2024-2025学年青岛版八年级上册数学期末复习卷

2024-2025学年青岛版八年级上册数学期末复习卷 一．选择题（共12小题） 1．剪纸是我国传统的民间艺术瑰宝，早在2009年已入选“人类非物质文化遗产代表作名录”，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 2．有一种人工制造的纳米磁性材料的直径是头发丝的十分之一，约为0.000000005米．0.000000005用科学记数法表示为（　　） A．0.5×10﹣8 B．5×10﹣8 C．0.5×10﹣9 D．5×10﹣9 3．下列计算正确的是（　　） A．x2+x2＝2x4 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣x5）4＝﹣x20 D．3x﹣2 4．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是整数，且周长是偶数，则第三边长是（　　） A．2或4 B．4 C．2或6 D．4或6 5．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（　　） A． B．（mp+nq）% C． D． 6．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 7．若20222024﹣20222022＝2023×2022n×2021，则n的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 8．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝（　　） A．120° B．110° C．135° D．150° 9．已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2 10．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 12．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共6小题） 13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 14．如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ADB的周长是 　 　． 15．若2x+5y﹣3＝0，则4x•32y的值是　 　，已知（x+2）x+5＝1，则x＝　 　． 16．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为 　 　． 17．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为 　 　． 18．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③；④；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有 　 　．（填序号） 三．解答题（共10小题） 19．△ABC是等边三角形，D是边BC（端点除外）上一动点，连接AD． （1）如图1，以AD为边作等边△ADE，连接CE． ①求证：BD＝CE； ②AB＝4，F为AC的中点，连接EF，当EF的长取最小值时，求CD的长． （2）如图2，M是AB延长线上的点，BM＝CD，N为AD的中点，连接NC，NM，求证：CN⊥MN． 20．【问题背景】 （教材原题）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．（无需证明） 【问题探究】 （1）如图2，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，∠AEF＝90°，AE＝EF，连接CF．∠DCF的度数为 　 　． （2）如图3，四边形ABCD是菱形，点E在BC上，∠AEF＝∠ABC＝α（α＞90°），AE＝EF，连接CF．探究∠DCF与∠ABC的数量关系，并证明你的结论． 21．计算：a3•a5+（a2）4+（﹣3a4）2． 22．先化简再求值：，其中x＝4． 23．解分式方程：． 24．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． （1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 25．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． （1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝　 　； （2）画出格点△ABC关于直线DE对称△A1B1C1； （3）在DE上画出点P，使PB+PC最小，并求出这个最小值． 26．定义：任意两个数a，b，按规则c＝a2+b2﹣ab运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． （1）求2，﹣3的“和方差数”． （2）若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求2a﹣2b的值． （3）若a+b＝3，ab＝4，求a，b的“和方差数”c． 27．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． （1）求规定的工期是多少天？ （2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E． （1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形； （2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC； （3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D D D D A C B B D C C 一．选择题（共12小题） 1．剪纸是我国传统的民间艺术瑰宝，早在2009年已入选“人类非物质文化遗产代表作名录”，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【解答】解：学生剪纸作品中，轴对称图形是第四个图案， 故选：D． 2．有一种人工制造的纳米磁性材料的直径是头发丝的十分之一，约为0.000000005米．0.000000005用科学记数法表示为（　　） A．0.5×10﹣8 B．5×10﹣8 C．0.5×10﹣9 D．5×10﹣9 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9． 故选：D． 3．下列计算正确的是（　　） A．x2+x2＝2x4 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣x5）4＝﹣x20 D．3x﹣2 【分析】根据负整数指数幂、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等知识点进行作答． 【解答】解：A、x2+x2＝2x2，错误； B、x6÷x2＝x4，错误； C、（﹣x5）4＝x20，错误； D、正确． 故选：D． 4．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是整数，且周长是偶数，则第三边长是（　　） A．2或4 B．4 C．2或6 D．4或6 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到2＜x＜8，又三角形周长是偶数，即可求出第三边长． 【解答】解：设三角形第三边长是x， ∴5﹣3＜x＜5+3， ∴2＜x＜8， ∵三角形的两边长分别为3和5，第三边长是整数，且周长是偶数， ∴第三边长是4或6． 故选：D． 5．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（　　） A． B．（mp+nq）% C． D． 【分析】溶液浓度＝两种浓度的盐水中的盐的总质量÷两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可． 【解答】解：∵浓度为p%的盐水m公斤中含盐p%m，浓度为q%的盐水n公斤中含盐q%n， ∴混合后溶液的浓度为， 故选：D． 6．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知． 【解答】解：AD是三角形ABC的角平分线， 则是∠BAC的角平分线， 所以AO是△ABE的角平分线，故①正确； BE是三角形ABC的中线， 则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误． 故选：A． 7．若20222024﹣20222022＝2023×2022n×2021，则n的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【分析】将20222024﹣20222022因式分解后即可求得答案． 【解答】解：20222024﹣20222022 ＝20222022×（20222﹣1） ＝20222022×（2022+1）×（2022﹣1） ＝20222022×2023×2021， 则n＝2022， 故选：C． 8．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝（　　） A．120° B．110° C．135° D．150° 【分析】先根据∠1+∠2＝140°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理得出结论． 【解答】解：∵∠1+∠2＝140°， ∴， ∵∠A+∠D+∠AMN+∠DNM＝360°，∠A+∠D+∠B+∠C＝360°， ∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝110°， 故选：B． 9．已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2 【分析】先解此分式方程，再根据题意求得所有符合条件的a的值，最后相加求和． 【解答】解：两边同时乘以x﹣2，得 ﹣（1+ax）﹣1＝3（x﹣1）， 解得x， ∴是整数，且2， 当4时，解得a＝﹣2； 当1时，解得a＝1； 当1时，解得a＝﹣7； 当2时，解得a＝﹣5； 当4时，解得a＝﹣4， ∴﹣2+1﹣7﹣5﹣4＝﹣17， 即满足条件的所有整数a的和为﹣17， 故选：B． 10．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【分析】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，NM＝ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，进而得到∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，最后由三角形内角和求出∠C即可． 【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠NDM， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 故选：D． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质求出BD，根据等腰三角形的判定求出CD，计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△BAD中，∠B＝30°，AD＝4cm， ∴BD＝2AD＝8cm，∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴DC＝AD＝4cm， ∴BC＝BD+CD＝8+4＝12（cm）， 故选：C． 12．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】（1）作PH⊥AB于H，证明△PEC≌△PHA，得到PE＝PH，同理可证PF＝PH即可得到结论； （2）根据角平分线的判定定理解答即可； （3）根据全等三角形的性质证得∠EPA＝∠HPA，∠FPB＝∠HPB，再根据四边形内角和即可证得∠APB和∠O关系． 【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H， ∵AP是∠CAB的平分线， ∴∠PAE＝∠PAH， 在△PEA和△PHA中， ， ∴△PEA≌△PHA（AAS）， ∴PE＝PH， ∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD， ∴PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴（1）正确； （2）与（1）可知：PE＝PF， 又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F， ∴点P在∠COD的平分线上， ∴（2）正确； （3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°， 又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°， ∴∠O+∠EPF＝180°， 即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°， 由（1）知：△PEA≌△PHA， ∴∠EPA＝∠HPA， 同理：∠FPB＝∠HPB， ∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°， 即∠O+2∠APB＝180°， ∴∠APB＝90°， ∴（3）错误； 故选：C． 二．填空题（共6小题） 13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≠±2　． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列出关于x的不等式，进行解答即可． 【解答】解：∵代数式若有意义， 则x2﹣4≠0， x2≠4， x≠±2， 故答案为：x≠±2． 14．如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ADB的周长是 　18　． 【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝DC，AC＝2AE＝8，根据△ABC的周长求出AB+BC＝16，求出△ABD的周长＝AB+BC，代入求出即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AE＝3， ∴AD＝DC，AC＝2AE＝6， ∵△ABC的周长为24， ∴AB+BC+AC＝24， ∴AB+BC＝24﹣6＝18， ∴△ADB的周长是AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝18， 故答案为：18． 15．若2x+5y﹣3＝0，则4x•32y的值是　8　，已知（x+2）x+5＝1，则x＝　﹣5或﹣1或﹣3　． 【分析】先逆用幂的乘方的性质和同底数幂的乘法的性质转化为以2为底数的幂相乘，再把已知条件整理后代入计算即可；根据：a0＝1（a≠0），1的任何次方为1，﹣1的偶次方为1，解答即可． 【解答】解：∵2x+5y﹣3＝0， ∴2x+5y＝3， 则4x•32y＝（22）x•（25）y ＝22x•25y ＝22x+5y ＝23 ＝8， 根据0指数的意义，得 当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5． 当x+2＝1时，x＝﹣1， 当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意． 故答案为：8，﹣5或﹣1或﹣3． 16．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为 　1或　． 【分析】由题意知当△ACP与△BPQ全等时，分△ACP≌△BPQ和△APC≌△BPQ两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【解答】解：∵点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为x cm/s，它们运动的时间为t（s），AB＝8cm，AC＝BD＝6cm， ∴AP＝t，BP＝8﹣t，BQ＝xt， ∵∠A＝∠B， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有两种情况： ①当△ACP≌△BPQ时，AP＝BQ，AC＝BP， 此时8﹣t＝6，t＝t•x， 解得t＝2，x＝1； ②当△APC≌△BPQ时，AP＝BP，AC＝BQ， 此时t＝8﹣t，x•t＝6， 解得t＝4，， 综上所述，x的值是1或， 故答案为：1或． 17．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为 　（2，3）　． 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2024除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限， 点A第二次关于x轴对称后在第四象限， 点A第三次关于y轴对称后在第三象限， 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2024÷4＝506， ∴经过第2024次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． 18．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③；④；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有 　①②③④　．（填序号） 【分析】根据角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的判定与性质等知识逐项判断，即可得到答案． 【解答】解：①∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAC＝2∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， 故①正确，符合题意； ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB， 故②正确，符合题意； ③∵CD平分△ABC的内角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°， ∴2∠DCF+∠ACB＝180°， ∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF， ∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝2∠BDC， ∴∠BDC∠BAC， 故③正确，符合题意； ④∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝∠DCF， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF， ∵∠ADB+∠CDB＝∠ADC＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°， ∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°， ∴∠DCF+∠ABD＝90°， ∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝45°∠CDB， 故④正确，符合题意； ⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴∠ADC+∠ABD＝90°， 故⑤不正确，不符合题意． 故答案为：①②③④． 三．解答题（共10小题） 19．△ABC是等边三角形，D是边BC（端点除外）上一动点，连接AD． （1）如图1，以AD为边作等边△ADE，连接CE． ①求证：BD＝CE； ②AB＝4，F为AC的中点，连接EF，当EF的长取最小值时，求CD的长． （2）如图2，M是AB延长线上的点，BM＝CD，N为AD的中点，连接NC，NM，求证：CN⊥MN． 【分析】（1）①由等边三角形的性质得出CA＝BA＝BC，EA＝DA，∠EAD＝∠CBA＝60°，∠ABC＝60°，证明△EAC≌△DAB（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE； ②由全等三角形的性质得出∠ACOE＝∠ABD＝60°，由直角三角形的性质可得出答案； （2）过点A作AP∥BC交CN的延长线于点P，连接PM，MC，证明△APN≌△DCN（AAS），由全等三角形的性质得出AP＝DC＝BM，PN＝CN，证明△PAC≌△MBC（SAS），由全等三角形的性质得出PC＝MC，∠PCA＝∠MCB，证出△PCM是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）①证明：∵△ADE，△ABC都是等边三角形， ∴CA＝BA＝BC，EA＝DA，∠EAD＝∠CBA＝60°，∠ABC＝60°， ∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CBA﹣∠CAD， 即△EAC＝△DAB． 在△EAC和△ABD中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE； ②解：∵△EAC＝△DAB， ∴∠ACOE＝∠ABD＝60°， ∵AB＝4，F为AC的中点， ∴FC＝2， 当点FE⊥CE时，EF的长取最小值， 此时，∠CFE＝30°，， ∴CD＝BC﹣BD＝BC﹣CE＝4﹣1＝3； （2）证明：过点A作AP∥BC交CN的延长线于点P，连接PM，MC， ∴∠APN＝∠DCN， ∵N是AD中点， ∴AN＝DN， 在△APN和△DCN中， ， ∴△APN≌△DCN（AAS）， ∴AP＝DC＝BM，PN＝CN， ∵AP∥CD， ∴∠PAC＝∠ACB＝180°， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠PAC＝∠MBC＝120°， 在△PAC和△MBC中， ， ∴△PAC≌△MBC（SAS）， ∴PC＝MC，∠PCA＝∠MCB， ∵∠PCA+∠PCB＝60°， ∴∠MCB+∠PCB＝60°， ∴△PCM是等边三角形， ∵PN＝CN， ∴AN⊥MN． 20．【问题背景】 （教材原题）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．（无需证明） 【问题探究】 （1）如图2，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，∠AEF＝90°，AE＝EF，连接CF．∠DCF的度数为 　45°　． （2）如图3，四边形ABCD是菱形，点E在BC上，∠AEF＝∠ABC＝α（α＞90°），AE＝EF，连接CF．探究∠DCF与∠ABC的数量关系，并证明你的结论． 【分析】【问题背景】设点M为AB的中点，连接EM，根据正方形性质及角平分线定义得∠ECF＝135°，证明△BEM为等腰直角三角形，则∠AME＝∠ECF＝135°，再证明∠MAE＝∠CEF，由此可依据“ASA”判定△AME和△ECF全等，进而由全等三角形性质得AE＝EF； 【问题探究】 （1）由“SAS”可证△AEH≌△FEC，可得∠AHE＝∠FCE＝135°，即可求出∠DCF； （2）由“SAS”可得△AEN≌△EFC，可得∠ANE＝∠ECF，由角的数量关系可求解． 【解答】【问题背景】证明：设点M为AB的中点，连接EM，如图（1）所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠DCN＝90°， ∵CF平分∠DCN， ∴∠DCF∠DCN＝45°， ∴∠ECF＝∠BCD+∠DCF＝90°+45°＝135°， ∵点E是边BC的中点，点M为AB的中点，AB＝BC， ∴BM＝AM＝BE＝CE， ∴△BEM为等腰直角三角形， ∴∠BME＝45°， ∴∠AME＝180°﹣∠BME＝180°﹣45°＝135°， ∴∠AME＝∠ECF＝135°， ∵∠B＝90°，∠AEF＝90°， ∴∠MAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°， ∴∠MAE＝∠CEF， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； 【问题探究】 （1）解：如图2，连接AC，过点E作EH⊥BC，交AC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵EH⊥BC， ∴∠HEC＝∠AEF＝90°， ∴∠EHC＝∠ECH＝45°，∠AEH＝∠CEF＝90°﹣∠FEH， ∴EH＝EC，∠AHE＝135°， 在△AEH和△FEC中， ， ∴△AEH≌△FEC（SAS）， ∴∠AHE＝∠FCE＝135°， ∴∠DCF＝∠FCE﹣∠BCE＝135°﹣90°＝45°． 故答案为：45°； （2）解：∠DCF∠ABC﹣90．理由如下： 如图3，在BC的延长线上取点G，使得∠FGE＝∠ABC＝α， 则∠FEG＝∠AEC﹣∠AEF＝∠ABC+∠BAE﹣∠AEF＝∠BAE， 又∵EF＝AE， ∴△EFG≌△AEB（AAS）， ∴FG＝BE，EG＝AB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EG＝AB＝BC， ∴BE＝CG， ∴FG＝CG， ∴∠FCG， ∴∠DCF＝∠DCG﹣∠FCG＝αα﹣90∠ABC﹣90． 21．计算：a3•a5+（a2）4+（﹣3a4）2． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【解答】解：a3•a5+（a2）4+（﹣3a4）2 ＝a8+a8+9a8 ＝11a8． 22．先化简再求值：，其中x＝4． 【分析】根据分式的乘除运算性质进行化简，在代入求值即可． 【解答】解： ， 当x＝4时，原式． 23．解分式方程：． 【分析】方程两边都乘（1+x）（1﹣x）得出（2x﹣1）（1﹣x）＝5﹣2x（1+x），求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， ， 方程两边都乘（1+x）（1﹣x），得（2x﹣1）（1﹣x）＝5﹣2x（1+x）， 2x﹣2x2﹣1+x＝5﹣2x﹣2x2， 2x﹣2x2+x+2x+2x2＝5+1， 5x＝6， x， 检验：当x时，（1+x）（1﹣x）≠0， 所以分式方程的解是x． 24．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． （1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA（180°﹣∠ABC），∠OBC∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°+∠OBC，∠ODC＝90°+∠OBD，于是得到结论； （2）①由角平分线的性质得到∠EBF＝90°﹣∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90°﹣∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE（∠BAC+∠ACB），∠FCBACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∠AOC＝∠ODC， 理由：∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）（180°﹣∠ABC）， ∵∠OBC∠ABC， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°∠ABC＝90°+∠OBC， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠ODC＝90°+∠OBD， ∴∠AOC＝∠ODC； （2）①∵BF平分∠ABE， ∴∠EBF∠ABE（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO， ∵∠ODB＝90°﹣∠OBD， ∴∠FBE＝∠ODB， ∴BF∥OD； ②∵BF平分∠ABE， ∴∠FBE∠ABE（∠BAC+∠ACB）， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠FCB∠ACB， ∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF（∠BAC+∠ACB）∠ACB∠BAC， ∵∠F＝35°， ∴∠BAC＝2∠F＝70°． 25．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． （1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝　　； （2）画出格点△ABC关于直线DE对称△A1B1C1； （3）在DE上画出点P，使PB+PC最小，并求出这个最小值． 【分析】（1）利用分割法求面积即可； （2）根据轴对称变换的性质画出图象即可； （3）利用轴对称，根据两点之间线段最短，即可得到点P的位置，利用勾股定理求出最小值 【解答】解：（1）S△ABC＝4×42×44×31×2 ＝16﹣4﹣6﹣1 ＝5． 故答案为：5． （2）△A1B1C1如图所示； （3）如图点P即为所求，PB+PC的最小值＝CB1． 26．定义：任意两个数a，b，按规则c＝a2+b2﹣ab运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． （1）求2，﹣3的“和方差数”． （2）若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求2a﹣2b的值． （3）若a+b＝3，ab＝4，求a，b的“和方差数”c． 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得ab＝a2+b2﹣ab，即a﹣b＝0，再将其代入2a﹣2b中计算即可； （3）根据题意，可知c＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝3，ab＝4代入计算即可． 【解答】解：（1）22+（﹣3）2+2×3＝19； （2）∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴ab＝a2+b2﹣ab， ∴（a﹣b）2＝0， ∴a﹣b＝0， ∴2a﹣2b＝2（a﹣b）＝0； （3）∵a+b＝3，ab＝4， ∴c＝a2+b2﹣ab ＝（a+b）2﹣3ab ＝9﹣12 ＝﹣3． 27．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． （1）求规定的工期是多少天？ （2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【分析】（1）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需（x+5）天．根据方案C，可列方程得1，解方程即可解决问题； （2）分别求得三个方案的工程款，比较即可得解． 【解答】解：设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需（x+5）天． 根据方案C，可列方程得1， 解这个方程得x＝20， 经检验：x＝20是所列方程的根， 答：规定的工期是20天； （2）据（1）知：即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以A方案的工程款为1.5×20＝30（万元）， B方案的工程款为1.1×25＝27.5（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选． C方案的工程款为1.5×4+1.1×4+1.1×16＝28（万元）， 所以选择C方案． 28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E． （1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形； （2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC； （3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠ABC＝60°，由角平分线的定义得出∠A＝∠DBA，证出AD＝BD，由线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出CEAB＝BE，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得出BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°，证出∠CBM＝∠EBN，由SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN＝∠BCM＝60°，得出∠BEN＝∠EBC，即可得出结论； （3）延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF＝PD＝DF，∠F＝∠PDQ＝60°，得到∠F＝∠PDQ＝60°，证出∠Q＝∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP，证出AD＝BD，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠DBA∠ABC＝30°， ∴∠A＝∠DBA， ∴AD＝BD， ∵DE⊥AB， ∴AE＝BE， ∴CEAB＝BE， ∴△BCE是等边三角形； （2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形， ∴BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°， ∴∠CBM＝∠EBN， 在△CBM和△EBN中， ， ∴△CBM≌△EBN（SAS）， ∴∠BEN＝∠BCM＝60°， ∴∠BEN＝∠EBC， ∴EN∥BC； （3）解：DQ＝AD+DP；理由如下： 延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，如图所示： ∵∠PDF＝∠BDC＝∠A+∠DBA＝30°+30°＝60°， ∴△PDF为等边三角形， ∴PF＝PD＝DF，∠F＝60°， ∵∠PDQ＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠F＝∠PDQ＝60°， ∴∠BDQ＝180°﹣∠BDC﹣∠PDQ＝60°， ∴∠BPQ＝∠BDQ＝60°， ∴∠Q＝∠PBF， 在△PFB和△PDQ中， ， ∴△PFB≌△PDQ（AAS）， ∴DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP， ∵∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD， ∴DQ＝AD+DP． 学科网（北京）股份有限公司 $$