精品解析：四川省宜宾市翠屏区普通高中2024-2025学年高一上学期12月统一检测数学试题

2024年秋期翠屏区普通高中一年级12月统一检测 数学 （考试时间：120分钟；总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集直接运算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：A. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 故选：C 3. 已知命题“，”，那么命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 而命题“，”是特称命题， 所以命题“，”否定是“，”， 故选：D 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出的值并判断符号，根据零点存在性定理即可得到结果. 【详解】由函数可知：该函数在上单调递增， ，， ，， ，结合选项所给区间， 只有，根据零点存在性定理知， 的零点所在区间为， 故选：B. 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】运用“1”代换及基本不等式即可求得结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：C. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项CD，再通过计算确定答案 【详解】设， 所以 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项CD. 当时，，所以排除B，选择A. 故选：A. 7. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【详解】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义确定，利用对数函数和指数函数的单调性可得，由此可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，， ∴. 故选：D. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 终边在直线上的角有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义即可得出答案. 【详解】终边在直线上的角可表示为， 当时，；当，，其余角取不到， 故选：AC. 10. 若，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质和函数的单调性逐项判断作答. 【详解】因为，所以 对于A，，故A正确； 对于B，取满足，但，故B错误； 对于C，因为在R上单调递减，所以，则，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以， 则，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称轴为 C. 在上单调递减 D. 是偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数函数的真数大于零可得定义域，即可判断A错误，由对数运算法则以及二次函数图象性质可得B正确，根据复合函数单调性可判断C正确，利用函数奇偶性定义可判断D正确. 【详解】对于A，若函数有意义，则，解得， 所以的定义域为，即A错误； 对于B，易知，； 且函数关于对称，所以图象的对称轴为，即B正确； 对于C，易知在单调递减，对数函数为单调递增， 由复合函数单调性可得在上单调递减，即C正确； 对于D，易知，其定义域为， 且满足偶函数定义，即可得是偶函数，可得D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用对数运算法则将函数解析式等价变形，可借助二次函数的对称性判断即可得出相应结论. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据开偶次方被开方数为非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 13. 如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图是图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求得 【详解】由题意得，扇形AOB的面积为， 扇形的面积为， 所以扇面（曲边四边形）的面积是. 故答案： 14. 设函数且关于的方程，恰有3个不同的实数解，，，，则的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，得到，，解得，利用韦达定理得到，，用表示，换元法可得出取值范围. 【详解】∵关于的方程恰有3个不同的实数解， ∴函数图象与直线有3个不同的交点，交点横坐标分别为，，， 作出函数的图象，如下图所示： 由图可得，，. 由得或（舍）， 由题意得，方程的两根为和，∴，， ∴. 设，则， ∵，∴，即， ∴， 当时，取得最小值， 当或时，， ∴，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，用表示，利用换元法即可计算取值范围. 四、解答题：共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且是第二象限角. （1）求和的值. （2）化简，并求值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系以及商数关系计算可得结果； （2）利用诱导公式计算可得原式可化为，代入可求得其值为. 【小问1详解】 由利用可得， 又是第二象限角，所以； 所以 【小问2详解】 易知， 又，，可得. 16. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的值； （2）在坐标系中作出函数的图象（不用列表）； （3）记函数有两个零点，求实数取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标求解； （2）利用列表描点法作图； （3）问题转化为函数的图象与直线有两个交点，由（2）的图象可得结论． 【小问1详解】 由题意，解得； 【小问2详解】 由（1），，图象如下： 列表： 0 1 2 4 2 1 2 4 描点连线（也可利用对称性作图）： 【小问3详解】 函数有两个零点，即为函数的图象与直线有两个交点， 由（2）知． 所以的范围是． 17. 对于函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若函数为奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递增；证明见解析 （2）（Ⅰ）； （Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）函数在上单调递增，利用单调性的定义即可证明； （2）（Ⅰ）由已知可得对恒成立，计算可求得的值；（Ⅱ）由函数为奇函数，不等式可变形为，结合的单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以，所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，理由如下： 设，且， ， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以函数在上单调递增； 【小问2详解】 （Ⅰ）因为函数为奇函数，所以，对恒成立， 即对恒成立， 所以， 解得； （Ⅱ）由，可得， 又因为函数为奇函数，所以， 由（1）可知函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 解得，所以实数的取值范围. 18. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时的比率减少.现有甲、乙两位驾驶员停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降的比率分别为和. （1）若驾驶员甲停止喝酒后，测得他每血液中酒精含量为，经过两小时后，测得他每血液中酒精含量为，求的值； （2）若甲、乙两位驾驶员停止喝酒后测得两人体内每血液中酒精含量分别为和，请计算经过几小时后两人体内每血液中酒精含量恰好相等.（精确到0.01） 参考值：， 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合等衰减率衰减模型求两小时后甲每100mL血液中酒精含量，由条件列方程求； （2）设所需时间为小时，由条件关系列方程可得，解方程可得结论. 【小问1详解】 因为甲停止喝酒后，每血液中酒精含量为， 两小时后，每100mL血液中酒精含量， 甲驾驶员血液中酒精含量每小时下降的比率为， 所以两小时后甲驾驶员每100mL血液中酒精含量为， 由已知， 所以， 【小问2详解】 设经过小时后两人体内每血液中酒精含量恰好相等， 因为甲、乙两位驾驶员停止喝酒后两人体内每血液中酒精含量分别为80mg和50mg， 甲、乙两位驾驶员停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降的比率分别为和， 所以， 所以，故， 所以，故， 又， 所以， 所以， 所以约经过小时后两人体内每血液中酒精含量恰好相等. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足.则称函数是在上的“和美函数”. （1）判断下列三个函数，哪个（些）是在上的“和美函数”，并说明理由. ①；②；③. （2）已知函数. （Ⅰ）当时，函数是在上的“和美函数”，求的值； （Ⅱ）若函数是，上的“和美函数”，且存在整数，使得，求的值. 【答案】（1）①②是在上的“和美函数”；③不是在上的“和美函数” （2）（Ⅰ）和（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性，求解函数的最值，即可结合“和美函数”的定义求解， （2）对讨论，结合二次函数的单调性，即可求解最值，结合“和美函数”求解（Ⅰ），根据二次函数的单调性求解最值，根据为整数，即可得，再根据“和美函数”的定义求解的值即可求解（Ⅱ）. 【小问1详解】 对于①； 由于在单调递增，故，故是上的“和美函数”， 对于②； 由于在单调递增，故，故是上的“和美函数”， ③ 由于在单调递增，故，故不是上的“和美函数”， 【小问2详解】 （Ⅰ）当时，， 当时，函数在上单调递增，故， 故，满足题意， 当即时，函数在上单调递减，故， 故，满足题意， 当即时，函数在上单调递减，在单调递增，故，故， 若，则，均不符合， 若，则，均不符合， 因此当时，不是的“和美函数”， 综上可得和. （Ⅱ）是，上的“和美函数”， ， 由，故，，因此函数在单调递增， 存在整数，使得，由于，均为整数，且， 故， 由于上的“和美函数”，故，故 【点睛】关键点点睛：根据得，因此函数在单调递增，由为整数，求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋期翠屏区普通高中一年级12月统一检测 数学 （考试时间：120分钟；总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题“，”，那么命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，则函数大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 终边在直线上的角有（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称轴为 C. 在上单调递减 D. 是偶函数 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________________. 13. 如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图是图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是_____________. 14. 设函数且关于的方程，恰有3个不同的实数解，，，，则的取值范围是_______________. 四、解答题：共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且是第二象限角. （1）求和值. （2）化简，并求值. 16. 已知函数（且）的图象过点. （1）求值； （2）在坐标系中作出函数的图象（不用列表）； （3）记函数有两个零点，求实数的取值范围. 17. 对于函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若函数为奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求使成立的实数的取值范围. 18. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时的比率减少.现有甲、乙两位驾驶员停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降的比率分别为和. （1）若驾驶员甲停止喝酒后，测得他每血液中酒精含量为，经过两小时后，测得他每血液中酒精含量为，求的值； （2）若甲、乙两位驾驶员停止喝酒后测得两人体内每血液中酒精含量分别为和，请计算经过几小时后两人体内每血液中酒精含量恰好相等.（精确到0.01） 参考值：， 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足.则称函数是在上的“和美函数”. （1）判断下列三个函数，哪个（些）是在上的“和美函数”，并说明理由. ①；②；③. （2）已知函数. （Ⅰ）当时，函数是在上的“和美函数”，求的值； （Ⅱ）若函数是，上的“和美函数”，且存在整数，使得，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$