精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高二上学期12月期末模拟数学试题

高二年级上学期期未考试模拟卷 数学试卷 （120分钟 150分） 考试范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 21 C. D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为5，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为展开式通项为， 令，则. 所以的系数为. 故选：B. 2. 过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 3. 袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据袜口和脚趾颜色是否相同进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若袜口和脚趾颜色相同，则有种， 若袜口和脚趾颜色不同，则有种， 共有种． 故选:C 4. 在一次志愿者活动中，某居民小区有2男2女报名，活动方需从中选取2人，则选中1男1女的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任选人、男女的方法数，以及古典概型概率计算公式来求得正确答案. 【详解】设事件为“选中1男1女”， 由题知活动方需从报名的2男2女中选取2人， 则共有种不同的选法， 其中选取的2人中为1男1女的有种不同的选法， 故． 故选：C 5. 设，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简原式，再分子分母同时除以即可得到结果. 【详解】． 故选：D 6. 若的展开式中含的系数为15，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 7. 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、韦达定理以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】直线与轴的交点为，所以，， 所以， 联立，整理得． ， 设、，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 因此，的最小值为. 故选：C. 8. 已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点以及离心率求得，从而求得双曲线的方程，利用双曲线的定义建立等量关系式，求得原点到直线的距离，进而求得弦长. 【详解】由已知得，则，，由离心率为，可得， 所以，所以双曲线． 设的中点为，根据，得到． 由知直线与双曲线交于两支，不妨设点在左支上，点在右支上，则，所以． 设到的距离为，则，① 又， 所以，② 由①②可得．设圆的圆心到直线的距离为，则，所以直线被圆所截得的弦长为． 故选：B 【点睛】方法点睛： 对于双曲线问题，要熟练掌握双曲线的基本性质，如焦点坐标、离心率、双曲线的定义等，利用这些性质建立方程或等式求解未知量. 在解决直线与双曲线相交以及直线与圆相交的问题时，常常结合向量的垂直关系、勾股定理等知识进行分析和计算. 求直线被圆所截得的弦长，关键是求出圆心到直线的距离，然后利用弦长公式进行计算. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. “六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（ ） A. “礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B. 先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C. “御､书､数”相邻的培训方法种数为 D. “射”排在最后的培训方法种数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用捆绑法可判断AC；定序问题使用除法可判断B；先排“射”，然后全排可判断D. 【详解】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误； 对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同， 所以满足条件的排法有种，故B项正确； 对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确； 对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确． 故选：BCD 10. 记为等比数列的前项和，若，则满足不等式的的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比及首项，进而求出其前项和，再列式解不等式即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，又，解得， 因此， 整理得，解得，所以的值可能为5，6，7. 故选：ABC 11. 设曲线关于直线对称的曲线为，曲线的焦点为，则下列关于曲线的说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 以曲线的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为 C. 若直线与曲线恰有一个公共点，则 D. 从曲线上一点向准线作垂线，垂足为，若，则的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据反函数的性质，抛物线方程的性质与圆的标准方程，结合举反例以及抛物线的定义，可得答案. 【详解】易得曲线的方程为，因而选项A正确； 曲线的焦点为，故圆的半径为1，其方程为，故选项B错误； 当时，直线与抛物线也只有一个公共点，故选项C错误； 由及抛物线的性质可知，， 所以的面积为，故选项D正确． 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为84，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项结合题设列式即可得的值. 【详解】展开式通项为 ， 令，解得， 所以，展开式的常数项为，解得． 故答案为：. 13. 某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有__________种出站方法． 【答案】256 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理来求得正确答案. 【详解】每位乘客都有4种出站选择，根据分步计数原理可得种． 故答案为： 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】 ①. 1 ②. 5 【解析】 【分析】由椭圆方程可得焦点坐标，设出动点的坐标，利用向量数量积的坐标表示与椭圆方程，整理可得函数表达，可得答案. 【详解】由题意知，设， 则， 所以 ，因为，所以， 所以，则， 即的最小值为1，最大值为5. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排 （1）若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？ （2）若要求排在正中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？ 【答案】（1）720；（2）216. 【解析】 【分析】（1）利用“捆绑法”可求； （2）分，，中有1个在的左侧和有2个在的左侧讨论求解. 【详解】（1）把，，看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有（种）． （2）在正中间，所以的排法只有1种． 因为，，互不相邻， 所以，，不可能同时在的左侧或右侧． 若，，中有1个在的左侧，2个在的右侧且不相邻，则不同的排法有（种）， 若，，中有2个在的左侧且不相邻，1个在的右侧，则不同的排法有（种）． 故所求的不同排法有（种）． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为与的交点． （1）证明：直线平面． （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明证得直线平面． （2）根据锥体体积计算公式求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 底面为菱形， 平面平面， 又平面，平面． 【小问2详解】 ． 在中，， 因为平面， 所以三棱锥的体积． 17. 设椭圆方程的离心率为，上､下顶点分别为，右焦点为，且__________． 在①，②③这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点（不同于两点），且，试求直线的方程． 注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）条件选择见解析，椭圆的方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）先求得的坐标，然后对直线的斜率是否为进行分类讨论，结合根与系数关系、向量数量积运算来求得正确答案. 【小问1详解】 若选①：由，即， 且，可得，所以椭圆的方程为． 若选②：由知，又离心率，所以， 所以椭圆的方程为． 若选③：由可知，又离心率， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，椭圆的方程为，所以， 由，可得，所以． 当直线的斜率为0时，， ，不合题意． 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立得，判别式， ， 因为，所以， 即， 所以，解得或． 当时，直线经过点，不符合题意， 当时，直线，符合题意． 综上，直线的方程为． 18. 双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求该圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程得出，再将点代入方程即可得到结果. （2）由轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求出B点坐标，即可求出半径进而得到圆的方程. 【小问1详解】 由点在双曲线上，得① 由渐近线方程，得②， 解①②得，所以双曲线的标准方程为 【小问2详解】 设的中点为，过作轴，垂足为． 依题意得，即，因为，所以， 所以（为点的横坐标），得， 代入双曲线的方程，得，所以，所以． 所以以为直径的圆的圆心为， 半径， 故所求圆的方程为． 19. 已知抛物线的焦点为，坐标原点为，点、、在抛物线上，其中，直线、的倾斜角互补，直线的斜率为． （1）求抛物线的方程； （2）求直线的斜率； （3）设点到直线的距离为，当取最大值时，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，由韦达定理求出，同理得出，计算出的值，再结合直线的斜率公式可求得直线的斜率； （3）求出点、的坐标，求出直线的方程，可求出，利用抛物线的焦半径公式可得出，令，得，结合基本不等式可求得的最大值及其对应的值. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 由题意可知，直线的方程为，其中， 由,可得， 设、，则，所以． 因为直线、的倾斜角互补，所以直线、的斜率互为相反数， 同理可得，则， 所以直线的斜率． 【小问3详解】 由（2）可知，，、， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离． 因为， ， 所以 ， 令，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期期未考试模拟卷 数学试卷 （120分钟 150分） 考试范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 21 C. D. 28 2. 过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 在一次志愿者活动中，某居民小区有2男2女报名，活动方需从中选取2人，则选中1男1女的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 若的展开式中含的系数为15，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. “六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（ ） A. “礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B. 先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C. “御､书､数”相邻的培训方法种数为 D. “射”排在最后的培训方法种数为 10. 记为等比数列的前项和，若，则满足不等式的的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 设曲线关于直线对称的曲线为，曲线的焦点为，则下列关于曲线的说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 以曲线的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为 C. 若直线与曲线恰有一个公共点，则 D. 从曲线上一点向准线作垂线，垂足为，若，则的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为84，则__________． 13. 某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有__________种出站方法． 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则的最小值为__________，最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排 （1）若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？ （2）若要求排在正中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？ 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为与的交点． （1）证明：直线平面． （2）若，求三棱锥的体积． 17. 设椭圆方程的离心率为，上､下顶点分别为，右焦点为，且__________． 在①，②③这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点（不同于两点），且，试求直线的方程． 注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 18. 双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求该圆的方程． 19. 已知抛物线的焦点为，坐标原点为，点、、在抛物线上，其中，直线、的倾斜角互补，直线的斜率为． （1）求抛物线的方程； （2）求直线的斜率； （3）设点到直线的距离为，当取最大值时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $