精品解析：四川省德阳市第五中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试题

德阳五中高2024级高一上期期末模拟 数学试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分100分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性结合函数的零点存在定理即可求解. 【详解】因为和均为上的增函数， 所以函数在上单调递增， 而， 所以函数的零点所在的区间为． 故选：B. 3. 已知角的终边过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由终边上的点及三角函数的定义求参数，进而求正切值. 【详解】设， 由三角函数的定义得，整理可得， 因为，所以，所以. 故选：D 4. 已知幂函数在区间上单调递减，则函数（且的图像过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和性质求出，再根据指数函数的性质即可得解. 【详解】由题意得且，解得， ，令得，此时， 故的图像过定点． 故选：A. 5. 若偶函数在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的性质与对数运算性质比较自变量的大小关系，结合函数的单调性和奇偶性可比较函数值的大小. 【详解】∵为偶函数，∴， ∵，∴， ∵在上是增函数，∴. 故选：C. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】的定义域为， ，所以是奇函数， 图象关于原点对称，所以B选项错误. ，所以C选项错误. 的增长速度比的增长速度慢， 所以时，，所以D选项错误. 故选：A 7. 已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】A 【解析】 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万辆， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万辆． 故选：A． 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件等式有且，再应用基本不等式求最值. 【详解】由题设且，则， 所以 当且仅当即时取等号. 故选：C 二、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分对得部分分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”，是“”的充分不必要条件． B. 命题“”的否定是“” C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 函数的图象关于成中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件可判断A，根据含有一个量词的否定可得到B，根据具体函数的定义域以及求抽象函数的定义域可得到C，根据函数图象的变换可得到对称中心即可判断D. 【详解】对于A，或，故A正确，该选项不符合题意； 对于B，命题“”的否定是“”，故B错误，该选项符合题意； 对于C，的定义域为，则，得， 所以的定义域为，故错误，该选项符合题意； 对于D，函数， 其图象是由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到， 故函数的图象关于成中心对称，故D正确，该选项不符合题意； 故选：BC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件可得，利用同角三角函数的基本关系及诱导公式逐项判断可确定正确选项. 【详解】因为，所以. ，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ，选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 对于 C. 若方程有4个不相等的实根，则的范围为 D. 函数有6个不同的零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，根据给定的、的范围，分别确定函数在该区间的表达式，进而推导出与的关系.对于B选项，通过举反例的方式进行判断，选取特殊值代入函数计算差值.对于C选项，先依据函数图象确定方程有四个实根时的范围，再利用函数性质和根之间的关系求出的表达式，并结合已知条件确定其范围.对于D选项，采用换元法，令，分别求解的值，然后根据函数图象分析直线与函数图象的交点个数，从而得出函数的零点个数. 【详解】作出函数图象如下图所示： 对，当时，， 时，， 当时，， ，故A正确； 对，取，则故B错误； 对C，根据函数图象可知当时，有四个不同的实根， ，由得， 由得，则， 则，故C正确； 对D，令，则，令 ，则， 当时，则，解得或， 当时，，解得， 观察图象知，当或时，直线与函数图象各有一个交点， 当时，直线与函数图象有四个交点， 则函数有6个不同的零点，故D正确 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 对于分段函数的性质研究，要根据不同的定义域区间分别分析函数表达式.在判断等式关系时，代入相应区间的表达式进行推导. 利用函数图象可以直观地确定方程根的个数以及函数零点个数问题，结合换元法将复杂函数关系转化为简单的方程求解问题. 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．将答案直接填在答题卡上） 12. 已知扇形的圆心角为 ，其周长是 ，则该扇形的面积是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式以及面积公式即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，圆心角为，则， 根据周长可得，故， 所以扇形面积为， 故答案为： 13. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式的运算、指数的运算性质以及诱导公式化简求值即可. 【详解】原式 故答案为： 14. 已知函数的定义域是且当时，，且，满足不等式的的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性定义得到在递减，然后将不等式转化为求解. 【详解】， 任取，则， 因为时，，所以 故 所以因此在递减， 不等式，即 . 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 15. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解对数不等式求得集合，进而求得. （2）根据得到，对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意知：，解得：，即， 当时，，所以 ； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，； 当时，且解得：， 综上所述：． 16. （1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系齐次化后将弦化切后代入求值即可； （2）结合已知利用求出，进而结合角的范围求出，求出，即可得解. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以， 解得， 所以， 因为角为第二象限角，，所以， 所以由解得. 所以， 所以. 17. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第x天 1 2 5 10 Q(x)（万件） 14.01 12 10.8 10.38 （1）给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数. 请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； （2）若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】（1）选择模型②， （2），4 【解析】 【分析】（1）根据数据的变化得到选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案； （2）求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论. 【小问1详解】 由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数， 又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②， 观察表格中的4组数据， 从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据， 即，解得， 可以检验相对合理， 从而； 【小问2详解】 由（1）可得 ， 当时，由基本不等式得， 当且仅当时取到最小值， 当时，， 由单调性的性质可得在上单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又， 综上所述，当时取得最小值. 18. 设函数且，已知， （1）求的定义域； （2）是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由和求得，得函数解析式，即可确定定义域； （2）假设存在实数，判断出的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论. 【小问1详解】 由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得，解得，或（舍），， 所以， 由得， 故的定义域为； 【小问2详解】 假设存在实数，使得在区间上的值域是， ∵在上单调递增， ，故方程有两个大于1的不等实数根， 令，则方程的两个大于2的不等实数根， 令， 则，即，解得． 即，故存在实数符合条件，的取值范围是． 【点睛】易错点睛：小问1：在求解方程时，要特别注意代数符号的运算，特别是在代入过程中，确保正确地处理方程中的加减运算； 小问2：在假设存在时，确保正确使用辅助变量（换元法）来简化问题，特别是在处理方程时，必须注意解的符号和范围，推理步骤要严谨，特别是根的分布判断，避免因符号误差导致错误的结论. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 函数在上为增函数，证明如下： 任取、且，则，， 所以， ，即， 所以，函数在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的定义可得出，与联立方程组，即可解出、的解析式； （2）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）分析函数的单调性与奇偶性，可将所求不等式变形为，令，可得出对任意的恒成立，令，其中，对实数的取值进行分类讨论，根据可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为上的奇函数，为上的偶函数，且， 所以， 即，解得，， 因为函数，均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 又因为， 因为内层函数在上为增函数，且， 外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 所以，即， 即， 因为函数在上是增函数， 令，则函数在上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳五中高2024级高一上期期末模拟 数学试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分100分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边过点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数在区间上单调递减，则函数（且的图像过定点（ ） A. B. C. D. 5. 若偶函数在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分对得部分分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”，是“”的充分不必要条件． B. 命题“”的否定是“” C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 函数的图象关于成中心对称 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 对于 C. 若方程有4个不相等的实根，则的范围为 D. 函数有6个不同的零点 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．将答案直接填在答题卡上） 12. 已知扇形的圆心角为 ，其周长是 ，则该扇形的面积是_____ 13. 化简______． 14. 已知函数的定义域是且当时，，且，满足不等式的的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 15. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 17. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第x天 1 2 5 10 Q(x)（万件） 14.01 12 10.8 10.38 （1）给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数. 请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； （2）若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 18. 设函数且，已知， （1）求的定义域； （2）是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $