精品解析：吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期12月期末数学试题

白城市实验高级中学2024－2025学年度高二上学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线在轴上的截距为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令＝0，求出的值即为所求. 【详解】直线，令＝0，解得＝﹣，∴直线在轴上的截距为﹣． 故选B． 【点睛】本题考查直线方程的纵截距的求法，注意直线性质的合理运用，属于基础题． 2. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于(　　) A. 120° B. 30° C. 60° D. 60°或30° 【答案】B 【解析】 【分析】因直线方向向量与平面的法向量的夹角为 ，所以线面角为． 【详解】设直线与平面所成的角为，则，故选B． 【点睛】一般地，如果直线的方向向量 与平面的法向量的夹角为，直线与平面所成的角为，则． 3. 产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量.若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有抽取的可能性，以及满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得结果. 【详解】不妨设5件样品为，其中为检测过某成分含量的2件样品. 故从件样品抽取3件样品的所有可能有如下10种： , 其中满足题意的可能有如下3种： . 故满足题意的概率. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题. 4. 某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ） A. 44~56周岁人群理财人数最多 B. 18~30周岁人群理财总费用最少 C. B理财产品更受理财人青睐 D. 年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 【答案】B 【解析】 【分析】A.由扇形图判断；B.设总人数为a，按照扇形图得到各段人数，再由折线图求解判断；C.利用条形图判断；D.利用折线图判断. 【详解】A.44~56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多的，故正确； B.设总人数为a， 则18~30周岁人群的人均理财费用约为， 31~43周岁人群的人均理财费用约为， 44~56周岁人群的人均理财费用约为， 57周岁人群的人均理财费用约为， 所以57周岁及以上人群的人均理财费用最少，故错误； C.由条形图可知：B理财产品更受理财人青睐，故正确； D.由折线图知：年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故正确， 故选：B 5. 已知直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由倾斜角求出斜率，写出直线方程的点斜式，化成一般式. 【详解】直线倾斜角为，则斜率为-1，且经过点， 直线方程为，即. 故选:B 【点睛】本题考查求直线方程，属于基础题. 6. 下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（　　） A. B. 1 C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点位置及半焦距，再逐项判断作答. 【详解】双曲线的焦点在x轴上，半焦距， 对于A，方程，即，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为，A不是； 对于B，C，方程、都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是； 对于D，方程是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为，D是. 故选：D 7. 已知直线与直线平行,则它们之间的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出的值,再利用两直线的距离公式求出距离即可. 【详解】解:由题知两条直线平行, 故有, 解得, 即, 由两条平行线间的距离公式得. 故选:A 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入双曲线方程，求得点的纵坐标，由，结合和离心率公式可得的范围，再由双曲线的定义，讨论共线时，取得最小值 ，结合离心率公式可得的范围，再由，取交集可求得结果. 【详解】令代入双曲线的方程可得. 由，可得，即为，即有①. 又恒成立，只要求出的最小值即可. 由双曲线的定义，可得，，即 由共线时， 取得最小值，可得， 即有②，由，结合①②可得，e的范围是. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 直线在轴的截距为1 C. 过两点的直线方程为 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】由直线方程的概念对选项逐一判断． 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于点，故与两坐标轴围成的三角形的面积是2，故A正确， 对于B，直线过，在轴的截距为，故B错误， 对于C，当或时不适用，故C错误， 对于D，由题意得直线的方向向量为，故直线的斜率为，故D正确， 故选：AD 10. 在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】在正方体中，由于点是侧面的中心， 所以， 所以，，即． 故选：AD. 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 12. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为______，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______或______． 【答案】 ①. （3，-2） ②. 2x+3y=0 ③. x+y-1=0 【解析】 【分析】联立两直线方程即可求得交点坐标；分类讨论直线过原点与不过原点的情况,求解直线方程即可 【详解】解：联立,解得, ∴两直线和的交点为； 当直线过原点时,直线方程为,即, 当直线不过原点时,设直线方程为,则,即, ∴直线方程为 ∴经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或 故答案为；； 【点睛】本题考查两直线的交点坐标,考查直线的斜截式方程,考查分类讨论思想 14. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A， 所以，； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 15. 已知直线l：被动圆C：截得的弦长为定值，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出动圆圆心的轨迹方程，再由直线l与圆心的轨迹平行求解作答. 【详解】根据题意，l：， 由，解得，即直线过定点， 动圆C：，圆心，半径为， 动圆圆心C在定直线：上动，半径为定值， 要使直线l被截得的弦长为定值，则动点C到l的距离为定值， 则，故l的斜率也为2，则，故直线l的方程为． 故答案为：. 16. 已知椭圆C：与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为_____；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由直线与椭圆联立得18x2+12mx+4m2﹣36=0，利用可得m的取值范围，再由中点坐标公式及韦达定理可得轨迹方程. 【详解】由，得：18x2+12mx+4m2﹣36=0； 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得：△=144m2﹣4×18（4m2﹣36）＞0， 可得：． 设弦AB的中点为M（x，y）， 可得：， 可得：， 故答案为；. 【点睛】本题考查曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，直接列方程是关键；常见的方法有：1、直接法；2、定义法；3、相关点法；4、待定系数法；5、参数法；6、交轨法，该题中利用的是直接法. 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，、分别为椭圆的左、右焦点，M为C上任意一点，的最大值为1. （1）求椭圆的方程； （2）不过点F2的直线l:y=kx+m (m≠0)交椭圆C于A，B两点. ①若k2=,且S△AOB =，求m的值； ②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）①；②直线恒过定点. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，可求得，，进而求得，由此得到椭圆方程； （2）①联立方程，得到与的不等关系，及两根的关系，表示出弦长及点到直线的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，，由此可得到与的等量关系，进而求得定点． 【详解】（1）由抛物线的方程得其焦点为，则， 当点为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则， ，故椭圆的方程为； （2）联立得，， ，得， 设，，，，则， ①且，代入得，， ， 设点到直线的距离为，则， ， ，则； ②，由题意，， ，即， ，解得， 直线的方程为，故直线恒过定点，该定点坐标为． 【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点. 18. 一名大学生尝试开家“网店”销售一种学习用品,经测算每售出1盒该产品可获利30元,未售出的商品每盒亏损10元.根据统计资料,得到该商品的月需求量的频率分布直方图如图所示,该同学为此购进180盒该产品,以x(单位:盒,100≤x≤200)表示一个月内的市场需求量,y(单位:元)表示一个月内经销该产品的利润. （1）根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数; （2）将y表示为x的函数; （3）根据直方图估计这个月利润不少于3 800元的概率(用频率近似概率). 【答案】（1）153； （2）； （3）0.7. 【解析】 【分析】（1）平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和，进而求得答案； （2）由每售出1盒盖产品获利30元，未售出的商品每盒亏损10元，分，两种情况进行分类讨论，能将表示为的函数； （3）由利润不少于3800元，得到，由此能求出利润不少于3800元的概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图得: 需求量在[100,120)内的频率为0.005×20=0.1, 需求量在[120,140)内的频率为0.01×20=0.2, 需求量在[140,160)内的频率为0.015×20=0.3, 需求量在[160,180)内的频率为0.012 5×20=0.25, 需求量在[180,200]内的频率为0.007 5×20=0.15, ∴根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数为=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153. 【小问2详解】 ∵每售出1盒该产品获利30元,未售出的商品每盒亏损10元, ∴当100≤x<180时,y=30x-10(180-x)=40x-1 800;当180≤x≤200时,y=30×180=5 400. ∴ 【小问3详解】 ∵利润不少于3 800元，∴40x-1 800≥3 800，∴x≥140， ∴由（1）知利润不少于3 800元的概率为1-0.1-0.2=0.7. 19. 在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中心线相交？（精确到0.01m） 【答案】14.92m 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据垂直关系可得斜率关系，即可由点斜式得直线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】记灯柱顶端为点B，灯罩处为点A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中心线交于点C. 以灯柱底端O点为坐标原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则点B的坐标为，点C的坐标为， 因为，所以直线BA的倾斜角为， 则点A的坐标为，即. 因为，所以. 由直线的点斜式，得直线CA的方程是. 因为灯罩轴线CA过点，所以，解得. 故灯柱高约为14.92m. 20. 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【小问1详解】 由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. 【小问2详解】 如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； 【小问3详解】 如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 21. 已知点在双曲线上． （1）双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值； （2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出双曲线方程，设，则过点的切线方程为，联立与两条渐近线方程，得到点坐标，利用求出面积为定值； （2）考虑直线斜率不存在，不合题意，故直线斜率存在，设直线方程，与双曲线方程联立，设出，得到两根之和，两根之积，再设点的坐标为，由得到，，消去参数得到点恒在一条定直线上. 【小问1详解】 将代入双曲线中，， 解得，故双曲线方程为， 下面证明上一点的切线方程为， 理由如下：当切线方程的斜率存在时， 设过点的切线方程为，与联立得， ， 由 化简得， 因为，代入上式得， 整理得， 同除以得，， 即， 因为，， 所以， 联立，两式相乘得，， 从而， 故， 即， 令，则，即， 解得，即， 当切线斜率不存在时，此时切点为，切线方程为，满足， 综上：上一点的切线方程为， 设，则过点的切线方程为， 故为过点的切线方程， 双曲线的两条渐近线方程为， 联立与，解得, 联立与，解得, 直线方程为，即， 故点到直线的距离为， 且， 故的面积为 ，为定值； 【小问2详解】 若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 故直线斜率存在，设直线方程， 与联立得， 由， 因为恒成立，所以， 故， 解得, 设，则， 设点的坐标为， 则由得，， 变形得到， 将代入，解得， 将代入中，解得， 则， 故点恒在一条定直线上. 【点睛】方法点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为 22. 设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点M在线段AB上，满足 ，直线OM的斜率为. （Ⅰ）求E的离心率e； （Ⅱ）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ，求E的方程. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由题设条件，可得点的坐标为，利用，从而，进而得，算出.（Ⅱ）由题设条件和（Ⅰ）的计算结果知，直线的方程为，得出点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.利用点在直线上，以及，解得，所以，从而得到椭圆的方程为. 试题解析：（Ⅰ）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故. （Ⅱ）由题设条件和（Ⅰ）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为. 考点：1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城市实验高级中学2024－2025学年度高二上学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线在轴上的截距为 A. B. C. D. 2. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于(　　) A. 120° B. 30° C. 60° D. 60°或30° 3. 产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量.若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ） A. 44~56周岁人群理财人数最多 B. 18~30周岁人群理财总费用最少 C. B理财产品更受理财人青睐 D. 年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 5. 已知直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（　　） A. B. 1 C. 1 D. 1 7. 已知直线与直线平行,则它们之间的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 直线在轴的截距为1 C. 过两点的直线方程为 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 12. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为______，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______或______． 14. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 15. 已知直线l：被动圆C：截得的弦长为定值，则直线l的方程为______． 16. 已知椭圆C：与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为_____；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为_____． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，、分别为椭圆的左、右焦点，M为C上任意一点，的最大值为1. （1）求椭圆的方程； （2）不过点F2的直线l:y=kx+m (m≠0)交椭圆C于A，B两点. ①若k2=,且S△AOB =，求m的值； ②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 18. 一名大学生尝试开家“网店”销售一种学习用品,经测算每售出1盒该产品可获利30元,未售出的商品每盒亏损10元.根据统计资料,得到该商品的月需求量的频率分布直方图如图所示,该同学为此购进180盒该产品,以x(单位:盒,100≤x≤200)表示一个月内的市场需求量,y(单位:元)表示一个月内经销该产品的利润. （1）根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数; （2）将y表示为x的函数; （3）根据直方图估计这个月利润不少于3 800元的概率(用频率近似概率). 19. 在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中心线相交？（精确到0.01m） 20. 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 21. 已知点在双曲线上． （1）双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值； （2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 22. 设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点M在线段AB上，满足 ，直线OM的斜率为. （Ⅰ）求E的离心率e； （Ⅱ）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ，求E的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $