精品解析：贵州省贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

南明区永乐第一中学2024-2025学年度第一学期12月质量监测 九年级数学试卷 （时间：120分钟　　满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 如图，是的圆周角，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A. B. C. D. 3. 下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧． A 3个 B. 2个 C. 1个 D. 以上都不对 4. 如图，在矩形中，，，若以点D为圆心，12为半径作，则下列各点在外的是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 已知的半径为，如果一条直线和圆心O的距离为，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相切或相离 6. 如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 到、的距离相等 7. 如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　） A. 3.1 B. 4.2 C. 5.3 D. 6.4 8. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 均不可能 9. 如图，⊙O是的内切圆，点D、E分别为边上的点，且为⊙O的切线，若的周长为，的长是，则的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ） A. 3：2：1 B. 1：2：3 C. 2：3：1 D. 3：1：2 11. 如图，已知⊙O的半径为6，是的弦，若，则弧的长是（ ） A B. C. D. 12. 圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（ ） A. 3 B. 6π C. 3π D. 6 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则_______． 14. 如图，在中，弦，点C在上移动，连结，过点C作交⊙O于点D，则最大值为_____． 15. 若的三条边分别为6，8，10，则的外接圆的半径是____________，内切圆的半径是____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当______时，与坐标轴相切． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知：如图，，是的直径，C是上一点，且． 求证： ． 18. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由． 19. 如图，是一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 20. 如图，为的弦，切于点B，，与相交于点C．求证：． 21. 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36°，求弧AC的长及扇形AOC的面积． 22. 如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F． （1）求证：CF=BF； （2）若AD=6，⊙O的半径为5，求BC的长． 23. 如图，为的直径，弦交于点，，． （1）求半径长； （2）连接，，若，求阴影部分的面积． 24. 如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F． （1）求证：NF是⊙O的切线； （2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南明区永乐第一中学2024-2025学年度第一学期12月质量监测 九年级数学试卷 （时间：120分钟　　满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 如图，是的圆周角，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的圆周角，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 2. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的倍，即可求得结果； 【详解】解：∵的半径是 ∴中最长的弦，即直径的长为； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 3. 下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【详解】如图1，圆心角∠COD=∠AOB，但弧CD与弧AB不相等，故①错误；如图2，AB与CD都是直径，但AB与CD并不垂直，故②错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③正确；等弧的前提必须是同圆或等圆中才可以，故④错误；故选A. 4. 如图，在矩形中，，，若以点D为圆心，12为半径作，则下列各点在外的是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系即可判断得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∴ ， ∴点A在圆上，B在圆外，C在圆内，D是圆心， 故选B． 【点睛】本题考查矩形性质及点与圆的位置关系：在圆上，在圆内，在圆外． 5. 已知的半径为，如果一条直线和圆心O的距离为，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相切或相离 【答案】A 【解析】 【分析】找这条直线与这个圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可． 【详解】∵⊙O的半径r为， 如果一条直线和圆心O的距离d为，则 ， 故这条直线与这个圆的位置关系为相交． 故选：A． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，掌握点到直线的距离与半径的关系是解题关键． 6. 如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 到、的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【详解】在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确， ∵，AO=DO=BO=CO ∴（SSS） 可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确； 而由题意不能推出，故A项结论错误． 故选：A 【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系． 7. 如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　） A. 3.1 B. 4.2 C. 5.3 D. 6.4 【答案】B 【解析】 【分析】取AB的中点O，分别连接OC、OB，由垂径定理及勾股定理可求得OC的长，根据垂线段小于斜线段，则OP的值介于OC与OB之间，由此可求得结果． 【详解】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且 在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得： 点P线段BC上，则，即 由对称性，当点P在线段AC上时， ∴当点P在弦AB上时， ∵ ∴选项B符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段小于斜线段等知识，垂线段小于斜线段是问题的关键． 8. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ） A ① B. ② C. ③ D. 均不可能 【答案】A 【解析】 【详解】解：第①块出现两条完整的弦， 作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选A． 9. 如图，⊙O是的内切圆，点D、E分别为边上的点，且为⊙O的切线，若的周长为，的长是，则的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟记定理内容是解题关键．根据切线长定理，可得，则 ，据此即可求解． 【详解】解：设切点为，如图所示： ∵都和⊙O相切， ∴． ∴， ∴ 故选：A． 10. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ） A. 3：2：1 B. 1：2：3 C. 2：3：1 D. 3：1：2 【答案】B 【解析】 【分析】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，利用等边三角形的性质得 AH 平分∠BAC，则可判断点 O 在 AH 上，所以 OH＝r，连接 OB，再证明 OA＝OB＝2r，则 AH＝3r，所以 OH：OA：AH＝1：2：3． 【详解】解： 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H， ∵△ABC 为等边三角形， ∴AH 平分∠BAC，即∠BAH＝30°， ∴点 O 在 AH 上， ∴OH＝r， 连接 OB， ∵⊙O 为△ABC 的内切圆， ∴∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OA＝OB， Rt△OBH 中，OB＝2OH＝2r， ∴AH＝2r+r＝3r， ∴OH：OA：AH＝1：2：3， 即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 1：2：3． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质 11. 如图，已知⊙O的半径为6，是的弦，若，则弧的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴弧的长， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理及弧长公式，熟练掌握：同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半及弧长公式是解题的关键． 12. 圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（ ） A. 3 B. 6π C. 3π D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，掌握相应公式是解题关键． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则_______． 【答案】136 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A=∠DCE=68°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=136°， 故答案为：136． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 14. 如图，在中，弦，点C在上移动，连结，过点C作交⊙O于点D，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由勾股定理得，由为半径是定值，可知最大时最小，即当时，最小，此时D与B（或A）重合，由垂径定理得CD的最大值是，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为⊙O的半径，， ∴， ∵为半径是定值， ∴最大，最小， ∴当时，最小，此时D与B（或A）重合， 由垂径定理可得，CD的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，垂线段最短等知识．解题的关键在于确定最大时，最小． 15. 若的三条边分别为6，8，10，则的外接圆的半径是____________，内切圆的半径是____________． 【答案】 ①. 5 ②. 2 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，利用斜边为外接圆的直径计算△ABC的外接圆的半径；设内切圆的半径为，切点分别为，易知四边形是正方形，即，然后结合，，代入数值求解即可求得的内切圆的半径． 【详解】解：（1）∵的三条边分别为6，8，10，且， ∴为直角三角形，斜边长为10， ∴的外接圆的半径； （2）如下图， 设内切圆的半径为，切点分别为， 则有，，， ∵，，， ∴四边形是正方形，即， ∴，即①， ，即②， ①②联立得，， 即的内切圆的半径是2． 故答案为：5，2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形外接圆和三角形内切圆等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当______时，与坐标轴相切． 【答案】2或6或10 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．设与坐标轴的切点D，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，①当与x轴相切时，②如图，与x轴和y轴都相切时，③仅与y轴相切，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：设与坐标轴的切点为D， ∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，点， 时，时，时，，， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与x轴相切时， ∵点D是切点，的半径是2， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与x轴和y轴都相切时， ， ， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； ③如图，仅与y轴相切于点H，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或6秒或10秒时，与坐标轴相切， 故答案为：2或6或10． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知：如图，，是的直径，C是上一点，且． 求证： ． 【答案】见解析 【解析】 分析】先由得到，通过等量代换得到即可证明． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵（已知）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 18. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】△ABC是等边三角形，理由见解析. 【解析】 【分析】由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论 【详解】△ABC是等边三角形， 理由：∵ ∴AC=BC， ∵∠ADC=60°， ∴∠ABC=∠ADC=60°， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键． 19. 如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理的定义等知识． （1）利用垂径定理得出，利用同圆中等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理即可得出答案． （2）利用垂径定理得出，再利用勾股定理求出，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：∵是的一条弦，， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：∵是的一条弦，， ∴，即， 在中， ， ∴ 20. 如图，为的弦，切于点B，，与相交于点C．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆切线的定义，等边对等角以及等角对等边，直角三角形两锐角互余等知识，连接，由切线的定义可得出，由直角三角形两锐角互余得出，由等边对等角可得出，进而可得出，由对顶角相等可得出，等量代换可得出，最后由等角对等边可得出． 【详解】证明：连接， ∵切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴． 21. 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36°，求弧AC的长及扇形AOC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）2π，S=5π 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理即可证明． （2）利用弧长公式，扇形的面积公式计算即可． 【详解】解:（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD， ∴ AE=ED； （2）解：∵OC⊥AD， ∴ ， ∴∠ABC=∠CBD=36°， ∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， ∵AB=10, ∴OA=5, ∴ =， ∴S扇形AOC=. 【点睛】本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22. 如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F． （1）求证：CF=BF； （2）若AD=6，⊙O的半径为5，求BC的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出∠BAC=∠BCE；由C是弧BD的中点，得到∠DBC=∠BAC，延长∠BCE=∠DBC，即可得到结论； CF=BF． （2）连接OC交BD于G，由圆周角定理得出∠ADB=90°，由勾股定理得出BD=8，由垂径定理得出OC⊥BD，DG=BG=BD=4，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AD=3，求出CG=OC-OG=2，在Rt△BCG中，由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接AC，如图1所示： ∵C是弧BD的中点， ∴∠DBC=∠BAC， 在ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB， ∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°， ∴∠BCE=∠BAC， ∴∠BCE=∠DBC， ∴CF=BF； （2）解：连接OC交BD于G，如图2所示： ∵AB是O的直径，AB=2OC=10， ∴∠ADB=90°， ∴BD==8， ∵C是弧BD的中点， ∴OC⊥BD，DG=BG=BD=4， ∵OA=OB， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG=AD=3， ∴CG=OC-OG=5-3=2， 在Rt△BCG中， 由勾股定理得：BC=． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 23. 如图，为的直径，弦交于点，，． （1）求的半径长； （2）连接，，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、扇形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据，即可求出半径的长； （2）阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积； 【小问1详解】 解：∵为的直径，，， ∴， ∴， ∴的半径长为； 【小问2详解】 如图，作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 24. 如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识； （1）由等腰三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，则，证出，则可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为， 在中，， ， ， ， 即， 解得，， ． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F． （1）求证：NF是⊙O的切线； （2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）连接ON，根据切线的判定进行证明； （2）利用四边形ONFH为矩形的判定和垂径定理，勾股定理求解. 【详解】（1）证明：连接ON． ∵在Rt△ACB中，CD是边AB的中线， ∴CD＝BD， ∴∠DCB＝∠B， ∵OC＝ON， ∴∠ONC＝∠DCB， ∴∠ONC＝∠B， ∴ON// AB ∵ NF⊥AB ∴∠NFB＝90° ∴∠ONF＝∠NFB=90°， ∴ON⊥NF 又∵NF过半径ON的外端 ∴NF是⊙O的切线 （2）过点O作OH⊥ED,垂足为H，设⊙O的半径为r ∵OH⊥ED, NF⊥AB , ON⊥NF， ∴∠OHD＝∠NFH=∠ONF=90°． ∴四边形ONFH为矩形． ∴HF= ON=r，OH=NF=2 ∴HD=HF-DF=r－1 在Rt△OHD中，∠OHD＝90° ∴OH2＋HD2＝OD2 即22＋（r－1）2＝r2 ∴r＝． ∴HD= ∵OH⊥ED，且OH过圆心O ∴ED=2HD=3 【点睛】熟练掌握垂径定理，勾股定理及矩形的判定方法是本题的解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $