第12章 2.解直角三角形及其应用-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

48 152 4 .∴ m=EPBP=3 第6题 第十二章　锐角三角函数 1. 锐角三角函数 一、 1. C 2. A 3. C 4. B 5. D 二、 6. 1 2 7. 24 25 8. 1 2 三、 9. (1) ∵ ∠ACB=∠EDF=90°,且 AC=BC= DF=DE=2cm,∴ ∠A = ∠B= ∠DFE=45°. ∴ ∠AFH+ ∠BFG = ∠BFG + ∠BGF =135°. ∴ ∠AFH=∠BGF.∴ △AFH∽△BGF.∴ AF BG= AH BF.∴ AH·BG=AF·BF.在Rt△ACB 中,AC= BC=2cm,∴ AB= AC2+BC2= 22+22=22(cm). ∵ O 是AB 的中点,点O 与点F 重合,∴ AF=BF= 2cm.∴ xy=2×2=2.∴ y= 2 x.∴ y与x之间的 函数表达式为y= 2 x (1<x<2) (2) △CGH 的周长为 2cm 理由:∵ AC=BC=2cm,AH=xcm,BG= ycm,∴ CH =(2-x)cm,CG=(2-y)cm.在 Rt△HCG 中,由勾股定理,得GH= CH2+CG2= (2-x)2+(2-y)2 = x2+y2-4(x+y)+8 = (x+y)2-2xy-4(x+y)+8cm.将(1)中xy=2代 入,得GH= (x+y)2-4(x+y)+4= (x+y-2)2= |x+y-2|cm.∵ 1<x<2,y= 2 x ,∴ 1<y<2.∴ x+ y>2.∴ GH=(x+y-2)cm.∴ △CGH 的周长= CH+CG+GH=2-x+2-y+x+y-2=2(cm). (3) 2+3或2-3 解析:① 如图①,过点F 作 FN⊥ AC于点N,作FH 的垂直平分线交FN 于点M,连接 MH,则 FM =MH.∵ ∠AFE =60°,∠A =45°, ∴ ∠AHF=75°.∵ ∠FNH=90°,∴ ∠NFH=15°. ∵ FM=MH,∴ ∠NFH=∠MHF=15°.∴ ∠NMH= 30°.在Rt△MNH 中,设 NH=kcm,则易得 MH= FM=2kcm.∴ MN = MH2-NH2 = 3kcm. ∴ FN=FM+MN=(2+ 3)kcm.在Rt△FNH 中, tan∠FHN=FNNH= (2+3)k k =2+ 3.② 如图②,过 点F 作FN⊥BC于点N,作FG 的垂直平分线交BG 于 点M,连接FM,则FM=GM.∵ ∠AFE=60°,∠B= 45°,∴ ∠FGB=∠AFE-∠B=15°.∵ GM=FM, ∴ ∠FGB=∠GFM=15°.∴ ∠FMB=30°.在Rt△FNM 中,设FN=mcm,则易得GM=FM=2mcm.由勾股定 理,得MN= FM2-FN2= 3mcm.∴ GN=GM+ MN=(2+ 3)mcm.在Rt△FNG 中,tan∠FGN= FN GN= m (2+3)m =2-3.综上所述,所求正切值为2+ 3或2-3. 第9题 2. 解直角三角形及其应用 一、 1. C 2. A 3. A 4. A 5. B 6. A 二、 7. 21 20 8. (50+503) 9. 17 10. 51 11. 74 12. (4 15-2 5) 13. 34.1 14. (6-2 3) 15. 128 三、 16. (1) ∵ AD⊥BC,AB=10,AD=6,∴ BD= AB2-AD2 = 102-62 =8.∵ tan∠ACB=1, ∴ CD=AD=6.∴ BC=BD+CD=8+6=14 (2) ∵ AE是边BC上的中线,∴ CE=12BC=7.∴ DE= CE-CD=7-6=1.∵ AD⊥BC,∴ AE= AD2+DE2= 62+12= 37.∴ sin∠DAE=DEAE= 1 37 = 3737 17. (1) ∵ E 是AB 的中点,∴ AE=BE.∵ DF=BF, ∴ EF 是△ABD 的中位线.∴ EF∥AD.∴ CF∥AD. ∵ AF∥DC,∴ 四边形AFCD 为平行四边形 (2) 由 (1)知,EF 是△ABD 的中位线,∴ AD=2EF=2. ∵ ∠EFB=90°,tan∠FEB=3,∴ BF=3EF=3. ∵ DF=FB,∴ DF=3.∵ AD∥CE,∴ ∠ADF= ∠EFB=90°.∴ AF= AD2+DF2= 13.∵ 四边形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 49 AFCD 为平行四边形,∴ CD=AF= 13.∵ DF= BF,CE⊥BD,∴ BC=CD= 13 18. 在Rt△ABC中,AB=8尺,∠ACB=73.4°,∴ tan73.4°= 8 BC.∵ tan73.4°≈3.35,∴ BC= 8tan73.4°≈2.4 (尺). 在Rt△ABD中,AB=8尺,∠ADB=26.6°,∴ tan26.6°= 8 BD.∵ tan26.6°≈0.50,∴ BD= 8tan26.6°≈16.0 (尺). ∴ CD=BD-BC=16.0-2.4=13.6(尺).由题意知, 春分和秋分时日影顶端为CD 的中点.∵ 2.4+13.62 = 9.2(尺),∴ 春分和秋分时的日影长度约为9.2尺 19. 延长AB交DC于点H,则∠AHD=90°.∵ ∠BCH= 30°,BC=6米,∴ 易得 BH=12BC=3 米,CH= 3 2BC=33 米.∵ ∠ADC=45°,∴ AH=DH=CD+ CH=(4+33)米.∴ AB=AH-BH=4+33-3= 1+33≈6.2(米).∴ 树AB 的高度约为6.2米 20. 过点M 作MN⊥AB,垂足为N.由题意知,四边形 CMNB是矩形.∴ CM=BN=1.5米,MN=CB=6米, AN=AB-BN=6.3-1.5=4.8(米).在Rt△DMN 中,∵ tan∠DMN=DNMN ,∴ DN=MN·tan∠DMN= MN·tan30°=6× 33=23 (米).在Rt△AEF 中, ∵ sin∠AEF=AFEF ,∴ AF=EF·sin∠AEF=EF· sin45°=4× 22=22 (米).∵ AF+DN=AN+DF, ∴ DF=23+22-4.8≈2×1.73+2×1.41-4.8≈ 1.5(米).∴ 中轴上DF 的长约为1.5米 21. (1) 设AD 与圆交于点M,连接BM,则∠AMB= ∠APB.∵ 易知∠AMB>∠ADB,∴ ∠APB>∠ADB (2) ∵ ∠APH=60°,PH=6m,tan∠APH=AHPH , ∴ AH=PH·tan60°=6×3=63(m).∵ ∠APB= 30°,∴ ∠BPH=∠APH-∠APB=60°-30°=30°. ∵ tan∠BPH=BHPH ,∴ BH=PH·tan30°=6× 33= 23(m).∴ AB=AH-BH=63-23≈6.9(m). ∴ 塑像AB 的高约为6.9m 22. 如图,过点C作CD⊥AE,交AE 的延长线于点D. 设BD=xm.∵ AB=10m,∴ AD=AB+BD=(x+ 10)m.在Rt△BCD 中,∠CBD=45°,∴ CD=BD· tan45°=x m.在 Rt△ACD 中,∠A=42°,∴ CD= AD·tan42°≈0.9(x+10)m.∴ x=0.9(x+10),解得 x=90.∴ CD=90m.∵ 水平观景台的海拔为1600m, ∴ 对面山顶点C处的海拔约为1600+90=1690(m) 第22题 23. (1) 由题意可知,PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB= CD=EQ=1.6m,AE=BQ=4m,AC=BD=3m, ∴ CE=AE-AC=4-3=1(m),PE=PQ-EQ= 2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°.∴ CE=PE.∴ β= ∠PCE=45°,tanα=tan∠PAE=PEAE= 1 4 (2) ∵ CE= PE=1m,∠CEP=90°,∴ CP= 12+12=2(m).过 点C作 CH⊥AP于点H.∵ tanα=tan∠HAC=CHAH= 1 4 ,∴ 设CH=xm,则AH=4xm.∵ 在Rt△AHC 中,CH2+AH2=AC2,∴ x2+(4x)2=9,解得x= 3 17 17 (负值舍去).∴ CH=3 1717 m.∴ sin∠APC= CH CP= 3 17 17 2 =3 3434 24. (1) 35° (2) 如图,过点A作AE⊥CD 于点E.易得 四边形ABCE为矩形,∴ CE=AB=1.6m,AE=BC= 16.8m.在 Rt△ADE 中,tanα=DEAE ,∴ DE=AE· tanα≈16.8×0.7=11.76(m).∴ CD=CE+DE≈13.4m. ∴ 旗杆CD 的高度约为13.4m (3) 不能 ∵ 只有含 30°、60°角的三角尺和含45°角的三角尺,而点B 处测得 的仰角为35°,∴ 三角尺测不出仰角α的度数.如图,在 AE上取点F,使EF=DE,连接DF,则△DEF为等腰直 角三角形,∠DFE=45°.∴ EF=DE≈11.8m.∵ AE= 16.8m,∴ AF=AE-EF=5m.∴ 向右走5m,用含 45°角的三角尺测量即可(答案不唯一) 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 50 25. 连接DF 交AH 于点G.由题意,得CD=EF= GH=1.6m,DF=CE=182m,DF⊥AH.设DG= xm,则FG=DF-DG=(182-x)m.在Rt△ADG 中, ∠ADG=45°,∴ AG=DG·tan45°=xm.在Rt△AFG 中,∠AFG=53°,∴ AG=FG·tan53°≈43 (182-x)m. ∴ x=43 (182-x),解得x=104.∴ AG=104m. ∴ AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m).∴ 风电塔 筒AH 的高度约为105.6m 26. (1) 在Rt△ABC 中,∠A=45°,∴ ∠ABC=45°. ∴ BC=AC=20cm (2) 由题意可知,ON=EC= 1 2AC=10cm ,∴ 易得BN=ON=10cm.又∵ ∠DON= 32°,∴ DN=ON·tan∠DON=10·tan32°≈10× 0.62=6.2(cm).∴ BD=BN-DN=10-6.2= 3.8(cm).∴ 点B、D 之间的距离约为3.8cm 27. (1) 设CD=xm.∵ DE=36m,∴ CE=CD+ DE=(x+36)m.∵ EC⊥AB,∴ ∠BCE=∠ACD= 90°.∵ tan∠CDB=BCCD ,∠CDB=45°,∴ BC=CD· tan∠CDB=x·tan45°=xm.∵ tan∠CEB=BCCE , ∠CEB=31°,∴ BC=CE·tan∠CEB=(x+36)· tan31°m.∴ x= (x+36)·tan31°,解 得 x= 36×tan31° 1-tan31°≈ 36×0.6 1-0.6=54.∴ 线段CD 的长约为54m (2) ∵ tan∠CDA=ACCD ,∠CDA=6°,∴ AC=CD· tan∠CDA≈54×0.1=5.4(m).∴ AB=AC+BC≈ 5.4+54≈59(m).∴ 桥塔AB 的高度约为59m 28. (1) 如图①,过点C作CE⊥AD,垂足为E.由题意, 得AB=CE=10cm,BC=AE=20cm.∵ AD=50cm, ∴ DE=AD-AE=50-20=30(cm).在Rt△CED 中, CD= CE2+DE2= 102+302=10 10(cm).∴ 可 伸缩支撑杆CD 的长度为10 10cm (2) 如图②,过 点D 作DF⊥BC,交BC 的延长线于点F,交AD'于点 G.由题意,得AB=FG=10cm,AG=BF,∠AGD= 90°.在 Rt△ADG 中,tanα=DGAG= 3 4 ,∴ 设 DG= 3xcm,则 AG=4xcm.∴ AD = AG2+DG2 = (4x)2+(3x)2=5x(cm).∵ AD=50cm,∴ 5x= 50,解得x=10.∴ AG=40cm,DG=30cm.∴ DF= DG+FG=30+10=40(cm),BF=AG=40cm. ∵ BC=20cm,∴ CF=BF-BC=40-20=20(cm).在 Rt△CFD 中,CD = CF2+DF2 = 202+402 = 205(cm).∴ 此时可伸缩支撑杆CD 的长度为205cm 第28题 29. (1) 如图,过点B 作BE⊥AC 于点E.由题意,得 ∠DAB=90°.∵ ∠DAC=30°,∴ ∠EAB=60°,则∠EBA= 30°.∴ 易得AE=12AB=1 千米,BE= 3AE= 3千 米.∵ C 在B 的北偏西15°方向上,∴ ∠EBC=90°- 30°-15°=45°.∴ △EBC 是等腰直角三角形.∴ CE= BE= 3千米,则易得BC= 2BE= 2× 3= 6≈ 2.5(千米).∴ BC 的长度约为2.5千米 (2) 如图,过 点C作CF⊥AD 于点F.由(1)知,AE=1千米,CE= 3千米,∴ AC=AE+CE=(1+3)千米.在Rt△ACF 中,∠CAF=30°,∴ 易得CF=12AC= 1+3 2 千米, AF=3CF= 3+32 千米.∵ D 在C 的北偏西60°方向 上,∴ ∠DCF=90°-60°=30°.∴ 易得 DF=CF 3 = 3+3 6 千米,CD=2DF= 3+33 千米.∴ AD+AB= 3+3 6 + 3+3 2 +2= 23+12 3 ≈5.15 (千米);CD+ BC= 3+33 + 6≈4.03 (千米).∴ CD+BC<AD+ AB.∴ 甲选择的路线较近 第29题 30. 由题意,得DF=CE=24米,AG=EF=CD=1.2米, ∠BDG=37°,∠BFG=45°.在Rt△BDG中,tan∠BDG= tan37°=BGDG≈0.75 ,∴ DG=BG0.75 米.在Rt△BFG 中, ∵ ∠BFG=45°,∴ FG=BG.∵ DF=24米,∴ DG- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 FG=BG0.75-BG=24 米.∴ BG=72米.∴ AB=72+ 1.2=73.2(米).∴ 塔AB 的高度约为73.2米 31. (1) ∵ GH⊥CE,EF 的长为4米,∠CFG=60.3°, ∴ tan∠CFE=tan60.3°=CEEF≈1.75.∴ CE=7米. ∵ ∠BFG=45°,∴ BE=EF=4米.∴ CB=CE-BE= 3米 (2) 过点A 作AM⊥GH 于点M.∵ ∠AFG= 21.8°,∴ tan∠AFG=tan21.8°=AMMF≈0.4.∵ AM= BE=4米,∴ MF=10米.∴ AB=ME=MF-EF= 10-4=6(米).∴ 底座的底面ABCD 的面积约为3× 6=18(平方米) 32. (1) 11.3 解析:∵ 影长EF 恰好等于小张的身高 DE,∴ △DEF 是等腰直角三角形.由平行投影的性质, 易得△ABC是等腰直角三角形.∴ BC=AB=11.3m. (2) 由 题 意 知,∠DCE = ∠ACB.又 ∵ ∠DEC= ∠ABC=90°,∴ △DEC∽△ABC.∴ DE AB = EC BC ,即 1.5 AB= 2 16.∴ AB=12m.∴ 旗杆的高度为12m (3) ∵ ∠CDG = ∠ADB,∠CGD = ∠ABD =90°, ∴ △DCG∽△DAB.∴ CG AB= DG DB. 设AB=xm,BD= ym,则 1.8 x = 1.5 y ,∴ y= 5 6x. 同理,可得C'G' AB = D'G' D'B . ∴ 1.2 x = 2 24+y.∴ 1.2 x = 2 24+56x ,解得x=28.8.经检 验,x=28.8是原分式方程的解,且符合题意.∴ AB≈ 29m.∴ 雕塑的高度约为29m 第十三章　立体图形的展开、 　　　折叠与三视图 一、 1. C 2. B 3. A 4. A 5. A 6. A 7. B 8. D 9. C 10. B 11. A 12. D 13. C 14. A 15. C 16. A 17. C 18. D 19. D 20. B 21. A 22. D 23. D 24. C 25. C 26. B 27. A 28. B 29. A 30. B 31. D 32. C 33. B 34. B 35. C 36. A 二、 37. (1) AD AB 的值为2 解析:如图①,由折叠和题意 可知,GH=AE+FB,AH=DH.∵ 四边形EFNM 是 正方形,∴ EM=EF,即 AG=EF.∴ GH+AG= AE+FB+EF,即AH=AB.∵ AH=DH,∴ AD AB= AH+DH AB =2. (2) C 解析:由题图④可知,“吉”和“如”在对应面上, “祥”和“意”在对应面上,且对应面中间相隔一个几何图 形,字体方向相反,∴ C选项符合题意. (3) 所用卡纸数量及总费用如下表,设计示意图如图② ③④所示(答案不唯一) 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 所需卡纸的数量(单位:张) 1 3 2 所用卡纸总费用(单位:元) 58 第37题 第十四章　图形的变换 1. 平移变换 一、 1. B 2. A 3. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 165 2. 解直角三角形及其应用 ▶ 相应“答案与解析”见P48 一、 选择题 1. (2024·南充)如图,在Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠B=30°,BC=6,AD 平分∠CAB 交 BC 于点D,E 为边AB 上一点,连接DE,则 线段DE 长的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 第1题 第2题 2. (2024·包头)如图,在矩形ABCD 中,E、F 是边BC 上两点,且BE=EF=FC,连接 DE、AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若 AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为 ( ) A. 10 10 B. 310 10 C. 1 3 D. 2 3 3. (2024·长春)2024年5月29日16时12分, “长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭 在黄海海域成功发射.如图,当火箭上升到 点A 时,位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a千米,仰角为θ,则此时火 箭距海平面的高度AL 为 ( ) 第3题 A. asinθ千米 B. a sinθ 千米 C. acosθ千米 D. a cosθ 千米 4. (2024·雅安)在数学课外实践活动中,某小 组测量一栋楼CD 的高度(如图),他们在A 处仰望楼顶,测得仰角为30°,再往楼的方向 前进50米至B 处,测得仰角为60°,那么这 栋楼的高度为(人的身高忽略不计) ( ) A. 253米 B. 25米 C. 252米 D. 50米 第4题 第5题 5. (2024·德阳)某校学生开展综合实践活动, 测量一建筑物CD 的高度,在建筑物旁边有 一高度为10米的小楼房AB,小李在小楼房 楼底B 处测得C 处的仰角为60°,在小楼房 楼顶A 处测得C 处的仰角为30°(AB、CD 在同一平面内,点B、D 在同一水平面上), 则建筑物CD 的高度为 ( ) A. 20米 B. 15米 C. 12米 D. (10+53)米 6. (2024·深圳)如图,为了测量某电子厂AB 的高度,小明用高1.8m的测量仪EF 测得 顶端A 的仰角为45°,小军在小明的前面5m 处用高1.5m的测量仪CD 测得顶端A 的 仰角为53°,则电子厂AB 的高度约为 参考 数据:sin53°≈45 ,cos53°≈35 ,tan53°≈43 ( ) 第6题 A. 22.7m B. 22.4m C. 21.2m D. 23.0m 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　锐角三角函数　　　　 166 二、 填空题 7. (2024·巴中)如图,矩形ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O,DE⊥AC 于点E,延长 DE 与BC 交于点F.若AB=3,BC=4,则 点F 到BD 的距离为 . 第7题 第8题 8. (2024·绥化)如图,用热气球的探测器测一 栋楼的高度,从热气球上的点A 测得该楼顶 部点C 的仰角为60°,测得底部点B 的俯角 为45°,点 A 与楼BC 的水平距离AD= 50m,则这栋楼的高度为 m(结果 保留根号). 9. (2024·盐城)如图,小明用无人机测量教学 楼AB 的高度,将无人机垂直上升到距地面 30m的点P 处,测得教学楼底端点A 的俯 角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞 行26.6m至点Q 处,测得教学楼顶端点B 的俯角为45°,则教学楼AB 的高度约为 m(结果精确到1m,参考数据: sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75). 第9题 第10题 10. (2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游 景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一 次综合实践活动中,某数学小组用无人机 测量黄鹤楼AB 的高度.具体过程如下:如 图,将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处,测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45°, 底端B 的俯角为63°,则黄鹤楼AB 的高度 约为 m(参考数据:tan63°≈2). 11. (2024·泰安)在综合实践课上,某数学兴 趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段 的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞 一架无人机.如图,无人机在河上方距水面 高60米的点P 处测得瞭望台正对岸A 处 的俯角为50°,测得瞭望台顶端C 处的俯角 为63.6°.已知瞭望台BC 高12米(图中点 A、B、C、P 在同一平面内),则大汶河此河 段的宽AB 约为 米 参考数据: sin40°≈35 ,sin63.6°≈910 ,tan50°≈65 , tan63.6°≈2 . 第11题 12. (2024·眉山)如图,斜坡CD 的坡度i=1∶ 2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大 树在斜坡上的影子BE 长为10米,则大树 AB 的高为 米. 第12题 13. (2024·宁夏)如图①所示为三星堆遗址出 土的陶盉(hè),图②是其平面示意图.已知 管状短流AB=2cm,四边形BCDE 是器 身,BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 167 120°,∠CBE=80°,器身底部CD 距地面的 高度为21.5cm,则该陶盉管状短流口A 距 地面的高度约为 cm(结果精确到 0.1cm,参 考 数 据:sin80°≈0.9848, cos80°≈0.1736,tan80°≈5.6713,3≈ 1.732). 第13题 14. (2024·湖南)如图①所示为《天工开物》记 载的用于舂(chōng)捣谷物的工具———“碓 (duì)”的结构简图,图②为其平面示意图. 已知AB⊥CD 于点B,AB 与水平线l相交 于点 O,OE⊥l.若 BC=4dm,OB= 12dm,∠BOE=60°,则点C 到水平线l的 距离CF为 dm(结果保留根号). 第14题 15. (2024·福建)无动力帆船是借助风力前行 的.如图所示为帆船借助风力航行的平面 示意图,其中帆船航行方向与风向所在直 线的夹角(∠PDA)为70°,帆与航行方向的 夹角(∠PDQ)为30°,风对帆的作用力F 为400N.根据物理知识,F 可以分解为两 个力F1与F2,其中与帆平行的力F1不起 作用,与帆垂直的力F2又可以分解为两个 力f1与f2,f1与航行方向垂直,被舵的阻 力抵消,f2与航行方向一致,是真正推动帆 船前行的动力.在物理学上常用线段的长 度表示力的大小,据此,建立数学模型:F= AD=400,则f2=CD= (单位:N, 参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77). 第15题 三、 解答题 16. (2024·浙江)如图,在△ABC 中,AD⊥ BC,AE 是 边BC 上 的 中 线,AB=10, AD=6,tan∠ACB=1.求: (1) BC 的长; (2) sin∠DAE 的值. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　锐角三角函数　　　　 168 17. (2024·北京)如图,在四边形ABCD 中,E 是AB 的中点,DB、CE 交于点F,DF= FB,AF∥DC. (1) 求证:四边形AFCD 为平行四边形; (2) 若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF= 1,求BC 的长. 第17题 18. (2024·成都)我国古代运用“土圭之法”判 别四季.夏至时日影最短,冬至时日影最 长,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬 至日影长度的平均数.某地学生运用此法 进行实践探索,如图,在示意图中,产生日 影的杆子AB 垂直于地面,AB 长8尺.在 夏至时,杆子AB 在太阳光线AC 照射下产 生的日影为BC;在冬至时,杆子AB 在太 阳光线AD 照射下产生的日影为BD.已知 ∠ACB=73.4°,∠ADB=26.6°,求春分和 秋分时的日影长度(结果精确到0.1尺,参 考数据:sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89, tan26.6°≈0.50,sin73.4°≈0.96,cos73.4°≈ 0.29,tan73.4°≈3.35). 第18题 19. (2024·通辽)在综合与实践活动课上,活 动小组测量一棵垂直于水平面的树的高 度.如图,在点C 处测得树底端点B 的仰角 是30°,BC=6米,在与点C 相距4米的 点D 处测得树顶端点A 的仰角为45°,求 树AB 的高度(结果精确到0.1米,AB、 BC、CD 在同一平面内,点C、D 在同一水 平线上,参考数据:3≈1.73). 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 169 20. (2024·达州)“三汇彩亭会”是达州市渠县 三汇镇独有的传统民俗文化活动,起源于 汉代,融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一 体(如图①).在一次展演活动中,某数学兴 趣小组将彩亭抽象成如图②所示的示意 图,AB 是彩亭的中轴,甲同学站在C 处借 助测角仪观察,发现中轴AB 上的点D 的 仰角是30°,他与彩亭中轴的距离BC=6米, 乙同学在观测点E 处借助无人机技术进行 测量,测得AE 平行于水平线BC,中轴AB 上的点F 的俯角∠AEF=45°,点E、F 之 间的距离是4米.已知彩亭的中轴AB= 6.3米,甲同学的眼睛到地面的距离MC= 1.5米.请根据以上数据,求中轴上DF 的 长(结果精确到0.1米,参考数据:3≈ 1.73,2≈1.41). 第20题 21. (2024·河南)如图①,塑像AB 在底座BC 上,点D 是人眼所在的位置.当点B 高于 人的水平视线DE 时,由远及近看塑像,会 在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最 大.研究发现:当经过A、B 两点的圆与水 平视线DE 相切时(如图②),在切点P 处 感觉看到的塑像最大,此时∠APB 为最大 视角. (1) 请仅就图②的情形证明∠APB> ∠ADB; (2) 经测量,最大视角∠APB 为30°,在点 P 处看塑像顶部点A 的仰角∠APE 为 60°,点P 到塑像的水平距离PH 为6m,求 塑像AB 的高(结果精确到0.1m,参考数 据:3≈1.73). 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　锐角三角函数　　　　 170 22. (2024·陕西)如图,一座小山山顶处的水 平观景台的海拔为1600m,小明想利用这 个观景台测量对面山顶点C 处的海拔.他 在该观景台上选定了一点A,在点A 处测 得点C 的仰角∠CAE=42°,再在AE 上选 一点B,在点B 处测得点C 的仰角为45°, AB=10m(点A、B、C、E 在同一平面内). 求对面山顶点C 处的海拔(小明身高忽略 不计,参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈ 0.74,tan42°≈0.90). 第22题 23. (2024·河北)中国的探月工程激发了同学 们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户 的最高点P 恰好看到一颗星星,此时淇淇 距窗户的水平距离BQ=4m,仰角为α;淇 淇向前走了3m后到达点D,透过点P 恰 好看到月亮,仰角为β,如图所示为平面示 意图.已知淇淇的眼睛与水平地面BQ 的 距离AB=CD=1.6m,点P 到BQ 的距离 PQ=2.6m,AC 的延长线交PQ 于点E (图中所有点均在同一平面内).求: (1) β的大小及tanα的值; (2) CP 的长及sin∠APC 的值. 第23题 24. (2024·新疆)数学活动课上为了测量学校 旗杆的高度,某小组进行了以下实践活动: 【准备测量工具】 ① 测角仪:把一根细线固定在半圆形量角 器的圆心处,细线的另一端系一个小重物, 制成一个简单的测角仪(如图①),利用它 可以测量仰角或俯角;② 皮尺. 【实地测量数据】 ① 将这个测角仪用手托起,拿到眼前,使视 线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高 点(如图②);② 用皮尺测出所站位置到旗 杆底部的距离为16.8m,眼睛到地面的距 离为1.6m. 【计算旗杆高度】 (1) 根据图③中测角仪的读数,得出仰角α 的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 171 (2) 根据测量数据,画出示意图④,AB= 1.6m,BC=16.8m,求旗杆CD 的高度 (结果精确到0.1m,参考数据:sin35°≈ 0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin55°≈ 0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43). (3) 若测量者仍站在原处(点B),能否用三 角尺替代测角仪测出仰角α? 若能,请写出 测量方法.若不能,该如何调整位置才能用 三角尺测出仰角α? 请写出测量方法. 第24题 25. (2024·甘肃)甘肃省风能资源丰富,风力 发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料 得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常 重要,它的高度是一个重要的设计参数.于 是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的 实践活动.如图,一风电塔筒AH 垂直于地 面,测角仪CD、EF 在AH 两侧,CD= EF=1.6m,点C 与点E 相距182m(点 C、H、E 在同一条直线上),在D 处测得筒 尖顶点A 的仰角为45°,在F 处测得筒尖顶 点A 的仰角为53°.求风电塔筒AH 的高 度 参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35, tan53°≈43 . 第25题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　锐角三角函数　　　　 172 26. (2024·贵州)综合与实践:小星学习解直 角三角形知识后,结合光的折射规律进行 了如下综合性学习. 【实验操作】 第一步:将长方体空水槽放置在水平桌面 上,一束光线从水槽边沿A 处投射到底部 B 处,入射光线与水槽内壁AC 的夹角为 ∠A; 第二步:向水槽注水,水面与AC 的交点E 为AC 的中点,停止注水(直线 NN'为法 线,AO 为入射光线,OD 为折射光线). 【测量数据】 如图,点A、B、C、D、E、F、O、N、N'在同一 平面内,测得AC=20cm,∠A=45°,折射 角∠DON=32°. 【解决问题】 根据以上实验操作和测量的数据,求: (1) BC 的长; (2) 点B、D之间的距离(结果精确到0.1cm, 参考数据:sin32°≈0.53,cos32°≈0.85, tan32°≈0.62). 第26题 27. (2024·天津)综合与实践活动中,要用测 角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的 高度(如图①).某学习小组设计了一个方 案:如图②,点C、D、E 依次在同一条水平 直线上,DE=36m,EC⊥AB,垂足为C. 在D 处测得桥塔顶部B 的仰角(∠CDB) 为45°,测得桥塔底部A 的俯角(∠CDA) 为6°,又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角 (∠CEB)为31°.求: (1) 线段CD 的长(结果取整数); (2) 桥塔AB 的高度(结果取整数,参考数 据:tan31°≈0.6,tan6°≈0.1). 第27题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 173 28. (2024·苏州)如图①所示为某种可调节支 撑架,BC 为水平固定杆,竖直固定杆AB⊥ BC,活动杆AD 可绕点A 旋转,CD 为液压 可伸缩支撑杆.已知 AB=10cm,BC= 20cm,AD=50cm. (1) 如图②,当活动杆AD 处于水平状态 时,求可伸缩支撑杆CD 的长度(结果保留 根号); (2) 如图③,当活动杆AD 绕点A 由水平 状态按逆时针方向旋转角度α,且tanα=34 (α为锐角)时,求此时可伸缩支撑杆CD 的 长度(结果保留根号). 第28题 29. (2024·重庆B卷)如图,A、B、C、D 分别 是某公园四个景点,B 在A 的正东方向上, D 在A 的正北方向上,且在C 的北偏西 60°方向上,C 在A 的北偏东30°方向上,且 在B 的北偏西15°方向上,AB=2千米(参 考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45). (1) 求BC 的长度(结果精确到0.1千米). (2) 甲、乙两人从景点D 出发去景点B,甲 选择的路线为D→C→B,乙选择的路线为 D→A→B.请计算说明谁选择的路线较近. 第29题 30. (2024·宿迁)双塔是古黄河宿迁景观带的 标志性建筑之一,由九层的九龙塔和七层 的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测 量七凤塔高度的实践活动,该小组制定了 测量方案,在实地测量后撰写活动报告,报 告部分内容如下表: 测量七凤塔高度 测量 工具 测角仪、 皮尺等 活动 形式 以小组 为单位 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　锐角三角函数　　　　 174 续表 测量示意图 测量步骤及结果 第30题 如图,步骤如下: ① 在C 处使用 测角仪测得塔的 顶部点B 的仰角 ∠BDG=37°; ② 沿着 CA 方 向走到E 处,用 皮尺测得CE= 24 米; ③ 在E 处使用 测角仪测得塔的 顶部点B 的仰角 ∠BFG=45°. … 已知测角仪的高度为1.2米,点C、E、A 在 同一水平直线上.根据以上信息,求塔AB 的高度(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈ 0.80,tan37°≈0.75). 31. (2024·湖南)某数学研究性学习小组在老 师的指导下,利用课余时间进行测量活动. 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 续表 活动 过程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑, 其底座的底面为矩形ABCD,其 示意图如图所示: 第31题 测绘过 程与数 据信息 ① 在水池外取一点E,使得点C、 B、E 在同一条直线上; ② 过点E 作GH⊥CE,并沿EH 方向前进到点F,用皮尺测得EF 的长为4米; ③ 在 点 F 处 用 测 角 仪 测 得 ∠CFG=60.3°,∠BFG=45°, ∠AFG=21.8°; ④ 用计算器计算,得sin60.3°≈ 0.87,cos60.3°≈0.50,tan60.3°≈ 1.75,sin21.8°≈0.37,cos21.8°≈ 0.93,tan21.8°≈0.40. 请根据表格中提供的信息,求(结果保留 整数): (1) 线段CE 和BC 的长度; (2) 底座的底面ABCD 的面积. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 175 32. (2024·自贡)为测量水平操场上旗杆的高 度,九年级(2)班各学习小组运用了多种测 量方法. (1) 如图①,小张在测量时发现,自己在操 场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此 时,小组同学测得旗杆AB 的影长BC 为 11.3m,据此可得旗杆的高度为 m. (2) 如图②,小李站在操场上点E 处,前面 水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶 部A.小组同学测得小李的眼睛距地面的 高度DE=1.5m,小李到镜面的距离EC= 2m,镜面到旗杆的距离CB=16m.求旗杆 的高度. 第32题 (3) 小王所在小组采用如图③所示的方法 测量,结果误差较大.在更新测量工具,优 化测量方法后,测量精度明显提高,研学旅 行时,他们利用自制工具,成功测量了江姐 故里广场雕塑的高度.方法如下:如图④, 在透明的塑料软管内注入适量的水,利用 连通器原理,保持管内水面M、N 两点始终 处于同一水平线上.如图⑤,在支架上端P 处,用细线系小重物Q,标高线PQ 始终垂 直于水平地面.如图⑥,在江姐故里广场上 点E 处,同学们用注水管确定与雕塑底部 B 处于同一水平线的D、G 两点,并标记观 测视线DA 与1.8m标高线交于点C,即 CG=1.8m,测得DG=1.5m.将观测点D 后移24m到D'处,标记观测视线DA 与 1.2m标高线交于点C',即C'G'=1.2m, 测得D'G'=2m.求雕塑的高度(结果精确 到1m). 第32题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　锐角三角函数