第8章 2.全等三角形-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

25 25 8 中,令y=0,得0=- 1 8 (x-3)2+258 ,解得x1=8, x2=-2(舍去).∴ OD=8米.又OE=12米,∴ DE= 12-8=4(米).∵ 4>3,∴ 落点D 在安全范围内. (3) 如 图,EF 即为所求钢架.已知水滑道ACB 所在抛物线对 应的函数表达式为y= 1 8 (x+3)2+78 ,令y=4,得4= 1 8 (x+3)2+78 ,解得x1=-8,x2=2(舍去).∴ M(-8, 4).又∵ B(0,2),∴ 易得直线BM 对应的函数表达式为 y=- 1 4x+2.∵ EF∥BM,∴ 可设直线EF 对应的函 数表达式为y=- 1 4x+m. 联立 y=- 1 4x+m , y= 1 8 (x+3)2+78 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得1 8 (x+3)2+78=- 1 4x+m ,即x2+8x-8m+16= 0.由题意,得82-4(-8m+16)=0,解得m=0.∴ 直线 EF 对应的函数表达式为y=- 1 4x ,即点F 与点O 重 合.∵ M(-8,4),∴ 令x=-8,则y=- 1 4x=- 1 4× (-8)=2.∴ EN=2米,ON=8米.又∠ENO=90°, ∴ EF= 22+82=2 17(米).∴ 这条钢架的长度为 2 17米 第24题 第七章　几何图形初步 1. 线、角、命题、定理、证明 一、 1. D 2. C 3. B 4. C 5. A 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 二、 11. 假 12. 同位角相等,两直线平行 13. 两点之 间,线段最短 14. 35 15. 2<AB<8 三、 16. (1) 二 (2) ∵ ∠ADC=∠AEB=90°, ∴ ∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°.∵ ∠DOB= ∠EOC,∴ ∠B=∠C.又∵ OB=OC,∴ △BOD≌ △COE.∴ OD =OE.∵ ∠ADO = ∠AEO =90°, ∴ OD⊥AB,OE⊥AC.∴ 点O 在∠BAC 的平分线上. ∴ ∠1=∠2 2. 平行线的判定与性质 一、 1. B 2. B 3. C 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C 9. B 10. A 11. C 12. B 13. B 14. B 15. C 16. C 17. B 18. B 19. B 20. B 21. B 22. B 23. A 24. D 25. D 二、 26. 109° 27. 30° 28. 50° 29. 66° 第八章　三 角 形 1. 三角形与多边形 一、 1. C 2. C 3. B 4. B 5. A 6. C 7. B 二、 8. 直角 9. 900° 10. 1800° 11. 120° 12. 8 13. 36° 14. 9 15. 7 16. 120° 17. 18° 18. 100° 19. 81° 20. 100° 21. 1 3nm° 2. 全等三角形 一、 1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. D 7. D 二、 8. 100° 9. 答案不唯一,如DE=EF 10. (1,4) 三、 11. ∵ E 为AC 的中点,∴ AE=CE.在△AED 和 △CEF 中, AE=CE, ∠AED=∠CEF, DE=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AED ≌ △CEF. ∴ ∠A=∠ACF.∴ CF∥AB 12. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD=CB,AD∥ BC.∴ ∠ADE= ∠CBF.在 △ADE 和 △CBF 中, AD=CB, ∠ADE=∠CBF, DE=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CBF.∴ ∠1=∠2 13. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABD=∠C=60°, AB=BC.在△ABD 和△BCE 中, AB=BC, ∠ABD=∠C, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△BCE.∴ AD=BE 14. ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AB=DC,∠B= ∠C=90°.∵ BE=CF,∴ BE+EF=CF+EF,即 BF =CE.在 △ABF 和 △DCE 中, AB=DC, ∠B=∠C, BF=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△DCE.∴ AF=DE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 15. (1) 在 △ABC 和 △ADE 中, BC=DE, ∠B=∠D, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE (2) 由(1),得△ABC≌△ADE, ∴ AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°.∴ ∠AEC= ∠ACE.∵ ∠AEC + ∠ACE =2∠ACE =180°- ∠DAE=120°,∴ ∠ACE=60° 16. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AB=DC,∠B= ∠C=90°.∵ E 是BC 的中点,∴ BE=CE.在△ABE 和△DCE 中, AB=DC, ∠B=∠C, BE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△DCE (2) 由 (1),得△ABE≌△DCE,∴ AE=DE.∴ ∠EAD= ∠EDA 17. ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=AD,∠B=∠D. 在△ABE 和△ADF 中, ∠B=∠D, ∠AEB=∠AFD, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △ADF.∴ BE=DF 18. (1) ∵ D 为边BC 的中点,∴ BD=CD.∵ BE∥ AC,∴ ∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.在△BDE 和 △CDA 中, ∠EBD=∠C, ∠E=∠CAD, BD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE ≌ △CDA (2) ∵ D 为边BC 的中点,AD⊥BC,∴ 直线AD 为线 段BC的垂直平分线.∴ BA=CA.由(1),得△BDE≌ △CDA,∴ BE=CA.∴ BA=BE 19. 若选择①,理由:∵ AE∥BF,∴ ∠A=∠FBD. ∵ CE∥DF,∴ ∠ACE=∠D.在△AEC 和△BFD 中, ∠ACE=∠D, ∠A=∠FBD, AE=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△BFD.∴ AC=BD. ∴ AC-BC=BD-BC,即AB=CD.若选择③,理由: ∵ AE∥BF,∴ ∠A=∠FBD.在△AEC 和△BFD 中, ∠A=∠FBD, AE=BF, ∠E=∠F, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△BFD.∴ AC=BD. ∴ AC-BC=BD-BC,即AB=CD. 20. (1) 过点B 作BH⊥AP 于点H.∵ AB=60米, ∠PAB=79°,sin79°≈0.98,cos79°≈0.19,∴ AH= AB·cos79°≈60×0.19=11.4(米),BH=AB· sin79°≈60×0.98=58.8(米).∵ ∠PAB=79°,∠PBA= 64°,∴ ∠APB=180°-79°-64°=37°.∴ tan∠APB= tan37°=BHPH≈0.75.∴ PH≈58.80.75=78.4 (米).∴ AP= AH+PH=11.4+78.4=89.8(米),即A、P 两点之间 的距离约为89.8米 (2) 三角形全等 解析:当F、D、P 三点在同一条直线 上 时,∠ADP = ∠EDF.在 △ADP 和 △EDF 中, ∠ADP=∠EDF, AD=ED, ∠DAP=∠DEF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADP≌△EDF.∴ AP=EF. ∴ 只需测量EF 的长即可得到AP 的长.∴ 乙小组的方 案用到了三角形全等. 21. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥CB. ∴ ∠OED=∠OFB.∵ O 是▱ABCD 对角线的交点, ∴ OD=OB.在△ODE 和△OBF 中, ∠OED=∠OFB, ∠DOE=∠BOF, OD=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ODE≌△OBF (2) 由(1),得△ODE≌△OBF, ∴ DE=BF.∵ DE∥BF,∴ 四边形BEDF 是平行四边 形.∵ EF⊥BD,∴ 四边形BEDF 是菱形.∴ DF= BF=BE=DE=15cm.∴ DF+BF+BE+DE= 4DE=4×15=60(cm).∴ 四边形BEDF的周长为60cm 22. (1) ∵ CE⊥AB,∴ ∠CEB=90°=∠A.∴ ∠1+ ∠3=90°,∠2+ ∠ABC =90°.∵ ∠1= ∠ABC, ∴ ∠2=∠3 (2) ① BC=BD 设∠2=∠3=x,则 ∠BFE=90°-x=∠DFC.∵ ∠4=45°,∴ ∠BDC= 180°-45°-(90°-x)=45°+x.∵ ∠BCD=∠4+∠2= 45°+x,∴ ∠BCD=∠BDC.∴ BC=BD ② ∵ BC= BD=13,AD=5,∴ AB= BD2-AD2= 132-52= 12.在△ADB 和△EBC 中, ∠A=∠CEB, ∠3=∠2, BD=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADB≌ △EBC.∴ EB=AD=5.∵ ∠A=∠FEB=90°,∠3= ∠3,∴ △EFB∽△ADB.∴ EF AD= EB AB ,即EF 5 = 5 12. ∴ EF=2512 23. (1) BE= 2CD 解析:如图①,过点E 作EM⊥ CB 于点M,则∠DME=90°.∵ 将线段AD 绕点D 按顺 时针方向旋转90°得到线段ED,∴ AD=DE,∠ADE= 90°.∴ ∠ADC+ ∠MDE =90°.∵ ∠ACB =90°, ∴ ∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°.∴ ∠CAD= ∠MDE.在△ACD 和△DME 中, ∠ACD=∠DME, ∠CAD=∠MDE, AD=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27 ∴ △ACD≌△DME.∴ CD=ME,AC=DM.∵ AC= BC,∴ BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD. ∴ BM=ME.∵ ∠BME=90°,∴ 易得BE= 2ME= 2CD. (2) 补全图形如图②所示 如图②,过点E 作EM⊥BC 于点M,则∠DME=90°.∵ 将线段AD 绕点D 按顺时针 方向旋转90°得到线段ED,∴ AD=DE,∠ADE=90°. ∴ ∠ADC+∠MDE=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACD= ∠DME,∠ADC+∠CAD=90°.∴ ∠CAD=∠MDE. 在 △ACD 和 △DME 中, ∠ACD=∠DME, ∠CAD=∠MDE, AD=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△DME.∴ CD=ME,AC=DM.∵ AC= BC,∴ DM=BC.∴ DM-CM=BC-CM,即CD= BM.∴ ME=BM.∵ ∠EMB=90°,∴ 易得 BE= 2ME=2CD (3) sin∠ECD 的值为2 1313 或25 5 解析:如图③,当 点D 在CB 的延长线上时,过点E 作EM⊥CB,交CB 的延长线于点M.与(2)同理,可得△ACD≌△DME, ∴ DM=AC=1,ME=CD=2.∴ CM=CD+DM=3. ∴ CE= CM2+ME2= 13.∴ sin∠ECD=MECE= 2 13 =2 1313 . 如图④,当点D 在BC 的延长线上时,过 点E 作EM⊥CB 于点M.与(2)同理,可得△ACD≌ △DME,∴ DM=AC=1,ME=CD=2.∴ CM=CD- DM=2-1=1.∴ CE= CM2+ME2=5.∴ sin∠ECD= ME CE= 2 5 =255 . 综上所述,sin∠ECD 的值为2 1313 或25 5 . 第23题 24. (1) DE+CD=AE 理由:∵ CD⊥BD,AE⊥BD, AB⊥BC,∴ ∠ABC=∠D=∠AEB=90°.∴ ∠ABE+ ∠CBD=∠C+∠CBD=90°.∴ ∠ABE=∠C.在 △ABE 和 △BCD 中, ∠AEB=∠D, ∠ABE=∠C, AB=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △BCD.∴ BE=CD,AE=BD.∴ DE=BD-BE= AE-CD.∴ DE+CD=AE. (2) AD= 2BE+DF 理由:如图①,过点E 作EM⊥AD 于点M,EN⊥CD 于 点N.∵ 四边形ABCD 是正方形,BD 是正方形的对角 线,∴ ∠ADB=∠CDB=45°,DB 平分∠ADC,∠ADC= 90°.∴ 2AD= 2CD=BD.∴ DE=BD-BE= 2AD-BE.∵ EN⊥CD,EM⊥AD,∴ EM=EN.在 Rt△AEM 和Rt△FEN 中, EM=EN, AE=FE, ∴ Rt△AEM≌ Rt△FEN.∴ AM =FN.∵ EM =EN,EN⊥CD, EM⊥AD,∠ADC=90°,∴ 四边形EMDN 是正方形. ∴ ED 是正方形EMDN 的对角线,MD=ND.∴ MD= ND= 22DE ,NF=ND-DF=MD-DF.∴ NF= AM=AD-MD=AD- 22DE ,NF= 22DE-DF. ∴ AD- 22DE= 2 2DE-DF.∴ AD= 2DE-DF. ∵ DE=2AD-BE,∴ AD=2(2AD-BE)-DF. ∴ AD=2BE+DF. (3) AD= 2BE-DF 理由: 如图②,过点A 作AH⊥BD 于点H,过点F 作FG⊥ BD,交BD 的延长线于点G.∵ AH⊥BD,FG⊥BD, AE⊥EF,∴ ∠AHE=∠G=∠AEF=90°.∴ ∠AEH+ ∠HAE= ∠AEH + ∠GEF =90°.∴ ∠HAE = ∠GEF.在△HAE 和△GEF 中, ∠HAE=∠GEF, ∠AHE=∠G, AE=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 ∴ △HAE≌△GEF.∴ HE=GF.∵ 在正方形ABCD 中,∠BDC=45°,∴ ∠FDG=∠BDC=45°.∴ ∠DFG= 45°.∴ △DFG 是等腰直角三角形.∴ GF= 22DF. ∴ HE=GF= 22DF.∵ ∠ADB=45°,AH⊥HD, ∴ △ADH 是等腰直角三角形.∴ HD=22AD.∴ DE= HD-HE= 22AD- 2 2DF.∴ BD-BE=DE= 2 2AD- 2 2DF.∵ 易得BD=2AD,∴ 2AD-BE= 2 2AD- 2 2DF.∴ AD=2BE-DF. 第24题 3. 等腰三角形 一、 1. C 2. C 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 二、 8. 100° 9. 6 10. 2 11. 5 12. 2 13. 20 21 14. 60 三、 15. (1) ∵ DE∥BC,∴ ∠C=∠AED.∵ ∠EDF= ∠C,∴ ∠AED=∠EDF.∴ DF∥AC.∴ ∠BDF=∠A (2) △ABC 是等腰直角三角形 解析:∵ ∠A=45°, ∴ ∠BDF=45°.∵ DF 平分∠BDE,∴ ∠BDE= 2∠BDF=90°.∵ DE∥BC,∴ ∠B+∠BDE=180°,即 ∠B=90°.∴ △ABC是等腰直角三角形. 16. (1) △BDE 是等腰三角形 理由:∵ BD 平分 ∠ABC,∴ ∠ABD=∠CBD.∵ BC∥ED,∴ ∠EDB= ∠CBD.∴ ∠EDB=∠ABD.∴ EB=ED.∴ △BDE 是等腰三角形. (2) ① B 解析:题图②中共有4个等腰三角形,分别是 △ABE、△ABG、△AFD、△CGF. ② ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ BC∥AD,AB∥DC. 与(1)同理,可得∠ABE=∠EBG=∠AEB.∴ AB= AE=3.∵ AF⊥BE,∴ ∠BAF=∠EAF.∵ BC∥AD, ∴ ∠EAG=∠AGB.∴ ∠BAF=∠AGB.∴ AB= BG=3.∵ AB∥FD,∴ ∠BAF=∠CFG.∵ ∠AGB= ∠CGF,∴ ∠CGF=∠CFG.∴ CG=CF.∵ CG= BC-BG=5-3=2,∴ CF=2 17. (1) ∵ AB=AE,∴ ∠B=∠E.在△ABC 和 △AED 中, AB=AE, ∠B=∠E, BC=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △AED. ∴ ∠BAC=∠EAD (2) 如图①,点D、E 即为所求作 (作法不唯一) (3) 如图②,点D、E 即为所求作(作法 不唯一) 第17题 18. (1) 在△ABC和△DFE 中, AB=DF, AC=DE, BC=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △DFE.∴ ∠ACB=∠DEF,即∠GCE=∠GEC.∴ GE= GC.∴ △GEC是等腰三角形 (2) AD∥l 解析:如图,过点A 作AM⊥直线l于点M, 过点D 作DN⊥直线l于点N,则∠AMB=∠DNF, AM∥DN.由(1)可知,△ABC≌△DFE,∴ ∠ABM= ∠DFN.在△ABM 和△DFN 中, ∠AMB=∠DNF, ∠ABM=∠DFN, AB=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△DFN.∴ AM=DN.∴ 四边形AMND 为平行四边形.∴ AD∥l. 第18题 4. 直角三角形与勾股定理 一、 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. C 8. C 9. A 10. C 11. D 二、 12. 40 3 13. 2 65 3 14. k2+1 (k-1)2 15. 6或12 三、 16. (1) ∵ x2-4x+3=0,∴ (x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3 (2) 当3是直角三角形的斜边长 时,第三边的长为 32-12=22;当1和3是直角三角 形的两条直角边的长时,第三边的长为 12+32 = 10.综上所述,第三边的长为22或 10 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 100 2. 全等三角形 ▶ 相应“答案与解析”见P25 一、 选择题 1. (2024·广州)如图,在△ABC 中,∠A= 90°,AB=AC=6,D 为边BC 的中点,点E、 F 分别在边AB、AC 上,AE=CF,则四边形 AEDF 的面积为 ( ) A. 18 B. 92 C. 9 D. 62 第1题 第2题 2. (2024·河北)如图,AD 与BC 交于点O, △ABO 和△CDO 关于直线PQ 对称,点A、 B 的对称点分别是C、D,连接AC、BD.下 列结论不一定正确的是 ( ) A. AD⊥BC B. AC⊥PQ C. △ABO≌△CDO D. AC∥BD 3. (2024·重庆B卷)如图,在边长为4的正方 形ABCD 中,E 是边BC 上一点,F 是CD 的延长线上一点,连接AE、AF,AM 平分 ∠EAF 交CD 于点M,连接EM.若BE= DF=1,则DM 的长为 ( ) A. 2 B. 5 C. 6 D. 12 5 第3题 第4题 4. (2024·宜宾)如图,在△ABC 中,AB= 32,AC=2,以 BC 为边作 Rt△BCD, BC=BD,点D 与点A 在BC 的两侧,则 AD 长的最大值为 ( ) A. 2+32 B. 6+22 C. 5 D. 8 5. (2024· 安 徽)在凸五边形 ABCDE 中, AB=AE,BC=DE,F 是CD 的中点.下列 条件中,不能推出AF 与CD 一定垂直的是 ( ) A. ∠ABC=∠AEDB. ∠BAF=∠EAF C. ∠BCF=∠EDF D. ∠ABD=∠AEC 6. (2024·遂宁)如图①,△ABC 与△A1B1C1 满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1, ∠C≠∠C1,我们称这样的两个三角形为“伪 全等三角形”.如图②,在△ABC 中,AB= AC,点D、E 在边BC 上,且BE=CD,则图 中共有“伪全等三角形” ( ) 第6题 A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 7. (2024·东营)如图,四边形ABCD 是矩形, 直线EF 分别交AD、BC、BD 于点E、F、O. 下列条件中,不能证明△BOF≌△DOE 的是 ( ) 第7题 A. O 为矩形ABCD 两条对角线的交点 B. EO=FO C. AE=CF D. EF⊥BD 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 101 二、 填空题 8. (2024·成都)如图,△ABC≌△CDE,若 ∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE 的度数 为 . 第8题 第9题 第10题 9. (2024·牡丹江)如图,在△ABC 中,D、E 分 别是AB、AC 上一点,CF∥AB,D、E、F 三 点共线,请添加一个条件: ,使得 AE=CE. 10. (2024·临夏)如图,在△ABC 中,点A 的 坐标为(0,1),点B 的坐标为(4,1),点C 的 坐标为(3,4),点D 在第一象限(不与点C 重合),且△ABD 与△ABC 全等,则点D 的坐标为 . 三、 解答题 11. (2024·南通)如图,点D 在△ABC 的边 AB 上,DF 经过边AC 的中点E,且EF= DE.求证:CF∥AB. 第11题 12. (2024·泸州)如图,在▱ABCD 中,E、F 是 对角线BD 上的点,且 DE=BF.求证: ∠1=∠2. 第12题 13. (2024·宜宾)如图,D、E 分别是等边三角 形ABC 边BC、AC 上的点,且BD=CE, BE 与AD 交于点F.求证:AD=BE. 第13题 14. (2024·陕西)如图,四边形ABCD 是矩形, 点E、F 在边BC 上,且BE=CF.求证: AF=DE. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　三 角 形　　　　 102 15. (2024·长沙)如图,点C 在线段AD 上, AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1) 求证:△ABC≌△ADE; (2) 若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数. 第15题 16. (2024·无锡)如图,在矩形ABCD 中,E 是 BC 的中点,连接AE、DE.求证: (1) △ABE≌△DCE; (2) ∠EAD=∠EDA. 第16题 17. (2024·福建)如图,在菱形ABCD 中,点 E、F 分别在边BC、CD 上,且∠AEB= ∠AFD.求证:BE=DF. 第17题 18. (2024·南充)如图,在△ABC 中,D 为边 BC的中点,过点B 作BE∥AC,交AD 的 延长线于点E. (1) 求证:△BDE≌△CDA; (2) 若AD⊥BC,求证:BA=BE. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 103 19. (2024·盐城)如图,点A、B、C、D 在同一 条直线上,AE∥BF,AE=BF.若 , 则AB=CD. 请从① CE∥DF;② CE=DF;③ ∠E= ∠F 这三个条件中选择一个填在横线上, 使结论成立,并说明理由. 第19题 20. (2024·山东)【实践课题】如图①,测量湖 边观测点A 和湖心岛上鸟类栖息点P 之间 的距离. 第20题 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具. 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状 况,在岸边选取合适的点B.测量A、B 两 点间的距离以及∠PAB 和∠PBA,测量三 次取平均值,得到AB=60米,∠PAB= 79°,∠PBA=64°.画出示意图(如图②). 【问题解决】(1) 计算A、P 两点之间的距 离(参考数据:sin64°≈0.90,sin79°≈ 0.98,cos79°≈0.19,sin37°≈0.60, tan37°≈0.75). 【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提 出了另一种方案:如图③,选择合适的点 D、E、F,使得A、D、E 三点在同一条直线 上,且AD=ED,∠DEF=∠DAP,当F、 D、P 三点在同一条直线上时,只需测量 EF 即可. (2) 乙小组的方案用到了 (填“解直角三角形”或“三角形全等”). 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　三 角 形　　　　 104 21. (2024·雅安)如图,O 是▱ABCD 对角线 的交点,过点O 的直线分别交AD、BC 于 点E、F. (1) 求证:△ODE≌△OBF; (2) 当EF⊥BD 时,DE=15cm,分别连接 BE、DF,求此时四边形BEDF 的周长. 第21题 22. (2024·甘孜)如图,在四边形ABCD 中, ∠A=90°,连接BD,过点C 作CE⊥AB, 垂足为E,CE交BD 于点F,∠1=∠ABC. (1) 求证:∠2=∠3. (2) 若∠4=45°. ① 请判断线段BC、BD 之间的数量关系, 并证明你的结论; ② 若BC=13,AD=5,求EF 的长. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 105 23. (2024·烟台)在等腰直角三角形ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC,D 为直线BC 上任 意一点,连接AD.将线段AD 绕点D 按顺 时针方向旋转90°得到线段ED,连接BE. (1) 如图①,当点D 在线段BC 上时,线段 BE 与CD 之间的数量关系为 ; (2) 当点D 在线段BC 的延长线上时,先在 图②中补全图形,再探究线段BE 与CD 之 间的数量关系; (3) 连接CE,若AC=BC=1,CD=2,请 直接写出sin∠ECD 的值. 第23题 24. (2024·甘肃)【模型建立】 (1) 如图①,在△ABE 和△BCD 中,AB⊥ BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.写出 线段AE、DE、CD 之间的数量关系,并说 明理由. 【模型应用】 (2) 如图②,在正方形ABCD 中,点E、F 分别在对角线BD 和边CD 上,AE⊥EF, AE=EF.写出线段BE、AD、DF 之间的 数量关系,并说明理由. 【模型迁移】 (3) 如图③,在正方形ABCD 中,点E 在对 角线BD 上,点F 在边CD 的延长线上, AE⊥EF,AE=EF.写出线段BE、AD、 DF 之间的数量关系,并说明理由. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　三 角 形