精品解析：天津南开区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高三年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷1至2页，第II卷3至8页. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件互斥，那么.对于事件，那么. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合,再利用交集定义即得. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论、两种情况，结合绝对值不等式的解法和充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】若，当时，满足，但不成立，故充分性不成立； 当时，满足，故必要成立， 此时“”是“”是必要不充分条件； 若，由，得或， 所以“”是“”是必要不充分条件. 综上，“”是“”是必要不充分条件. 故选：B 3. 已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ） A. 26，54 B. 26，56 C. 24，54 D. 24，56 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质求解． 【详解】由题意数据的平均数为，方差为， 根据平均数和方差性质可得 数据的平均数为，方差为， 故选：A 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数和指数函数单调性得到，比较出大小. 【详解】， 故. 故选：D 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求解. 【详解】， 则， 则， 故，得， 当时，定义域为关于原点对称，且，满足题意， 故， 故选：B 6. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得且，将化求解即可. 【详解】由于关于的不等式的解集是， 所以则有且， 所以等价于， 解得，即不等式的解集为． 故选：D. 7. 已知函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得，根据周期可得，即可利用整体法求解. 【详解】， 由于直线与其图象两个相邻交点的距离等于，故，故， ， ，解得， 故单调递增区间为. 故选：C 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则平面截该正方体的外接球得到的截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，再根据直角三角形中的关系可得点到的距离等于圆心到平面的距离，再根据垂径定理求解截面圆的半径即可. 【详解】如图，连接，由题意易知， ，故四边形为平行四边形. 设，取的中点，连接， 在Rt中，， 故点到的距离为，故点到的距离为， 因此圆心到平面的距离为.由题易知球的半径， 故平面截球得到的截面圆的半径，故截面圆的面积. 故选：D 9. 已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理可得，从而得解. 【详解】根据题意，，由， 则，． 由余弦定理可得， ， 所以， 所以． 故选：A 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题： 2.本卷共11小题，共105分. 二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数在复平面内对应的点为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数对应的点知，再根据复数四则运算求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 所以. 故答案为： 11. 的二项展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的通项为， 令，则， 故常数项为， 故答案为： 12. 圆与圆的公共弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到公共弦所在的直线的距离，再由可得答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：， 即公共弦所在的直线为， 又知，则到直线的距离为： ，所以公共弦长为. 故答案为：. 13. 已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为__________；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为__________. 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件，则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为，由互斥事件、对立事件、独立事件概率公式计算可得，然后由条件概率公式计算在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率． 【详解】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件，由题意， 则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 , 记三人中恰有两人命中为事件，“三人中恰有两人命中的前提下，甲命中”为事件， 则， ， ， 故答案为：；． 14. 在中，为线段上一点.，则__________；若在线段上运动，则取值范围是__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据三点共线的知识来求得，设，利用向量数量积运算求得的表达式，然后根据二次函数的性质来求得 【详解】依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为：； 15. 已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】设，的零点转化成的实根问题，结合的图像分析出根的分布情况，分类讨论求解. 【详解】作出函数图像如下： 设，， 由图可知，至多只有四个根， 于是必有两个不等实根. 设 当时，有个根，有个根，此时有个零点， 根据二次函数根的分布可知，，解得； 当，，有个根，有个根，此时有个零点， 此时，解得， 则，时，，，符合题意； 当，，有个根，有个根，此时有个零点， 此时，解得， 则，时，，，不符合题意. 综上可知，或. 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：作出图像，从个零点切入，可分成，形式，从而分析出根的分布情况. 三､解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）求； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解， （2）根据余弦定理即可求解， （3）根据余弦定理求解,即可由二倍角公式以及和角公式求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得,故 【小问2详解】 由余弦定理可得， 由于，故， 【小问3详解】 由余弦定理可得， 故 17. 如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来证得平面. （2）利用等体积法来求得到平面的距离. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，. 因为是的中点，所以且. 又因为是的中点，直三棱柱中且， 所以且. 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由已知，可得. 根据勾股定理可得. ，， . 根据余弦定理可得， 所以，则. . 设到平面的距离为. 因为，根据三棱锥体积公式（为底面积，为高）可得： ，即，解得. 【小问3详解】 依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. ，，，. 设平面的法向量为，则，即， 令，可得，，所以. 设平面的法向量为，则，即， 令，可得，，所以. 设平面与平面夹角为，根据向量夹角公式可得： . 18. 已知离心率为的椭圆过点. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）为椭圆的左焦点，为上顶点，点在轴上，且.过点直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，构造方程组，求出椭圆方程即可； （2）利用向量垂直求出点的坐标，接着设出直线方程与椭圆方程联立，通过韦达定理求出两根之和与两根之积，最后根据向量数量积的关系求出直线的斜率，从而得到直线方程. 小问1详解】 由已知得方程组解得. 所以椭圆的方程为. 椭圆离心率，所以. 【小问2详解】 先求出点的坐标，由（1）得. 因为，向量，设，则. 由于，即， 根据向量数量积公式，得到，解得，所以. 设直线，， 代入椭圆方程，并整理得. ，展开并化简得，， 进一步得到，解得. 由韦达定理可得，. 计算，将，代入得. 把，代入上式得. 因为，即，化简得，即， 解得，所以 直线的方程为. 19. 已知等差数列和等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）； （3）求. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，从而得到公差，求出的通项公式，并根据求出的通项公式； （2）在（1）基础上，得到，累乘法得到，裂项相消法求和得到，需要能整除12，又，故，得到答案； （3）在（1）基础上得到，先求当为偶数时，表达出和，式子①+②，并化简得到，若为奇数，利用求和，从而得到答案. 【小问1详解】 ， 又为等差数列，，设公差为， 则，故的通项公式为， 又，故， 即的通项公式为； 【小问2详解】 ，其中， ， 故 ， 要想，则需要能整除12，又， 故， 此时， 故； 【小问3详解】 因为，， 所以， 故， 若为偶数，则①， ②， 式子①+②得 ， 所以， 若为奇数，则 ， 所以. 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题等， 需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 20. 已知函数. （1）求曲线在其零点处的切线方程； （2）若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）， （ii） 【解析】 【分析】（1）先求出函数零点，利用导数的的几何意义求出零点处的切线方程； （2）（i）利用导数判断函数单调性，对分类讨论求解；（ii）利用比值换元法求解. 【小问1详解】 令得，且， 零点处切线的斜率为，切点的坐标为， 故零点处的切线方程为； 【小问2详解】 （i）由得， 设，则， ① 当时，，单调递减，则方程至多有一个解； ② 当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 若方程有两个解，则，解得， 设，则， 所以在单调递减，从而，即. 所以，又， 所以时，方程有两个解. （ii）由得,所以，， 设，则有，即，， 由得，即， 设，则， 设，则， 设，则， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以存在唯一的，使得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在研究零点型的式子时，一方面可借助韦达定理对该式子单元化处理后进行研究，另一方面，可通过构造含的齐次式，令，整体换元后研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高三年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷1至2页，第II卷3至8页. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件互斥，那么.对于事件，那么. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ） A. 26，54 B. 26，56 C. 24，54 D. 24，56 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ） A B. C D. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则平面截该正方体的外接球得到的截面的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题： 2.本卷共11小题，共105分. 二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数在复平面内对应的点为，则______. 11. 的二项展开式中，常数项为__________. 12. 圆与圆的公共弦长为__________. 13. 已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为__________；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为__________. 14. 在中，为线段上一点.，则__________；若在线段上运动，则取值范围是__________. 15. 已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是__________. 三､解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）求； （3）求的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知离心率为的椭圆过点. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）为椭圆的左焦点，为上顶点，点在轴上，且.过点直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 19. 已知等差数列和等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）； （3）求. 20. 已知函数. （1）求曲线在其零点处的切线方程； （2）若方程有两个解，且. （i）求实数取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$