精品解析：四川省南充市高坪区高坪中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋季初2022级（初三）第三次质量监测 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，它的二次项系数是5，则一次项系数是（　　） A. ﹣4 B. 4 C. ﹣1 D. 1 2. 下列不是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 平行四边形 3. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是随机事件的是（　　） A. 任意画两个圆，这两个圆是等圆 B. ⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外 C. 直径所对的圆周角为直角 D. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 5. 如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（ ） A. B. C. 点O到直线的距离是5 D. 6. 已知点在函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球其数字记为p，不放回再随机摸出另一个小球其数字记为q，则p、q都是关于x的方程x2﹣x﹣2＝0的实根的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，与相切于点，连接交于点，弦，连接，若，的半径是9，则弧的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点与点关于原点对称，则点的坐标是_________． 12. 在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________． 13. 若圆锥底面圆的半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为____． 14. 如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π） 15. 过双曲线的动点作轴于点，是直线上的点，且满足，过点作轴的平行线交此双曲线于点.如果的面积为8，则的值是__________． 16. 如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号） 三、解答题（共9题，共86分） 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．连接，．若． （1）直接写出的形状； （2）若，求的度数． 19. 小明有两双不同的运动鞋放在一起，上学时间到了，他准备穿鞋上学． （1）他随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率为　 　； （2）他随手拿出两只，请用画树状图或列表法求恰好为一双的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求这两种粽子的进价； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 24. 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 25. 已知抛物线（其中，）与轴交于A、B两点（A在B左边），与轴交于点C，顶点为P，O为坐标原点且． （1）求与满足的关系式； （2）直线，与抛物线交于另一点D，若的面积为，求的值； （3）在（2）的条件下，将抛物线G平移后得到抛物线，的顶点为点O，M、N为抛物线上两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点H，若点H在直线上，求证：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季初2022级（初三）第三次质量监测 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，它的二次项系数是5，则一次项系数是（　　） A. ﹣4 B. 4 C. ﹣1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程一般形式分析得出答案． 【详解】将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式5x2﹣4x﹣1=0， 故一次项系数是﹣4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确整理为一般式是解题关键． 2. 下列不是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案． 【详解】A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项正确； B、正方形是中心对称图形，故本选项错误； C、圆是中心对称图形，故本选项错误； D、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 3. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．解题关键是掌握抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 先将抛物线化为顶点式，即，得出对称轴即可． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的对称轴是直线， 故选：C． 4. 下列事件中，是随机事件的是（　　） A. 任意画两个圆，这两个圆是等圆 B. ⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外 C. 直径所对的圆周角为直角 D. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】A 【解析】 【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断． 【详解】A．任意画两个圆，这两个圆是等圆，属于随机事件，符合题意； B．⊙O的半径为5，OP=3，点P在⊙O外，属于不可能事件，不合题意； C．直径所对的圆周角为直角，属于必然事件，不合题意； D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，属于必然事件，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（ ） A. B. C. 点O到直线的距离是5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 6. 已知点在函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据题意得出，，再根据反比例函数的增减性比较大小即可． 【详解】解： ∵， ∴在每个象限中y的值随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：D． 7. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球其数字记为p，不放回再随机摸出另一个小球其数字记为q，则p、q都是关于x的方程x2﹣x﹣2＝0的实根的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2-x-2=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵方程x2﹣x﹣2=0的实根是﹣1和2， p、q是﹣1和2的情况有2种，共有6种情况， ∴p、q都是关于x的方程x2﹣x﹣2=0的实根的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意区别是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，与相切于点，连接交于点，弦，连接，若，的半径是9，则弧的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理及弧长公式，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先根据切线的性质得出，再根据平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，继而根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径是9， ∴， 故选：B． 9. 如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 10. 定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．根据“滋生函数”的定义可得，从而可得关于，的二元一次方程组，求出，的值，进而求解． 【详解】解：的“滋生函数”是， ，即， 解得， 是关于的方程的根， ，即， ． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点与点关于原点对称，则点的坐标是_________． 【答案】（﹣2，﹣1）． 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】∵点A（2，1）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣2，﹣1）， 故答案为（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标． 12. 在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率的定义先求出黑球的个数，即可知红球个数. 【详解】解：黑球个数为：，红球个数：. 故答案为6 【点睛】本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键. 13. 若圆锥底面圆的半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的底面圆的周长， 圆锥的侧面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：，为弧长）． 14. 如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π） 【答案】5π 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式计算即可求解． 【详解】∵△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积5π． 故答案为5π． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题的关键． 15. 过双曲线的动点作轴于点，是直线上的点，且满足，过点作轴的平行线交此双曲线于点.如果的面积为8，则的值是__________． 【答案】12或4 【解析】 【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即可. 【详解】如图： 设点A的坐标为： 则点P的坐标为： 点C的纵坐标为：，代入反比例函数，点C的横坐标为： 解得： 如图： 设点A的坐标为： 则点P的坐标为： 点C的纵坐标为：，代入反比例函数，点C的横坐标为： 解得： 故答案为12或4. 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意数形结合思想在数学中的应用. 16. 如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号） 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， ， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ，故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 ，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】方法1：根据一元二次方程的解的定义把代入原方程中求出b的值，再解原方程求出另一个根即可； 方法2：利用根与系数的关系求出方程另一个根，进而求出b的值即可． 【详解】解：方法1：把代入方程得：， 解得， ∴原方程为， 解得：，． ∴的值为，方程的另一个根为． 方法2：设方程的一个根为，另一个根为， 由根与系数的关系，得：，， 即，， 解得． ∴的值为，方程的另一个根为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．连接，．若． （1）直接写出的形状； （2）若，求的度数． 【答案】（1）是等腰直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，是解答本题的关键． （1）根据题意，利用旋转的性质，得到，，由此得到答案． （2）根据题意，得到，又，得到，又，得到，故，由此得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 将绕点逆时针旋转，得到，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， 是等腰直角三角形． 【小问2详解】 由（1）知，，又， ， 又， ， 又， ， ． 19. 小明有两双不同的运动鞋放在一起，上学时间到了，他准备穿鞋上学． （1）他随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率为　 　； （2）他随手拿出两只，请用画树状图或列表法求恰好为一双的概率． 【答案】（1）； （2）画树状图如下： 【解析】 【分析】（1）根据四只鞋子中右脚鞋有2只，即可得到随手拿出一只恰好是右脚鞋的概率； （2）依据树状图即可得到共有12种等可能的结果，其中两只恰好为一双的情况有4种，进而得出恰好为一双的概率． 【详解】解：（1）∵四只鞋子中右脚鞋有2只， ∴随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率为＝， 故答案为； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两只恰好为一双的情况有4种， ∴拿出两只，恰好为一双的概率为＝． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）不存在 【解析】 【分析】（1）由题意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围； （2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0转化为3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值． 【详解】（1）∵原方程有两个实数根， ∴△≥0 即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0， ∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ， ∴1﹣4k≥0， ∴k≤， ∴当k≤时，原方程有两个实数根； （2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立， ∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k， 由x1·x2-x12-x22≥0， 得3x1·x2-（x1+x2）2≥0 ∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0， 整理得：﹣（k﹣1）2≥0， ∴只有当k=1时，上式才能成立； 又∵由（1）知k≤， ∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. 21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求这两种粽子的进价； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】（1）猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元 （2）或，当时，取得最大值为1000元 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． （1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． 【小问2详解】 解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 24. 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，连接．                图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接． 图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 25. 已知抛物线（其中，）与轴交于A、B两点（A在B左边），与轴交于点C，顶点为P，O为坐标原点且． （1）求与满足的关系式； （2）直线，与抛物线交于另一点D，若的面积为，求的值； （3）在（2）的条件下，将抛物线G平移后得到抛物线，的顶点为点O，M、N为抛物线上两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点H，若点H在直线上，求证：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）1 （3） 解：∵将抛物线G平移后得到抛物线，的顶点为点O，， ∴抛物线是解析式为， 设直线解析式为，解析式为， ∵与抛物线仅有一个公共点， ∴有唯一的解， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理：解析式为， 联立方程组， 解得 ∴， ∵H在直线上， ∴， 即， 联立方程组， 解得， ∴， 同理， 设直线解析式为， 则， 解得 ∴ ， ∴当，即时，， ∴直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式进行因式分解，可求出A点坐标，得到长度，再由C点坐标得到长度，然后利用建立等量关系即可得到关系式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行可求出直线解析式，与抛物线联立可求D点坐标，过P作轴交于点E，求出即可表示的面积，从而建立方程求解； （3）根据平移求出抛物线解析式为，然后设直线解析式为，解析式为，根据与抛物线仅有一个公共点，求出，则直线解析式为，同理求出解析式为，联立方程组，求出，根据H在直线上，得出，联立方程组，求出，同理求出，然后根据待定系数法求出的解析式为，把代入可得，故当，即时，，即直线恒过定点． 【小问1详解】 解：， 令，，解得，， 令，则， ∵， A在B左边， ∴A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴C点坐标为 设直线为，代入，得 ，解得， ∵， ∴设直线为，代入得，， ∴， ∴直线为， 直线与抛物线联立得， ，解得或， ∴D点坐标为 又∵ ∴顶点P坐标为 如图，过P作轴交于点E， 则E点横坐标为，代入直线得， ∴， ∴， 解得， ∵ ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，难度很大，需要掌握二次函数与一次函数的图像与性质和较强的数形结合能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $