复习01集合运算与逻辑用语（十一大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习01集合运算与逻辑用语 知识点 1 ：集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 知识点 2 ：集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 知识点 3 ：集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 知识点 4 ：充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 知识点 5 ：全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 考点01 元素与集合的关系 【方法点拨】1.构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． 2.利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 例1．下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．已知集合，下列选项中均为的元素的是（   ） （1）    （2）    （3）    （4）0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 变式1-1．已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 变式1-2．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点02 根据集合中元素个数求参数 例3．若集合的子集只有两个，则实数 . 例4．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 变式2-1．（多选）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 变式2-2．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 变式2-3．已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 考点03 集合间的关系 【方法点拨】1.一般利用数轴或图判断两集合间的关系； 2.由集合间的关系求参数的方法：（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点；（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 例5．已知集合，，且，则集合 . 例6．满足的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式3-1．若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 变式3-2．设是实数，集合，，若，则的取值集合是 ． 变式3-3．设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 考点04 集合的交并补综合运算 【方法点拨】1.求集合交、并、补集可用定义法和数轴法； 2.求集合运算中参数的值或取值范围：若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 例7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例8．英文单词mango所有字母组成的集合记为，英文单词banana所有字母组成的集合记为，则的元素个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式4-1．（多选）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B．的子集个数为8 C． D． 变式4-2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（多选）已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 考点05 根据集合的运算结果求参数 【方法点拨】1.转化为转化为； 2.借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍． 3.注意点：当题目条件中出现时，若集合不确定，解答时要注意讨论的情况． 例9．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 例10．已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知集合，，若，则 ． 变式5-2．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 变式5-3．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 考点06 Venn图在集合运算中的应用 例11．已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例12．（多选）如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 变式6-1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．下列表示集合和关系的图中正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   变式6-3．（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 考点07 集合运算中的新定义问题 例13．集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 例14．已知，，，记，，若，则集合为 . 变式7-1．定义集合A与B的运算：，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 变式7-3．设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 考点08 充分、必要条件的判断 【方法点拨】一般利用集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 例15．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例16．已知且，则“为质数”是“为合数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-2．设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 变式8-3．设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点09 由充分、必要条件求参数 【方法点拨】将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 若对应的集合为，对应的集合为，则①是的充分条件，则；②是的必要条件，则 例17．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 例18．设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 变式9-1．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 变式9-2．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 考点10 全称、存在量词命题的判断及其否定 例19．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A． B． C． D． 例20．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 变式10-1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．（多选）下列命题中为真命题的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．{是无理数}，是无理数 D．是的必要不充分条件 变式10-3．已知命题，，命题，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 考点11 根据量词命题的真假求参数 【方法点拨】(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围． (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． (3)利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： ①，；②，； ③，；④，. 例21．已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 例22．若命题“存在，使”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式11-1．（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式11-2．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 变式11-3．已知命题，，． (1)若命题为真命题，求的取值范围； (2)若命题为假命题和命题为真命题．求的取值范围． 1．（2024-25高一上·四川成都·期末）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2024-25高一上·四川·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东临沂·期末）已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（2024-25高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 6．（24-25高二上·河北保定·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东茂名·期中）（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（    ） A．1 B． C． D．3 8．（2024·广东惠州·二模）（多选）下面命题正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 9．（24-25高二上·辽宁阜新·期末）集合用列举法表示为 . 10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 11．（2024-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 12．（2024-25高一上·福建福州·期中）设全集，集合，. (1)若，求，. (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 13．（2024-25高一上·广东梅州·期中）已知集合，集合. (1)求，，； (2)设集合， 且， 求实数的取值范围. 14．（2024-25高一上·河南·期中）已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 15．（2024-25高二上·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习01集合运算与逻辑用语 知识点 1 ：集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 知识点 2 ：集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 知识点 3 ：集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 知识点 4 ：充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 知识点 5 ：全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 考点01 元素与集合的关系 【方法点拨】1.构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． 2.利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 例1．下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为是自然数，所以，所以③正确； 对于④，因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 例2．已知集合，下列选项中均为的元素的是（   ） （1）    （2）    （3）    （4）0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】D 【详解】由于，故和0是中元素. 故选：D 变式1-1．已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 变式1-2．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 变式1-3．已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且，所以，解得. 故选：A． 考点02 根据集合中元素个数求参数 例3．若集合的子集只有两个，则实数 . 【答案】0或 【详解】因为集合的子集只有两个，所以中只含有一个元素． 当时，； 当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得． 综上，当或时，集合只有一个元素． 故答案为：或． 例4．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为集合中的元素恰有两个正数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 变式2-1．（多选）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【详解】当，，满足条件； 当，由，则得，此时只有一个元素， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故选：BC 变式2-2．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 变式2-3．已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解:当时，易知， 当时，若集合为空集，则 故选：B 考点03 集合间的关系 【方法点拨】1.一般利用数轴或图判断两集合间的关系； 2.由集合间的关系求参数的方法：（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点；（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 例5．已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 例6．满足的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么中一定包含和，且是的真子集. 除了和之外，还可以包含，，中的部分元素. 对于，，这三个元素，每个元素都有两种情况（在中或者不在中），根据真子集个数的结论知道.总共有种情况. 故选：C. 变式3-1．若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】C 【详解】由于是与的公倍数,， 故是的倍数,， ,故， 故选：C 变式3-2．设是实数，集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【详解】由题意，集合， 若，且集合中至多有一个元素， 当时，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 综上，的取值集合是. 故答案为：. 变式3-3．设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 考点04 集合的交并补综合运算 【方法点拨】1.求集合交、并、补集可用定义法和数轴法； 2.求集合运算中参数的值或取值范围：若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 例7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以，. 故选：A. 例8．英文单词mango所有字母组成的集合记为，英文单词banana所有字母组成的集合记为，则的元素个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】mango的所有字母组成的集合为， banana的所有字母组成的集合为， 所以， 共有6个元素． 故选：C. 变式4-1．（多选）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B．的子集个数为8 C． D． 【答案】BC 【详解】由题设且子集有个，B对， 又，则，A、D错； 由，则，C对； 故选：BC 变式4-2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可得：， 所以， 故选：D 变式4-3．（多选）已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 【答案】AB 【详解】因为全集，集合，， 所以或，， ，， 所以，，， ，故选项AB正确，CD错误. 故选：AB 考点05 根据集合的运算结果求参数 【方法点拨】1.转化为转化为； 2.借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍． 3.注意点：当题目条件中出现时，若集合不确定，解答时要注意讨论的情况． 例9．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）时，，又， 故， 或， 故或； （2）， 当时，，解得， 当时，，解得， 故的取值范围是. 例10．已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得. 当时，，满足； 当时，因为， 所以或， 解得或. 故选：C. 变式5-1．已知集合，，若，则 ． 【答案】 【详解】集合，， 若，则，解得，所以， ∴，， ∴． 故答案为：． 变式5-2．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，又，所以． （2）因为，所以或． 因为，所以，解得， 故实数m的取值范围为． 变式5-3．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 【答案】 【详解】由， 因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 考点06 Venn图在集合运算中的应用 例11．已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，故AB错误； 如图， 对于C选项，，正确； 对于D选项，，错误. 故选：C 例12．（多选）如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据题意可知，阴影部分表示的元素不属于，也不属于， 可表示为； 也可指表示的元素属于，也属于,因此阴影部分可表示为. 故选：AC 变式6-1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，图中阴影部分区域表示为， 因为，，则或， 则， 故选：A. 变式6-2．下列表示集合和关系的图中正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】因为， 由，即或， 解得，，，， 所以， 所以，且不包含于，不包含于， 故图中正确的是A. 故选：A 变式6-3．（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由图可知，是的子集，故A正确； 不是的子集，故B错误； 是的子集，故C正确； 不是的子集，故D错误； 故选：AC 考点07 集合运算中的新定义问题 例13．集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 例14．已知，，，记，，若，则集合为 . 【答案】或或 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或, 故答案为：或或 【点睛】思路点睛：解决集合新定义问题，要合理利用集合的性质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 变式7-1．定义集合A与B的运算：，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】∵，， ∴， ∴，，选项A、B正确. ∵，∴， ∴，选项C错误. ∵，∴， ∴，选项D正确. 故选：ABD. 变式7-2．已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以. （2）由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 所以中一共有个元素. 变式7-3．设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A，由题可知，，故正确； 选项B, , 所以， 同理 所以，故选项B正确； 选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误； 选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误； 故选：AB 考点08 充分、必要条件的判断 【方法点拨】一般利用集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 例15．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，所以“”是“”充分条件； 当时，，此时满足要求，而，故不一定成立， 所以“”不是“”的必要条件； 综上，“”是“”充分不必要条件. 故选：A. 例16．已知且，则“为质数”是“为合数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为质数，由，得必为奇数，则为大于2的偶数，所以为合数. 取9，则为合数，但9不是质数. 故“为质数”是“为合数”的充分不必要条件. 故选：A. 变式8-1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，当时，满足，但不成立，故充分性不成立； 当时，满足，故必要成立， 此时“”是“”是必要不充分条件； 若，由，得或， 所以“”是“”是必要不充分条件. 综上，“”是“”是必要不充分条件. 故选：B 变式8-2．设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合， 当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确； 对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合， S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误； 对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合， 当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误； 对于D，灯泡L亮，开关S未必闭合，故p不是q的充分条件，D错误. 故选：A. 变式8-3．设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根． 反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．由不能推出． 所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 考点09 由充分、必要条件求参数 【方法点拨】将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 若对应的集合为，对应的集合为，则①是的充分条件，则；②是的必要条件，则 例17．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，，则或， 且，则或； （2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 例18．设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式9-1．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由必要不充分条件定义可知：或，或， 或，或， 实数的值可以是，和. 故选：ABD. 变式9-2．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 变式9-3．已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，， 若是成立的充分条件，则， 所以，，解得. 故选：C. 考点10 全称、存在量词命题的判断及其否定 例19．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，选项A、D为全称量词命题，选项B、C为存在量词命题. 当时，，选项B为真命题. 当时，，选项C为假命题. 故选：B. 例20．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是全称命题，其否定是存在性命题，只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定．即. 故选：B. 变式10-1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：命题“”的否定是“”. 故选：D 变式10-2．（多选）下列命题中为真命题的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．{是无理数}，是无理数 D．是的必要不充分条件 【答案】ABC 【详解】A选项，，故，，A正确； B选项，1既不是合数也不是质数，B正确； C选项，时，是无理数，C正确； D选项，，但， 故是的充分不必要条件，D错误. 故选：ABC 变式10-3．已知命题，，命题，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】解：因为命题，，所以为真命题； 命题当时，，故为真命题. 故选：A. 考点11 根据量词命题的真假求参数 【方法点拨】(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围． (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． (3)利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： ①，；②，； ③，；④，. 例21．已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 例22．若命题“存在，使”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知命题“存在，使”是真命题， 即有实数解， 故， 即实数的取值范围是， 故选：B 变式11-1．（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由命题“”为真命题，可得， 由题意需使选项中的范围是对应范围的真子集，故选项B,D均符合要求. 故选：BD. 变式11-2．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 变式11-3．已知命题，，． (1)若命题为真命题，求的取值范围； (2)若命题为假命题和命题为真命题．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）命题为真命题，则，， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即的取值范围； （2）若命题，为真命题，则， 解得或； 若命题为假命题，则； 因为命题为假命题且命题为真命题，所以， 即的取值范围为. 1．（2024-25高一上·四川成都·期末）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词， 注意到要否定结论而不是否定条件， 所以命题的否定是：. 故选：C 2．（2024-25高一上·四川·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，又集合， 所以. 故选：C 3．（24-25高三上·山东临沂·期末）已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】等价于， 当时，，此时，符合； 当时，，因为，故或，即或． 所以符合条件的实数组成的集合是． 故选：D 4．（2024-25高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图知，影部分所表示的集合为， 又，， 所以图中阴影部分所表示的集合为， 故选：A. 5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 6．（24-25高二上·河北保定·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为命题“，”为假命题， 故其否定：“，”为真命题， 故，解得, 故实数的取值范围是． 故选：A 【点睛】本题原命题是存在性命题且为假命题，它的否定是全称命题且为真命题，进而将问题转化为恒成立处理，采用正难则反的思想进行求解，同时考查命题的等价性和转化的思想． 7．（24-25高一上·广东茂名·期中）（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】ABD 【详解】因为，，且， 当时，即，此时,，满足； 当时，解得或，当时，，，满足；当时，，，满足； 综上所述，实数的值可以是. 故选：ABD 8．（2024·广东惠州·二模）（多选）下面命题正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 9．（24-25高二上·辽宁阜新·期末）集合用列举法表示为 . 【答案】 【详解】时，时，时，时，时，时，不合题意， 故满足题意的有， 故答案为：. 10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 记 由是的充分不必要条件，可得，且 故，且等号不同时成立，解得 故答案为： 11．（2024-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 12．（2024-25高一上·福建福州·期中）设全集，集合，. (1)若，求，. (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由，得，又，， 所以，或， 则. （2）因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 13．（2024-25高一上·广东梅州·期中）已知集合，集合. (1)求，，； (2)设集合， 且， 求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）因为，， 所以，，， 则； （2）因为,所以， 所以，解得，即实数的取值范围为. 14．（2024-25高一上·河南·期中）已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）． 因为，均有，所以． 当时，，满足题意； 当时，，解得，所以． 综上，，即的取值范围是． （2）证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 15．（2024-25高二上·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$