精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2024-2025学年高一上学期期末适应性考试数学试题

川大附中高2024级高一上期期末适应性考试 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 命题人：周冠男､张翼 审题人：邓开强 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知函数，设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 函数有两个零点 C. 在区间上单调递减 D. 有最大值，没有最小值 7. 若，，，且不等式有解，则实数a的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C D. 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数，（且）图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D. 函数，若存在，使成立，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的图象过，则________. 13. 南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为____________． 14. 已知函数的图像关于坐标原点中心对称的充要条件是函数为奇函数，将其推广：函数的图像关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．根据以上结论回答下面的问题：已知函数，则函数的图像的对称中心为__________；关于的不等式的解集为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求点的坐标. 17. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 18. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的值； （2）当时，求关于不等式的解集； （3）记在区间上的值域分别为集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 19 已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）设， ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中高2024级高一上期期末适应性考试 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 命题人：周冠男､张翼 审题人：邓开强 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对数运算公式计算即可. 【详解】原式. 故选：A 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，原命题的否定为： . 故选：C 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件举反例即可判断. 【详解】当时，，，不是的充分条件， 当时，，，也不是的必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象性质可得函数在上单调，进而可以求解. 【详解】由已知可得函数图象的对称轴为直线，且函数在区间上单调， 则或，解得或，又，即，所以或， 即的取值范围是. 故选：C 5. 已知点，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和三角函数值的符号可确定点所在的象限. 【详解】由， 可得点在第四象限 故选：D． 6. 已知函数，设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 函数有两个零点 C. 在区间上单调递减 D. 有最大值，没有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数的图象，数形结合对各个选项逐个判断即可. 【详解】在同一直角坐标系中，画出函数，的图象， 由可得，可得，可得，解得， 从而得函数图象，如图实线部分： 对于A，因为函数图象关于轴对称，所以是偶函数，正确； 对于B，根据零点的定义结合函数的图象知，函数有三个零点，分别为，错误； 对于C，从函数图象观察得在区间上单调递减，正确； 对于D，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确； 故选：B. 7. 若，，，且不等式有解，则实数a的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，不等式有解等价于，利用1的代换和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得的范围． 【详解】若，，，则 所以，当且仅当且，即时，等号成立． 不等式有解，等价于， 则，解得或， 故选：A． 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【详解】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象， 令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数，（且）图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性分析判断即可. 【详解】若，，则在上单调递增，且图象呈现下凸趋势， 是上的减函数，故A正确，BD错误； 若，，则在和上单调递减， 是上的增函数，故C正确. 故选：AC. 10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】通过与0和-1的大小关系分别计算即可. 【详解】对于一元二次不等式， 当时，函数的图象开口向上，与轴的交点为，，故不等式的解集为. 当时，函数的图象开口向下， 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 故选：ABCD. 11. 已知函数.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D. 函数，若存在，使成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 利用函数奇偶性的定义判断；B.直接计算验证；C.转化为有一个解，利用数形结合法求解；D.由 在上是增函数，转化为有解求解判断. 【详解】，令，定义域为，， 所以是奇函数，故A正确； 因为，，所以，故B错误； 方程，即为，作出函数，的图象，如图所示： 由题意知：或，解得或，故C正确； 在上是增函数，则等价于， 令，令，则， 因为存在，使得成立，所以，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的图象过，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】由条件，将点代入函数解析式，解方程求. 【详解】因为函数的图象恒过， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，由已知可得，，利用扇形面积公式结合二次函数求最值即可. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为，面积为， 由已知，则，， 所以， 所以当时，有最大值. 故答案为：. 14. 已知函数的图像关于坐标原点中心对称的充要条件是函数为奇函数，将其推广：函数的图像关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．根据以上结论回答下面的问题：已知函数，则函数的图像的对称中心为__________；关于的不等式的解集为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，设函数的对称中心为，再由奇函数的定义代入计算，即可得到其对称中心，再令，即可得到其单调性与奇偶性，即可求解不等式. 【详解】设函数的对称中心为，则为奇函数， 所以，所以， 即， 整理可得， 所以恒成立，则， 即，所以， 所以函数的对称中心为， 设，则的对称中心为，即为奇函数， 且在上单调递增，在上单调递增，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 则不等式，即， 所以，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由并集，交集和补集概念求出集合； （2），分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 时，，又， 故， 或， 故或； 【小问2详解】 ， 当时，，解得， 当时，，解得， 故的取值范围是. 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的坐标为. （1）求值； （2）若，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可； （2）由可得，，利用诱导公式化简，再结合三角函数的定义即可求解. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且，所以且，解得，即. 由三角函数定义知，，，， 故原式. 【小问2详解】 由题意，， 由三角函数定义知. 17. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】（1）； （2）且定义域为； （3）441 【解析】 【分析】（1）根据题设有，即可求参数； （2）根据数据的增长趋势确定模型，再由求参数，即可得解析式和定义域； （3）根据（1）（2）得，结合相关函数的单调性求最小值. 【小问1详解】 由题意，，可得； 【小问2详解】 由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①②不符合， 所以，选③， 则，可得，即， 综上，且定义域为； 【小问3详解】 由题意， 所以， 当，， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元； 当，在上单调递减， 此时最小值为元； 综上，的最小值是441. 18. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）记在区间上的值域分别为集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式，即可求的值. （2）根据（1）的结果，结合指数运算，将函数不等式转化为代数不等式求解. （3）结合函数的单调性，求出两函数的值域，，再根据条件，可得集合，的包含关系，进一步可求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数（且）的图象过点， 所以. 【小问2详解】 当时，不等式可化为， 也就是. 因为恒成立，所以. 所以所给不等式的解集为：. 【小问3详解】 由（1）得：，当时，函数单调递增， 且，，所以函数的值域为：； 当时，函数单调递减，所以函数值域为：. 因为是的必要条件，所以. 所以. 所以实数的取值范围为： 19. 已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）设， ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数单调性步骤即可证明； （2）①分离常数求出，结合（1）知，在上单调递减，在上单调递增，求出最小值为； ②时，，转化为在上，满足，在（1）基础上，分三种情况，得到函数的最大值和最小值，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 任取， 则， 因为，所以， 则，即， 在区间上单调递减， 同理，任取， 则， 因为，所以， 则，即， 在区间上单调递增； 【小问2详解】 ①， 当时，，故，， 当时，，由（1）知，在上单调递减， 在上单调递增， 故在，即处取得最小值，最小值为； ②时，，， 对任意实数恒成立， 等价于对任意， 只需在上，满足， 即， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增， 故，， 故，解得或（舍去）， 由于，故此时解集为， 若，则上单调递减，在上单调递增， 故，最大值为或， 若，即，则最大值为， 则有，解得， 将，，取交集，可得， 若，即，最大值为， 则有，解得， 将，，取交集，可得， 若，则在上单调递减， 故，， ，解得， 由于，故此时解集为， 综上，实数的取值范围时. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $