精品解析：福建省泉州市安溪第一中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试题

2024年秋季安溪一中第二次学情调研 初二数学 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中假命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 对顶角相等 C. 全等三角形对应角相等 D. 三角形的内角和等于 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（　　） A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B. AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D C. ∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF D. △ABC的周长等于△DEF的周长 4. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 5. 在中，的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线交于点E，若，，则的长度为（　　） A. 3 B. C. D. 8. 如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为_______． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 13. 若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为__________． 14. 如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是______． 15. 如图：AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点处，连结B，那么B的长为_____________． 16. 如图，在四边形中，相交于点E，E为的中点，，则__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知．如果，，求的长． 18. 如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 19. 一个等腰三角形的周长是，若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 20. 如图，是 的边的中点，，垂足分别为E、F，且，求证： 21. 已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：． 22. 已知中，于点D． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 23. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC沿过A点的直线折叠，使点C落在AB边上的点D处，折痕与BC交于点E. (1)试用尺规作图作出折痕AE；(要求：保留作图痕迹，不写作法.) (2)连接DE，求线段DE的长度. 24. 如图，中，，，点D是边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，与交于点M． （1）如图①，连接，则　　　　；（填度数）图中与相等的角是　　　　；（用三个字母表示且不添加任何字母） （2）求证：M为的中点． （3）直接写出线段与的数量关系． 25. 如图①，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，且，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线的中线叫做旋补三角形对应中线，点A叫做“旋补中心”． （1）如图②，若，则，理由是　　　　　　； （2）若，求的长． （3）如图①，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季安溪一中第二次学情调研 初二数学 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中假命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 对顶角相等 C. 全等三角形对应角相等 D. 三角形的内角和等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质、平行线的判定、全等三角形的性质和三角形的内角和定理．分别根据对顶角的性质、平行线的判定、全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可判断． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行是真命题，不符合题意； B、对顶角相等，是真命题，不符合题意； C、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意； D、三角形的内角和等于，为假命题，应为，故符合题意． 故选：D． 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：两个三角形全等，是边和的夹角， ， 故选：A． 3. 下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（　　） A. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B. AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D C. ∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF D. △ABC的周长等于△DEF的周长 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三角形全等的判定条件进行排除选项即可． 【详解】A、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F不能判定△ABC≌△DEF，故错误； B、由“SSA”不能判定△ABC≌△DEF，故错误； C、由“ASA”可以判定△ABC≌△DEF，故正确； D、由△ABC的周长等于△DEF的周长不能判定△ABC≌△DEF，故错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键． 4. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 5. 在中，的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵． ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 6. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查举反例，根据反例满足条件，结论与原结论矛盾，进行判断即可． 【详解】解：A、不满足，不符合题意； B、条件和结论都与原命题相符，不符合题意； C、条件和结论都与原命题相符，不符合题意； D、条件满足，结论与原命题矛盾，符合题意； 故选D． 7. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线交于点E，若，，则的长度为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据作图可知，由已知条件可知，根据勾股定理，可得的长． 【解答】解：根据作图可知， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】∵是正五边形， ∴∠ABC==108°，AB=BC， ∵为等边三角形， ∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF， ∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°， ∴∠BFC==66°， ∴=∠AFB+∠BFC=126°， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 9. 如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：垂直平分，且， ， 的周长为， ， ，即， 则的周长是， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 10. 如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点．根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，最后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∵平分， ， ， ∴平分，故①正确； 如图：在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，即②不正确，④正确； ∵，， ， ， ∴，即③正确． 综上，正确的有①③④． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为_______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是．利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是， 故答案为：． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 13. 若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为__________． 【答案】8或10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为8的边是否为斜边，所以要讨论：边长为8的边为斜边；边长为8的边为直角边． 【详解】解：当边长为8的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8； 当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为． 故该直角三角形斜边长为8或10． 故答案为：8或10． 14. 如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 15. 如图：AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点处，连结B，那么B的长为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据中点的性质得BD=DC=3，再根据对称的性质得，判定三角形为等边三角形即可求． 【详解】解：BC=6，D为BC的中点， BD=DC=3， 根据轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，DC=DC′=3， ， 为等边三角形， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了翻折变换的知识，同时考查了等边三角形的性质和判定，判定出为等边三角形是关键． 16. 如图，在四边形中，相交于点E，E为的中点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．作交于F，则，利用证明，由全等三角形的性质得，，由，根据三角形的外角性质结合可得，则，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：作交于F， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知．如果，，求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，再由已知条件，利用，即可求得的长，解题关键是掌握全等三角形的性质． 【详解】解：， ， 又， ， ． 18. 如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而由可证明，即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 19. 一个等腰三角形的周长是，若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】其余两边的长为，或， 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分是腰长与底边长两种情况分析求解即可求得答案． 【详解】解：（1）当边长为底时，其余两边长为腰： （2）当边长为腰时，则另一边长也为，其底为 综上所述，其余两边的长为，或， 20. 如图，是 的边的中点，，垂足分别为E、F，且，求证： 【答案】 证明：∵是 的边的中点，， ∴、 均为直角三角形 在中 【解析】 【分析】首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】略 【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键． 21. 已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：． 【答案】 证明：过P作PE⊥OA于点E，过P作PF⊥OB于点F， 则∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°， ∵OP平分∠AOB， ∴∠1=∠2， 在△POE和△POF中 ， ≌， ∴PE=PF， ∵∠PCO+∠PDO=180°，∠PCO+∠PCE=180°， ∴∠PCE=∠PDF， 在△PCE和△PDF中， ∴△PEC≌△PFD， ∴PC=PD． 【解析】 【分析】如图，作辅助线，证明△PMC≌△PND，得到PM=PN，即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线；牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键． 22. 已知中，于点D． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边对等角，勾股定理，是解题的关键： （1）等边对等角，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 在中， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得． 23. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC沿过A点的直线折叠，使点C落在AB边上的点D处，折痕与BC交于点E. (1)试用尺规作图作出折痕AE；(要求：保留作图痕迹，不写作法.) (2)连接DE，求线段DE的长度. 【答案】 （1）如图所示： （2）. 【解析】 【分析】（1）作∠CAB的角平分线即可； （2）根据勾股定理先求出AB=13，再在中利用勾股定理列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，在中，， 根据勾股定理得：. 沿AE折叠，点C落在点D处， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得，. 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 24. 如图，中，，，点D是边上的一个动点，线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，与交于点M． （1）如图①，连接，则　　　　；（填度数）图中与相等的角是　　　　；（用三个字母表示且不添加任何字母） （2）求证：M为的中点． （3）直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1）45； （2） 证明：过点E作于点F 由旋转的性质得， 又 在和中 又 在和中 为中点； （3） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等腰直角三角形的性质即可求出，根据三角形外角的性质即可得到； （2）过点E作于点F，首先证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明； （3）根据全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵中，，， ∴； ∵线段绕点A逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 证明：由得 由得．即 ． 25. 如图①，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，且，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线的中线叫做旋补三角形对应中线，点A叫做“旋补中心”． （1）如图②，若，则，理由是　　　　　　； （2）若，求的长． （3）如图①，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）等腰三角形三线合一 （2） （3）， 证明：延长至，使，连结 ∵为的中点， ， 在和中 ， ， ∵， ， 又∵， ， ， 即， 又由旋转的性质得， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理，求得，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （3）延长至，使，连结，证明进而得出，证明得出，又，则． 【小问1详解】 解：若，则，理由是等腰三角形三线合一； 故答案为：等腰三角形三线合一． 【小问2详解】 解：∵在中，为中点，， ， 在中，， 在中，为中点， ， ∵， ， ， 即， 又∵， ， 由旋转的性质得， 在在中 ， ， 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $