米． 【答案】####2.25 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立平面直角坐标系，设二次函数顶点式，求出二次函数解析式，再求出抛物线与y轴交点坐标即可． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 令，得， 故答案为：． 16. 的直径垂直于弦，垂足为E，，，F为上一点，，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出草图，利用垂径定理得到，，结合等腰三角形性质推出，再利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而得到，，利用勾股定理求出，再分类讨论求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下： 连接， 的直径垂直于弦，垂足为E， ，， ， ，， ， ， ， ， ， F为上一点，， ， 当、在点同侧时，， 当、在点异侧时，， 的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，等腰三角形性质，勾股定理熟练掌握垂径定理是解题关键． 17. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，规律问题，利用等边三角形的性质，探究边长为，然后得到与都在第三象限，即可求出坐标. 【详解】解：由题意 , ， ∴的边长， ， 与都在第三象限，坐标为 故答案为： ． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解： ，， 解得，． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根建立不等式求解，即可解题； （2）根据结合条件建立方程求解，并结合（1）的取值范围判断，即可解题． 【小问1详解】 解：有两个不相等的实数根，， ， 即， 整理得， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 解得， ， ． 20. 某班计划从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次跳绳比赛，班主任决定用随机抽取的方式确定人选． （1） “随机抽取2人，甲、丁恰好被抽中”是（ ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 （2）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是________； （3）任意选取2名学生参加比赛，用画树状图的方法求一定有乙的概率________． 【答案】（1）C （2） （3）树状图见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，简单随机事件的概率，画树状图的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握相关知识是解本题的关键． （1）根据不可能事件、必然事件、随机事件相关概念判断，即可解题； （2）利用概率公式求解，即可解题； （3）根据题意画出树状图得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：“随机抽取2人，甲、丁恰好被抽中”是随机事件， 故选：C． 【小问2详解】 解：甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 总共有种情况，其中一定有乙的情况有种， 一定有乙的概率为． 故答案为：． 21. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理等，结合图形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连结，根据等边对等角及平行线的性质得出，再由切线的判定即可证明； （2）过点作于点，则，再由矩形的性质及垂径定理得出，结合图形，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连结， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 过点作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，由勾股定理，得， 故的半径为． 22. 某超市以每件10元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）请你直接写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式； （2）若该超市每天销售这种商品所获利润为750元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多 【答案】（1） （2）销售单价应定为元 （3）销售单价定为元时，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为，结合图形利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程求解，即可解题； （3）根据“每天利润每件利润每天的销售量”得到利润的表达式，再结合二次函数最值求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为， 由图知过点，， ， 解得， 每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：该超市每天销售这种商品所获利润为750元， ， 整理得， 解得或， 销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元， ， 销售单价应定为元． 【小问3详解】 解：利润 ， ， 当时，利润最大，最大利润为元． 即销售单价定为元时，最大利润为元． 23. 综合与实践 问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F． 解决问题： （1）四边形是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 （2）若，，则四边形的面积为________； 深入探究： （3）将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E、B的对应点分别为点G、H． ①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段、交于点M、N．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线直线交于点N．若，，则线段的长度为________． 【答案】（1）B；（2）；（3）①，理由见解析；②或 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质，结合题干条件，即可判断四边形的形状； （2）利用含30度的直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，进而结合菱形性质得到，最后根据矩形面积公式求解，即可解题； （3）①理由旋转的性质和菱形的性质证明，，进而得到，再利用线段的和差求解，即可解题； ②过点A作于点Q，分情况讨论当在线段上时，利用勾股定理求出，利用菱形的性质证明，得到，再结合旋转的性质得到，并证明四边形为正方形，得到，根据求解即可，当在延长线上时同理可得，，根据求解，即可解题． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ， 于点E， 于点F， ， ， 四边形是矩形； 故选：B； （2），， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：． （3）①，理由如下： 绕点A逆时针旋转，得到， ，，，， ， 四边形是菱形， ，， 为菱形的对角线， ， ， 又，， ， ， ， ， 即； ②过点A作于点Q， 当在线段上时； ，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，，，， ， ， 四边形为正方形， ， ； 当在延长线上时； 同理可得，，， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，含30度的直角三角形性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键． 24. 综合与探究 如图，抛物线与y轴交于点D，与某一次函数的图象交点为，，连接，． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点B是x轴上的动点，连接，当时，求点B的坐标； （3）点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E的坐标； （4）若抛物线与x轴正半轴的交点为M，F为抛物线对称轴上一点，则的最大值为________． 【答案】（1）， （2）或 （3）点E的坐标为或或 （4） 【解析】 【分析】（1）结合题意利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式，进而当时，求出函数值，即可得到点D的坐标； （2）根据题意得到，设，结合建立等式求解，即可解题； （3）根据点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，分情况①当、为边时，②当为对角线、为边时，③当为对角线、为边时，结合平行四边形性质，已经全等三角形性质和判定求解，即可解题； （4）由二次函数解析式及对称性得到函数对称轴，点坐标，以及点关于对称轴对称的点为点，结合对称的性质得到，当、、三点共线时，最大，即时取最大值，最后结合勾股定理求出，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线与某一次函数的图象交点为，， ， 解得， ， 当时，， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， 设， ， ， 解得， ， 点的坐标为或； 小问3详解】 解：以点A，D，C，E为顶点四边形是平行四边形， ①当、为边时， 有，且， 此时坐标为， ②当为对角线、为边时， 有，且， 此时坐标为， ③当为对角线、为边时， 有，且， 作轴于点， ， ， ，， ， ，， ， 此时坐标为， 综上所述，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为或或； 【小问4详解】 解：， 对称轴为直线， ，点与点关于直线对称， ， 点关于直线对称的点为点，且F为抛物线对称轴上一点， 连接，，有， 当、、三点共线时，最大， 即时取最大值， ， 则的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数与面积综合，平行四边形性质，全等三角形性质和判定，对称的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，灵活利用数形结合、分类讨论的数学思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末教学质量测查 九年级数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题 （每小题3分，满分30分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把拋物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，连接． 若点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，M是的中点，以点C为圆心，2为半径作，则（ ） A. 点在上 B. 点在外 C. 点在内 D. 点与的位置关系不能确定 7. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在圆内接四边形中，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，，若连接，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线对称轴为，且过点，顶点在第一象限．给出以下结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 在函数中，自变量取值范围是_____． 12. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的高为_____． 13. 若是关于x的方程的解，则的值为_____． 14. 如图，分别与相切于三点，若，，，则线段值为________________________cm． 15. 如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长______米． 16. 的直径垂直于弦，垂足为E，，，F为上一点，，则的长为_____． 17. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为_____． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 20. 某班计划从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次跳绳比赛，班主任决定用随机抽取的方式确定人选． （1） “随机抽取2人，甲、丁恰好被抽中”是（ ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 （2）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是________； （3）任意选取2名学生参加比赛，用画树状图的方法求一定有乙的概率________． 21. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 某超市以每件10元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）请你直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式； （2）若该超市每天销售这种商品所获利润750元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多 23. 综合与实践 问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F． 解决问题： （1）四边形是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 （2）若，，则四边形的面积为________； 深入探究： （3）将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E、B的对应点分别为点G、H． ①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段、交于点M、N．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线直线交于点N．若，，则线段的长度为________． 24. 综合与探究 如图，抛物线与y轴交于点D，与某一次函数的图象交点为，，连接，． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点B是x轴上动点，连接，当时，求点B的坐标； （3）点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E的坐标； （4）若抛物线与x轴正半轴交点为M，F为抛物线对称轴上一点，则的最大值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$