第8章 4.直角三角形与勾股定理-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

109 4. 直角三角形与勾股定理 ▶ 相应“答案与解析”见P28 一、 选择题 1. (2024·巴中改编)我国古代数学著作《九章 算术》中有这样一个问题:“今有方池一丈, 葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸 齐.问水深几何?”大意如下:如图,有一个边 长为1丈的正方形水池,在水池正中央有一 根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇 拉向水池一边的岸边,它的顶端恰好碰到池 边的水面,则水池的深度为(注:1丈=10尺) ( ) A. 8尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 第1题 第2题 2. (2024·浙江)如图,正方形ABCD 由四个全 等的直角三角形(Rt△ABE、Rt△BCF、 Rt△CDG、Rt△DAH)和中间一个小正方形 EFGH 组成,连接DE.若AE=4,BE=3, 则DE 的长为 ( ) A. 5 B. 26 C. 17 D. 4 3. (2024·眉山)如图①是北京国际数学家大 会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的 “弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成 的.若图①中大正方形的面积为24,小正方 形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成 如图②所示的图形,则图②中大正方形的面 积为 ( ) 第3题 A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 4. (2024·资阳)第14届国际数学教育大会 (ICME-14)会标如图①所示,会标中心的图 案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如 图②所示的“弦图”是由四个全等的直角三 角形 (Rt△ABE、Rt△BCF、Rt△CDG、 Rt△DAH)和一个小正方形EFGH 拼成的 大正方形ABCD.若EF∶AH=1∶3,则 sin∠ABE 的值为 ( ) 第4题 A. 5 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 25 5 5. (2024·安徽)如图,在Rt△ABC 中,AC= BC=2,点D 在AB 的延长线上,且CD= AB,则BD 的长为 ( ) A. 10-2 B. 6-2 C. 22-2 D. 22-6 第5题 第6题 6. (2024·陕西)如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,AD 是边BC 上的高,E 是DC 的中点, 连接AE,则图中的直角三角形共有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. (2024·临夏)如图,O 是坐标原点,菱形 ABOC的顶点B 在x轴的负半轴上,顶点C 的坐标为(3,4),则顶点A 的坐标为 ( ) 第7题 A. (-4,2) B. (-3,4) C. (-2,4) D. (-4,3) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　三 角 形　　　　 110 8. (2024·浙江)如图,在▱ABCD 中,AC 与 BD 相交于点O,AC=2,BD=23.过点A 作AE⊥BC 于点E,记BE 的长为x,BC 的 长为y.当x、y 的值发生变化时,下列代数 式的值不变的是 ( ) A. x+y B. x-y C. xy D. x2+y2 第8题 第9题 9. (2024·南充)如图,已知线段AB,按下列步 骤作图:① 过点B 作BC⊥AB,使BC= 1 2AB ,连接AC;② 以点C 为圆心,BC 长为 半径画弧,交AC 于点D;③ 以点A 为圆心, AD 长为半径画弧,交AB 于点E.若AE= mAB,则m 的值为 ( ) A. 5-1 2 B. 5-2 2 C. 5-1D. 5-2 10. (2024·凉山)在数学活动课上,同学们要 测一个如图所示的残缺圆形工件的半径, 小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两 点A、B,连接AB,作AB 的垂直平分线 CD 交AB 于点D,交 AB ︵ 于点C,测出 AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半 径为 ( ) A. 50cmB. 35cm C. 25cm D. 20cm 第10题 第11题 11. (2024·巴中)如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,CE⊥AB,BD 与CE 交于点O,且 BE=CD.下列说法错误的是 ( ) A. BD 的垂直平分线一定与AB相交于点E B. ∠BDC=3∠ABD C. 当E 为AB 的中点时,△ABC 是等边三 角形 D. 当E 为AB 的中点时, S△BOC S△ABC= 3 4 二、 填空题 12. (2024·达州)如图,在Rt△ABC 中,∠C= 90°,点D 在边BC 上,且∠BAD=45°.若 AC=4,CD =1,则 △ABC 的 面 积 为 . 第12题 第13题 13. (2024·贵州)如图,在菱形ABCD 中,E、F 分别是BC、CD 的中点,连接AE、AF.若 sin∠EAF=45 ,AE=5,则 AB 的长为 . 14. (2024·武汉)如图所示为我国汉代数学家 赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦 图”,它是由四个全等的直角三角形和中间 的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形 ABCD.直线MP 交正方形ABCD 的两边 于点E、F,记正方形ABCD 的面积为S1, 正方形MNPQ 的面积为S2.若BE=kAE (k>1),则用含k 的式子表示 S1 S2 的值是 . 第14题 第15题 15. (2024·新疆)如图,在Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A=30°,AB=8.若点D 在直线AB 上(不与点A、B 重合),且∠BCD=30°,则 AD 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 111 三、 解答题 16. (2024·青海)(1) 解一元二次方程:x2- 4x+3=0; (2) 若直角三角形的两边长分别是(1)中方 程的根,求第三边的长. 17. (2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进 行一次光的折射实验,如图,光线自点B 处 发出,经水面点E 折射到池底点A 处.已知 BE 与水平线的夹角α=36.9°,点B 到水面 的距离BC=1.2m,点A 处水深为1.2m, 到池壁的水平距离AD=2.5m.点B、C、D 在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平 面内.记入射角为β,折射角为γ,求 sinβ sinγ 的 值(结果精确到0.1,参考数据:sin36.9°≈ 0.6,cos36.9°≈0.8,tan36.9°≈0.75). 第17题 18. (2024·龙东地区)已知△ABC 是等腰三 角 形,AB =AC,∠MAN = 12∠BAC , ∠MAN 在∠BAC 的内部,点M、N 在BC 上,点 M 在点N 的左侧,探究线段BM、 NC、MN 之间的数量关系. 如图①,当∠BAC=90°时,探究如下: 由∠BAC=90°,AB=AC 可知,将△ACN 绕点A 按顺时针方向旋转90°,得到△ABP, 则NC=BP 且∠PBM=90°,连接PM,易 证△AMP≌△AMN,可得MP=MN,在 Rt△PBM 中,由 勾 股 定 理,得 BM2+ BP2=MP2,则有BM2+NC2=MN2. 当∠BAC=60°(如图②)或∠BAC=120° (如图③)时,分别写出线段BM、NC、MN 之间的数量关系,并选择图②或图③进行 证明. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　三 角 形　　　　 28 ∴ △HAE≌△GEF.∴ HE=GF.∵ 在正方形ABCD 中,∠BDC=45°,∴ ∠FDG=∠BDC=45°.∴ ∠DFG= 45°.∴ △DFG 是等腰直角三角形.∴ GF= 22DF. ∴ HE=GF= 22DF.∵ ∠ADB=45°,AH⊥HD, ∴ △ADH 是等腰直角三角形.∴ HD=22AD.∴ DE= HD-HE= 22AD- 2 2DF.∴ BD-BE=DE= 2 2AD- 2 2DF.∵ 易得BD=2AD,∴ 2AD-BE= 2 2AD- 2 2DF.∴ AD=2BE-DF. 第24题 3. 等腰三角形 一、 1. C 2. C 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 二、 8. 100° 9. 6 10. 2 11. 5 12. 2 13. 20 21 14. 60 三、 15. (1) ∵ DE∥BC,∴ ∠C=∠AED.∵ ∠EDF= ∠C,∴ ∠AED=∠EDF.∴ DF∥AC.∴ ∠BDF=∠A (2) △ABC 是等腰直角三角形 解析:∵ ∠A=45°, ∴ ∠BDF=45°.∵ DF 平分∠BDE,∴ ∠BDE= 2∠BDF=90°.∵ DE∥BC,∴ ∠B+∠BDE=180°,即 ∠B=90°.∴ △ABC是等腰直角三角形. 16. (1) △BDE 是等腰三角形 理由:∵ BD 平分 ∠ABC,∴ ∠ABD=∠CBD.∵ BC∥ED,∴ ∠EDB= ∠CBD.∴ ∠EDB=∠ABD.∴ EB=ED.∴ △BDE 是等腰三角形. (2) ① B 解析:题图②中共有4个等腰三角形,分别是 △ABE、△ABG、△AFD、△CGF. ② ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ BC∥AD,AB∥DC. 与(1)同理,可得∠ABE=∠EBG=∠AEB.∴ AB= AE=3.∵ AF⊥BE,∴ ∠BAF=∠EAF.∵ BC∥AD, ∴ ∠EAG=∠AGB.∴ ∠BAF=∠AGB.∴ AB= BG=3.∵ AB∥FD,∴ ∠BAF=∠CFG.∵ ∠AGB= ∠CGF,∴ ∠CGF=∠CFG.∴ CG=CF.∵ CG= BC-BG=5-3=2,∴ CF=2 17. (1) ∵ AB=AE,∴ ∠B=∠E.在△ABC 和 △AED 中, AB=AE, ∠B=∠E, BC=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △AED. ∴ ∠BAC=∠EAD (2) 如图①,点D、E 即为所求作 (作法不唯一) (3) 如图②,点D、E 即为所求作(作法 不唯一) 第17题 18. (1) 在△ABC和△DFE 中, AB=DF, AC=DE, BC=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △DFE.∴ ∠ACB=∠DEF,即∠GCE=∠GEC.∴ GE= GC.∴ △GEC是等腰三角形 (2) AD∥l 解析:如图,过点A 作AM⊥直线l于点M, 过点D 作DN⊥直线l于点N,则∠AMB=∠DNF, AM∥DN.由(1)可知,△ABC≌△DFE,∴ ∠ABM= ∠DFN.在△ABM 和△DFN 中, ∠AMB=∠DNF, ∠ABM=∠DFN, AB=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△DFN.∴ AM=DN.∴ 四边形AMND 为平行四边形.∴ AD∥l. 第18题 4. 直角三角形与勾股定理 一、 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. C 8. C 9. A 10. C 11. D 二、 12. 40 3 13. 2 65 3 14. k2+1 (k-1)2 15. 6或12 三、 16. (1) ∵ x2-4x+3=0,∴ (x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3 (2) 当3是直角三角形的斜边长 时,第三边的长为 32-12=22;当1和3是直角三角 形的两条直角边的长时,第三边的长为 12+32 = 10.综上所述,第三边的长为22或 10 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 29 17. 过点E 作EH⊥AD 于点H.由题意可知,∠CEB= α=36.9°,EH =BC=1.2m,∴ CE= BCtan36.9°≈ 1.2 0.75=1.6 (m).∴ AH=AD-CE=2.5-1.6=0.9(m). ∴ AE= AH2+EH2 = 0.92+1.22 =1.5(m). ∴ sinγ=AHAE= 0.9 1.5=0.6.∵ sinβ=sin∠CBE= CE BE= cos∠CEB=cos36.9°≈0.8,∴ sinβ sinγ= 0.8 0.6≈1.3 18. 题图②的结论是BM2+NC2+BM·NC=MN2. 证明:∵ AB=AC,∠BAC=60°,∴ △ABC是等边三角 形.∴ ∠ABC=∠C=60°.如图①,以 B 为顶点在 △ABC外作∠ABK=60°,在BK 上截取BQ=CN,连 接QA、QM,过点Q作QH⊥BC,交CB的延长线于点H. 在△ACN 和△ABQ中, AC=AB, ∠C=∠ABQ=60°, CN=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACN≌ △ABQ.∴ AN=AQ,∠CAN=∠BAQ.又∵ ∠CAN+ ∠BAM=∠BAC-∠MAN=12∠BAC=30° ,∴ ∠BAM+ ∠BAQ=30°,即 ∠QAM = ∠NAM.在 △AQM 和 △ANM 中, AQ=AN, ∠QAM=∠NAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AQM≌△ANM. ∴ MN=MQ.∵ ∠ABQ=60°,∠ABC=60°,∴ ∠QBH= 60°.∴ ∠BQH =30°.∴ 易得 BH = 12BQ ,QH = 3 2BQ.∴ HM=BM+BH=BM+12BQ. 在Rt△QHM 中,由勾股定理,得QH2+HM2=MQ2,即 3 2BQ 2 + BM+12BQ 2 =MQ2,整理,得BM2+BQ2+BM· BQ=MQ2.∴ BM2+NC2+BM·NC=MN2 题图③ 的结论是BM2+NC2-BM·NC=MN2.证明:∵ AB= AC,∠BAC=120°,∴ ∠C=∠ABC=30°.如图②,以B 为顶点在△ABC 外作∠ABK=30°,在 BK 上截取 BQ=CN,连接QA、QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H. 在△ACN 和△ABQ中, AC=AB, ∠C=∠ABQ=30°, CN=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACN≌ △ABQ.∴ AN=AQ,∠CAN=∠BAQ.又∵ ∠CAN+ ∠BAM = ∠BAC - ∠MAN = 12 ∠BAC =60° , ∴ ∠BAM+∠BAQ=60°,即∠QAM =∠NAM.在 △AQM 和△ANM 中, AQ=AN, ∠QAM=∠NAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AQM≌ △ANM.∴ MN=MQ.在 Rt△BQH 中,∠QBH = ∠ABQ+∠ABC=60°,则∠BQH=30°.∴ 易得BH= 1 2BQ ,QH=32BQ.∴ HM=BM-BH=BM-12BQ. 在Rt△QHM 中,由勾股定理,得QH2+HM2=MQ2, 即 3 2BQ 2 + BM-12BQ 2 =MQ2,整理,得BM2+ BQ2-BM ·BQ=MQ2.∴ BM2+NC2-BM · NC=MN2 第18题 5. 尺规作图与画图 一、 1. B 2. B 3. B 4. C 5. D 6. A 7. D 8. D 9. D 二、 10. 2 11. 6 12. 10° 13. 2 14. a-10 15. ①②⑤ 三、 16. 如图,△ABC即为所求作(作图不唯一) 第16题 第17题 17. (1) 如图,AD 即为所求作 (2) 如图,☉D 即为所 求作,过点D 作DE⊥AB 于点E.∵ AD 平分∠BAC, ∠C=90°,∠AED=90°,∴ DE=CD.∴ DE 为☉D 的 半径.∴ AB 与☉D 相切 18. (1) ∵ AC∥BD,∴ ∠A=∠B,∠C=∠D.在 △AEC 和△BED 中, ∠A=∠B, ∠C=∠D, EC=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△BED (2) 如图,四边形DMCN 即为所求作的菱形 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈