精品解析：河南省驻马店市汝南县天中山中、双语学校联考2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末测试卷 八年级数学（RJ） 测试范围：全册 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 少年的一根头发的直径大约为0.0000412：米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 6. 如果点和点关于x轴对称，则的值是（ ）． A. B. 1 C. D. 5 7. 四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（　　） A. x=y B. x=2y C. x=y+180 D. y=x+180 8. 如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13.5 9. 如图，正方形中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 10. 在和中，，已知，则的度数是（ ） A. 30° B. C 或 D. 30°或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，若∠CAD＝20°，则∠B＝_____． 13. 若是完全平方式，则=______． 14. 如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为______． 15. 如图，，，点C在射线AN上，，当x的取值范围是__________时，的形状、大小是唯一确定的． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 17. （1）分解因式：； （2）分解因式：． （3）解方程：． 18. 先化简，再求值． （1），其中． （2），其中． 19. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 20. 如图，已知． （1）用直尺和圆规作图，在边上作出一点P，使； （2）连接，若，求的度数． 21. 如图，，为中点，过点作直线分别交射线、于点、（分别不与点、重合），设． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求的度数． 22. 某 校 计 划 购 买两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台． （1）求型仪器单价分别多少元； （2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用． 23. 【教材呈现】 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末测试卷 八年级数学（RJ） 测试范围：全册 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意； B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意； C选项轴对称图形，所以C选项不符合题意； D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意． 故选D． 2. 少年的一根头发的直径大约为0.0000412：米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据0.0000412米可用科学记数法表示为4.12×10－5米， 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形三边长的数量关系即可求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】解：、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵，即， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查构成三角形的三边的数量关系，掌握其判定方法是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂除法运算和幂的乘方，熟练掌握相关运算法则及公式是解题关键． 用整式的加法、积的乘方、幂的乘方及同底数幂的除法法则依次计算各选项即可得出正确答案． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； B．，运算错误，不符合题意； C．，运算错误，不符合题意； D．，运算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 6. 如果点和点关于x轴对称，则的值是（ ）． A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再计算的值． 【详解】解：∵点和点， 又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴． ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，点关于x轴的对称点的坐标是，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 7. 四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（　　） A. x=y B. x=2y C. x=y+180 D. y=x+180 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和与外角和的关系分别求出x，y即可比较. 【详解】∵四边形的内角和等于360°，故x=360， 五边形的外角和等于360°，故y=360， ∴x=y,选A. 【点睛】此题主要考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟知其公式进行求解. 8. 如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=13． 【详解】∵直线m是△ABC中BC边垂直平分线， ∴BP=PC ∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP ∵两点之间线段最短， ∴AP+BP≥AB ∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB ∵AC=6，AB=7 ∴△APC周长最小为AC+AB=13 故选：A． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短，灵活运用两点之间线段最短时解题的关键． 9. 如图，正方形中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出答案． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键． 10. 在和中，，已知，则的度数是（ ） A. 30° B. C. 或 D. 30°或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，分两种情况，画出图形，进行讨论求解即可． 【详解】在和中， 当时 ， 当时， 利用等腰三角形的性质求得 ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解“分式有意义的条件：”是解题的关键． 由分式有意义的条件得，即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，若∠CAD＝20°，则∠B＝_____． 【答案】35° 【解析】 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，再利用三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于D， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠C＝90°，∠CAD＝20°， ∴∠CDA＝70°， ∴∠DAB＝∠B＝35°， 故答案为：35°． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，得出AD＝BD是解题关键． 13. 若是完全平方式，则=______． 【答案】或 【解析】 【分析】，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得：或 故答案为：或 【点睛】本题考查求完全平方公式中的字母系数．掌握公式形式是解题关键． 14. 如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到，再根据方程的解为负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵分母不为0， ∴， ∴， ∴； 综上所述，且， 故答案为：且． 15. 如图，，，点C在射线AN上，，当x的取值范围是__________时，的形状、大小是唯一确定的． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，含角的直角三角形性质．由全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：①当时， 在中，，， ， 即时，由判定的形状、大小是唯一确定的； ②如图， 当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图， 当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算和分式的加法运算，涉及了零指数幂、负指数幂、同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘多项式，多项式乘多项式，的运用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）按顺序先分别进行乘方运算、零次幂运算、负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）按顺序进行单项式乘除法运算、同底数幂的乘方运算，然后再进行整式的加减法运算即可． （3）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算法则进行计算即可． （4）根据分式的加法运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 17. （1）分解因式：； （2）分解因式：． （3）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分解因式及解分式方程，解题的关键是熟练的掌握提公因式法与公式法的综合运用及解分式方程． （1）利用平方差公式即可得到答案； （2）先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （3）方程两边都乘以得出方程，求出这个方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）方程两边都乘以， 得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 经检验是增根，分式方程无解． 18. 先化简，再求值． （1），其中． （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的应用，整式和分式运算以及化简求值，熟练的利用乘法公式进行简便运算是解本题的关键． （1）根据乘法公式的应用，整式的加减运算法则以及乘除运算法则进行计算即可求出答案； （2）根据乘法公式，分式的运算法则进行计算即可求出答案． 【小问1详解】 解：原式， ， ， 当时，原式； 【小问2详解】 解：原式， ， ， 当时，原式． 19. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2）6 【解析】 【分析】（1）将原式变形为完全平方式，然后代入求值； （2）将原式通分，再变形为完全平方式，然后 代入求值． 【小问1详解】 解： 原始 【小问2详解】 原始 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键． 20. 如图，已知． （1）用直尺和圆规作图，在边上作出一点P，使； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线与的交点即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求解． 【小问1详解】 解：如图：点P即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，，为中点，过点作直线分别交射线、于点、（分别不与点、重合），设． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质与判定，直角三角形的两个锐互余； （1）直接根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据题意，分，，根据直角三角形的两个锐互余，即可求解． 【小问1详解】 解： 为的中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ①若，则； ②若，则； 的度数或． 22. 某 校 计 划 购 买两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台． （1）求型仪器单价分别是多少元； （2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用． 【答案】（1）每台A型仪器价格为45元，每台B型仪器的价格为30元 （2）A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元 【解析】 【分析】（1）设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元，根据“用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台”列分式方程即可求解； （2）设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意列不等式，求解即可. 【小问1详解】 解：设每台B型仪器价格为x元，则每台A型仪器的价格为元， 根据题意得，， 解得． 经检验，是原方程的解． ， 答：每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元； 【小问2详解】 解：设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意得， 解得． 当时，总费用（元）． 答：A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元． 【点睛】本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型． 23. 【教材呈现】 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 【答案】【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析 〖概念理解〗（1）见解析 〖性质探究〗（2）见解析 （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明见解析 〖拓展应用〗（4）或 【解析】 【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论； （1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）利用证明，即可得出结论； （4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可． 【详解】解：〖教材呈现〗如图， 猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和， 证明：∵，，， ∴， ∴，，， 即平分和， ∴垂直平分． 〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求； 〖性质探究〗 （2）如图2，连接， 在与中， ， ∴， ∴； （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)， 证明∶ 在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、． 〖拓展应用〗 （4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1， ∴； ②当筝形中，时，如图4-2， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$