第6章 2.二次函数的应用-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

84 2. 二次函数的应用 ▶ 相应“答案与解析”见P22 一、 选择题 1. (2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间 t(单位:s)之间的关系是h=30t-5t2(0≤t≤ 6).有下列结论:① 小球从抛出到落地需要 6s;② 小球运动中的高度可以是30m;③ 小 球运动2s时的高度小于运动5s时的高度. 其中,正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. (2024·河南)把多个用电器连接在同一个 插线板上,同时使用一段时间后,插线板的 电源线会明显发热,存在安全隐患.某校数 学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长 一定时,插线板电源线中的电流I与使用电 器的总功率P 的函数图像(如图①),插线板 电源线产生的热量Q 与I的函数图像(如图 ②).下列结论中错误的是 ( ) 第2题 A. 当P=440W时,I=2A B. Q 随I的增大而增大 C. I每增加1A,Q 的增加量相同 D. P 越大,插线板电源线产生的热量Q 越多 二、 填空题 3. (2024·自贡)九年级(1)班劳动实践基地内 有一块面积足够大的平整空地,地上两段围 墙AB⊥CD 于点O(如图),其中AB 上的 EO 段围墙空缺.同学们测得AE=6.6m, OE=1.4m,OB=6m,OC=5m,OD= 3m,班长买来可切断的围栏16m,准备利用 已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该 菜地的最大面积是 m2. 第3题 第4题 4. (2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球, 出手(点P 处)的高度OP 是74m ,出手后实 心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水 平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点 为M,则OM= m. 5. (2024·泰安)如图,小明的父亲想用长为 60米的栅栏,一边借助房屋的外墙围成一个 矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围 成的菜园的最大面积是 平方米. 第5题 6. (2024·甘肃)如图①所示为一个汽车停车 棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一 部分,如图②是棚顶的竖直高度y(单位:m) 与距离汽车停车棚支柱AO的水平距离x(单 位:m)近似满足的函数关系y=-0.02x2+ 0.3x+1.6的图像,点B(6,2.68)在图像上. 若一辆厢式货车需在汽车停车棚下避雨,货 车截面看作长CD=4m,高DE=1.8m的矩 形,则可判断货车 完全停到汽车停 车棚内(填“能”或“不能”). 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 85 7. (2023·长春)2023年5月8日,C919商业 首航完成———中国民航商业运营国产大飞 机正式起步,12时31分航班抵达北京首都 国际机场,穿过隆重的“水门礼”.如图①,在 一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向大 飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看成形 状相同的抛物线的一部分.如图②,当两辆 消防车喷水口A、B 的水平距离为80米时, 两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇,此时 相遇点H 距地面20米,喷水口A、B 距地 面均为4米.若两辆消防车同时后退10米, 两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的 距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点 H'距地面 米. 第7题 三、 解答题 8. (2024·湖北)学校要建一个矩形花圃,其中 一边靠墙,另外三边用篱笆围成(如图).已 知墙长42米,篱笆长80米.设垂直于墙的边 AB 的长为x 米,平行于墙的边BC 的长为 y米,围成的矩形花圃的面积为S平方米. 第8题 (1) 求y与x,S与x之间的函数表达式. (2) 围成的矩形花圃的面积能否为750平方 米? 若能,求出x的值;若不能,请说明理由. (3) 围成的矩形花圃是否存在最大面积? 若 存在,求出这个最大面积,并求出此时x 的 值;若不存在,请说明理由. 9. (2024·兰州)在校园科技节期间,科普员为 同学们进行了水火箭的发射表演,如图①是 某型号水火箭的实物图,水火箭发射后的运 动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火 箭的相关性能,同学们进一步展开研究.如 图②,建立平面直角坐标系,水火箭发射后 落在水平地面A 处.科普员提供了该型号水 火箭与地面成一定角度时,从发射到着陆过 程中,水火箭距离地面OA 的竖直高度y(m) 与离发射点O 的水平距离x(m)的几组关系 数据如下表: 水平距离 x/m 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 y/m 03.244.16 8 9 8 7.043.24 (1) 求抛物线对应的函数表达式; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　 86 (2) 请计算当水火箭飞行至离发射点O 的 水平距离为5m时,水火箭距离地面OA 的 竖直高度. 第9题 10. (2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮 观的悬索桥.桥梁的缆索L1 与缆索L2 均 呈抛物线形,桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于 桥面.如图,以O 为原点,直线FF'为x轴, 桥塔AO 所在直线为y 轴,建立平面直角 坐标系.缆索L1 所在抛物线与缆索L2 所 在抛物线关于y 轴对称,桥塔AO 与桥塔 BC 之间的距离OC=100m,AO=BC= 17m,缆索L1 的最低点P 到FF'的距离 PD=2m(桥塔的粗细忽略不计). 第10题 (1) 求缆索L1所在抛物线对应的函数表达式; (2) 点E 在缆索L2上,EF⊥FF',且EF= 2.6m,FO<OD,求FO 的长. 11. (2024·江西)如图,一小球从斜坡点O 处 以一定的方向弹出,小球的飞行路线可以 用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡 可以用一次函数y= 1 4x 刻画,小球飞行的 水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米) 的变化规律如下表: x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 72 6 152 8 152 n 72 … (1) ① m= ,n= ; ② 若小球落在斜坡上的点A 处,求点A 的 坐标. (2) 小球的飞行高度y(米)与飞行时间 t(秒)之间的函数表达式为y=-5t2+vt. ① 小球飞行的最大高度为 米; ② 求v的值. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 87 12. (2024·武汉)16世纪中叶,我国发明了一 种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的 始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当 火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭 第二级,火箭第二级沿直线运行.某科技小 组运用信息技术模拟火箭运行的过程.如 图,以发射点为原点,地平线为x 轴,垂直 于地面的直线为y 轴,建立平面直角坐标 系,分别得到抛物线y=ax2+x 和直线 y=- 1 2x+b. 其中,当火箭运行的水平距 离为9km时,自动引发火箭第二级. (1) 若火箭第二级的引发点的高度为 3.6km. ① 直接写出a、b的值; ② 火箭在运行过程中,有两个位置的高度 比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个 位置之间的距离. (2) 当a满足什么条件时,火箭落地点与发 射点的水平距离超过15km? 第12题 13. (2024·河南)从地面竖直向上发射的物体 离地面的高度h(m)与物体运动的时间t(s) 之间的函数表达式为h=-5t2+v0t,其中 v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动 时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上 发射小球. (1) 小球被发射后 s时离地面的 高度最大(用含v0的代数式表示). (2) 若小球离地面的最大高度为20m,求 小球被发射时的速度. (3) 按(2)中的速度发射小球,小球离地面 的高度有两次与实验楼的高度相同.小明 说:“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼 高15m,请判断小明的说法是否正确,并说 明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　 88 14. (2024·青海)在如图所示的平面直角坐标 系中,有一斜坡OA,从点O 处抛出一个小 球,落到点A3,32 处.小球在空中所经过 的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分. (1) 求抛物线对应的函数表达式; (2) 求抛物线最高点的坐标; (3) 斜坡上点B 处有一棵树,B 是OA 的三 等分点,小球恰好越过树的顶端C,求这棵 树的高度. 第14题 15. (2024·广东)某果商以每吨2万元的价格 收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元 的价格出售,平均每天可出售100吨.市场 调查反映:如果每吨每降价1万元,那么每 天的销售量相应增加50吨.该果商如何定 价才能使每天的利润最大? 最大利润是多 少万元? 16. (2024·济宁)某商场以80元/件的价格购 进一种商品,在一段时间内,销售量y(件) 与销售价格x(元/件)之间是一次函数关 系,其部分图像如图所示. (1) 求这段时间内y 与x 之间的函数表 达式. (2) 在这段时间内,若销售价格不低于 100元/件,且商场还要完成不少于220件 的销售任务,当销售价格为多少时,商场获 得的利润最大? 最大利润是多少? 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 89 17. (2024·遂宁)某酒店有A、B两种客房,其 中A种客房24间,B种客房20间.若全部 入住,一天的营业额为7200元;若A、B两 种客房均有10间入住,一天的营业额为 3200元. (1) 求A、B两种客房每间的定价分别是多 少元. (2) 酒店对A种客房调研发现:如果客房 不调价,那么客房可全部住满;如果每间客 房的定价每增加10元,那么就会有一间客 房空闲.当A种客房每间的定价为多少元 时,A种客房一天的营业额最大? 最大营 业额为多少元? 18. (2024·烟台)每年5月的第三个星期日为 全国助残日,今年的主题是“科技助残,共 享美好生活”.某公司新研发了一批便携式 轮椅计划在该月销售.根据市场调查,每辆 轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价 每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定 在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮 椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价 x元,每天的销售利润为y元. (1) 求y与x之间的函数表达式.当每辆轮 椅降价多少元时,每天的销售利润最大? 最大利润为多少元? (2) 全国助残日当天,公司共获得销售利润 12160元,请问这天售出了多少辆轮椅? 19. (2024·大庆)某村民在网上直播推销某种 农副产品,在试销售的30天中,第x天(1≤ x≤30且x 为整数)的售价为y 元/千克, 且当1≤x≤20时,y=kx+b;当20<x≤ 30时,y=15.已知销量z(千克)与x 之间 的函数表达式为z=x+10,该产品第10天 的售价为20元/千克,第15天的售价为 15元/千克.设第x天的销售额为M 元. (1) k= ,b= ; (2) 求M 与x之间的函数表达式; (3) 求在试销售的30天中,共有多少天的 销售额超过500元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　 90 20. (2024·南充)2024年“五一”假期期间,阆 中古城景区某特产店销售A、B两类特产. A类特产的进价为50元/件,B类特产的进 价为60元/件.已知购买1件A类特产和 1件B类特产需132元,购买3件A类特产 和5件B类特产需540元. (1) 求A类特产和B类特产的售价. (2) A类特产供货充足,按原价销售每天可 售出60件.市场调查反映,若每件每降价 1元,每天可多售出10件(售价不低于进 价).设每件A类特产降价x 元,每天的销 售量为y件,求y与x之间的函数表达式, 并写出自变量x的取值范围. (3) 在(2)的条件下,由于B类特产供货紧 张,每天只能购进100件且能按原价售完. 设该特产店每天销售这两类特产的总利润 为w 元,求w 与x 之间的函数表达式,并 求出当每件A类特产降价多少元时,总利 润最大,最大总利润是多少元. 21. (2024·滨州)春节期间,全国各影院上映多 部影片,某影院每天运营成本为2000元,该 影院每天售出的电影票数量y(张)与售价 x(元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤ 80,且x是整数),部分数据如下表: 电影票的售价x/(元/张) 40 50 每天售出的电影票数量y/张 164 124 (1) 请求出y与x之间的函数表达式. (2) 设该影院每天的利润为w 元,求w 与 x之间的函数表达式. (3) 该影院将电影票的售价定为多少时,每 天的利润最大? 最大利润是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 91 22. (2024·新疆)某公司销售一批产品,经市 场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨之 间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)之 间的函数表达式为y1=5x;成本y2(万元) 与销售量x(吨)的函数图像是如图所示的 抛物线的一部分,其顶点的坐标为 1 2 ,7 4 . (1) 求y2关于x 的函数表达式(写出自变 量x的取值范围). (2) 当成本最低时,该公司销售产品所获利 润是多少万元? (3) 当销售量是多少吨时,该公司可获得最 大利润? 最大利润是多少万元? 第22题 23. (2024· 贵 州)某超市购入一批进价为 10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发 现,当销售价格不低于进价时,日销售量 y(盒)与销售价格x(元/盒)是一次函数关 系,y与x的几组对应值如下表: 销售价格 x/(元/盒) … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1) 求y与x之间的函数表达式. (2) 当糖果的销售价格定为多少时,超市所 获的日销售利润最大? 最大日销售利润是 多少? (3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福 利院赠送一件价值为m 元的礼品,赠送礼 品后,为确保该种糖果的最大日销售利润 为392元,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　 92 24. (2024·赤峰)某数学兴趣小组对某公园的 一种水上娱乐项目中蕴含的数学问题进行 了深入研究.如图①是该小组绘制的水滑 道截面图,人从点A 处沿水滑道下滑至点 B 处腾空飞出后落入水池.以地面所在的 水平线为x轴,过腾空点B 与x 轴垂直的 直线为y轴,O 为坐标原点,建立平面直角 坐标系.将水滑道和人腾空飞出后经过的 路径都近似看作是抛物线的一部分. 第24题 (1) 如图①,点B 与地面的距离为2米,水 滑道最低点C 与地面的距离为78 米,点C 到点B 的水平距离为3米,则水滑道ACB 所在抛物线对应的函数表达式为 . (2) 如图①,腾空点B 与对面水池边缘的 水平距离OE=12米,人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 不少于3米.若 某人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好 与抛物线ACB 关于点B 成中心对称. ① 请直接写出此人腾空后的最大高度和抛 物线BD 对应的函数表达式. ② 此人腾空飞出后的落点D 是否在安全 范围内? 请说明理由(水面与地面之间的 高度差忽略不计). (3) 为消除安全隐患,公园计划对水滑道进 行加固.如图②,水滑道已经有两条加固钢 架,一条是水滑道距地面4米的点M 处竖 直支撑的钢架MN,另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑 道下方加固一条支撑钢架,为了美观,要求 这条钢架与BM 平行,且与水滑道有唯一 公共点,一端固定在钢架MN 上,另一端固 定在地面上.请你计算出这条钢架的长度 (结果保留根号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 22 ∴ Q2 13- 692 ,-77+11 694 .综上所述,点Q 的 坐标为 1-35 2 ,-5-35 4 或 13- 692 ,-77+11 694 2. 二次函数的应用 一、 1. C 2. C 二、 3. 46.4 4. 35 3 5. 450 6. 能 7. 19 三、 8. (1) 由题意,得2x+y=80,∴ y=-2x+80.由 0<-2x+80≤42,且x>0,得19≤x<40.∴ y= -2x+80(19≤x<40).由题意,得S矩形ABCD=AB·BC, 即S=x(-2x+80).∴ S=-2x2+80x(19≤x<40) (2) 能 令S=-2x2+80x=750,解得x1=15(舍去), x2=25.∴ 当x=25时,围成的矩形花圃的面积为750平 方米 (3) 存在 由(1)可知,S=-2x2+80x= -2(x-20)2+800.∵ -2<0,且19≤x<40,∴ 当x= 20时,S取得最大值,为800.∴ 围成的矩形花圃存在最 大面积,最大面积为800平方米,此时x的值为20 9. (1) 由题意,可得抛物线的对称轴是直线x=10+202 = 15,∴ 抛物线的顶点为(15,9).∴ 可设抛物线对应的函 数表达式为y=a(x-15)2+9.又∵ 抛物线过点(10, 8),∴ 8=25a+9,解得a=-125.∴ 抛物线对应的函数 表达式为y=- 1 25 (x-15)2+9 (2) 在y=- 1 25 (x- 15)2+9中,令x=5,得y=- 1 25× (5-15)2+9=5. ∴ 水火箭距离地面OA 的竖直高度为5m 10. (1) ∵ AO=17m,∴ A(0,17).又OC=100m,缆 索L1的最低点P 到FF'的距离PD=2m,∴ 缆索L1 所在抛物线的顶点P 的坐标为(50,2).∴ 可设该抛物 线对应的函数表达式为y=a(x-50)2+2.将A(0,17) 代入,得2500a+2=17,解得a= 3500.∴ 缆索L1 所在 抛物线对应的函数表达式为y= 3 500 (x-50)2+2 (2) ∵ 缆索L1 所在抛物线与缆索L2 所在抛物线关于 y轴对称,缆索L1所在抛物线对应的函数表达式为y= 3 500 (x-50)2+2,∴ 缆索L2 所在抛物线对应的函数表 达式为y= 3 500 (x+50)2+2.令y=2.6,则2.6= 3 500 (x+ 50)2+2,解得x1=-40,x2=-60.又FO<OD= 1 2OC=50m ,∴ x=-40.∴ FO 的长为40m 11. (1) ① 3 6 解析:根据小球飞行的水平距离x(米) 与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知,抛物线的 顶点坐标为(4,8),则 -b2a=4 , -b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-12 , b=4. ∴ 二次 函数的表达式为y=- 1 2x 2+4x.当y= 15 2 时,-12x 2+ 4x=152 ,解得x1=3,x2=5.∴ m=3.当x=6时, n=-12×6 2+4×6=6. ② 联立 y=- 1 2x 2+4x, y= 1 4x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=0, y1=0, x2= 15 2 , y2= 15 8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 点 A 的坐标为 152 ,15 8 (2) ① 8 ② y=-5t2+vt= -5t-v10 2 +v 2 20. 由题意,得v 2 20=8 ,解得v=4 10 (负值舍去) 12. (1) ① a=-115 ,b=8.1 解析:∵ 抛物线y= ax2+x 经过点(9,3.6),∴ 81a+9=3.6,解得a= -115.∵ 直线y=- 1 2x+b 经过点(9,3.6),∴ 3.6= -12×9+b ,解得b=8.1. ② ∵ y=- 1 15x 2+x=-115x- 15 2 2 +154 (0≤x≤ 9),∴ 抛物线的最高点的坐标为 15 2 ,15 4 .∴ 15 4- 1.35=2.4(km).令2.4=-115x 2+x,整理,得x2- 15x+36=0,解得x1=12(不合题意,舍去),x2=3.在 y=- 1 2x+8.1 中,令y=2.4,则2.4=- 1 2x+8.1 , 解得x=11.4.∵ 11.4-3=8.4(km),∴ 这两个位置之 间的距离为8.4km (2) 在y=ax2+x 中,当x=9 时,y=81a+9.∴ 火箭第二级的引发点的坐标为(9, 81a+9).设火箭落地点与发射点的水平距离为15km, 则直线y=- 1 2x+b 经过点(9,81a+9)、(15,0), ∴ -12×9+b=81a+9 , -12×15+b=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-227 , b=7.5. ∴ 当-227< 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 a<0时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15km 13. (1) v0 10 (2) 由题意可知,当t= v0 10 时,h=20,即 -5× v010 2 +v0× v0 10=20 ,∴ v0=20(负值舍去). ∴ 小球被发射时的速度是20m/s (3) 小明的说法不 正确 理由:由(2),得h=-5t2+20t.当h=15时, 15=-5t2+20t,解得t1=1,t2=3.∵ 3-1=2(s), ∴ 小明的说法不正确. 14. (1) 由题意可知,点 A 3,32 在抛物线 y=-x2+ bx上,∴ -32+3b=32 ,解得b=72.∴ 抛物线对应的函 数表达式为y=-x2+ 7 2x (2) ∵ y=-x2+ 7 2x= -x-74 2 +4916 ,∴ 抛物线最高点的坐标为 7 4 ,49 16 (3) 如图,过点A、B 作x 轴的垂线,垂足分别是E、D. ∵ ∠BOD=∠AOE,∠BDO=∠AEO=90°,∴ △OBD∽ △OAE.∴ OD OE= BD AE= OB OA. 又∵ B 是OA 的三等分点, ∴ OB OA = 1 3.∵ A 3,32 ,∴ AE= 32 ,OE=3. ∴ BD=13AE= 1 3× 3 2= 1 2 ,OD=13OE= 1 3×3= 1.∴ 点C的横坐标为1.将x=1代入y=-x2+ 7 2x , 得y=-12+ 7 2×1= 5 2.∴ 点C 的坐标为 1,52 . ∴ CD=52.∴ CB=CD-BD=52- 1 2=2.∴ 这棵树 的高度是2 第14题 15. 设该果商每吨的定价为x 万元时,每天的利润为 w 万元,则w=(x-2)[100+50(5-x)]=-50(x- 4.5)2+312.5.∵ -50<0,∴ w 随x 的增大而减小. ∴ 当x=4.5时,w 取得最大值,最大值为312.5.∴ 该 果商每吨的定价为4.5万元时,才能使每天的利润最 大,最大利润是312.5万元 16. (1) 设y与x 之间的函数表达式为y=kx+b.将 (100,300)、(120,200)代入,得 100k+b=300, 120k+b=200, 解得 k=-5, b=800. ∴ y与x之间的函数表达式为y=-5x+800 (2) 由题意,得 x≥100, -5x+800≥220, 解得100≤x≤116.设 商场获得的利润为 w 元,则 w=(x-80)(-5x+ 800)=-5x2+1200x-64000=-5(x-120)2+8000. ∵ -5<0,100≤x≤116,∴ 当x=116时,w 取得最大 值,最大值为7920.∴ 当销售价格为116元/件时,商场 获得的利润最大,最大利润是7920元 17. (1) 设A种客房每间的定价是x元,B种客房每间的 定价是y元.由题意,得 24x+20y=7200, 10x+10y=3200, 解得 x=200 , y=120. ∴ A、B两种客房每间的定价分别是200元、120元 (2) 设A种客房每间的定价为m 元,A种客房一天的营 业额为 W 元,则 W=m 24-m-20010 =-110(m- 220)2+4840.∵ -110<0 ,∴ 当m=220时,W 取得最 大值,最大值为4840.∴ 当 A种客房每间的定价为 220元时,A种客房一天的营业额最大,最大营业额为 4840元 18. (1) 由题意,得y=(200-x)60+4×x10 =-0.4x2+ 20x+12000=-0.4(x-25)2+12250.∵ 200-x≥ 180,∴ x≤20.又∵ -0.4<0,∴ 当x=20时,y 取得 最大值,最大值为-0.4×(20-25)2+12250=12240. ∴ 当每辆轮椅降价20元时,每天的销售利润最大,最大 利润为12240元 (2) 由(1)可知,y=-0.4(x- 25)2+12250.令y=12160,得12160=-0.4(x- 25)2+12250,解得x1=40(不合题意,舍去),x2=10. ∴ 这天售出了60+4×1010=64 (辆)轮椅 19. (1) -1 30 解析:由题意,得 10k+b=20, 15k+b=15, 解得 k=-1, b=30. (2) 当1≤x≤20时,由(1),得y=-x+30,∴ M= (x+10)(-x+30)=-x2+20x+300.当20<x≤30 时,M =15(x +10)=15x +150.∴ M = -x2+20x+300(1≤x≤20), 15x+150(20<x≤30) (3) 当1≤x≤20时, M=-x2+20x+300=-(x-10)2+400.∵ -1<0, ∴ 当x=10时,M 取得最大值,为400.∴ 此时销售额 不超过500元.当20<x≤30时,令 M=15x+150> 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 500,解得x>2313.∴ 共有7天的销售额超过500元 20. (1) 设A类特产的售价为x元/件,则B类特产的售 价为(132-x)元/件.由题意,得3x+5(132-x)=540,解 得x=60,则132-x=72.∴ A类特产的售价为60元/件, B类特产的售价为72元/件 (2) 由题意,得y=10x+ 60(0≤x≤10) (3) 由题意,得 w=(60-50- x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x2+40x+ 1800=-10(x-2)2+1840.∵ -10<0,∴ 当x=2 时,w 取得最大值,为1840.∴ 当每件A类特产降价 2元时,总利润最大,最大总利润是1840元 21. (1) 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.由题 表,可得 40k+b=164, 50k+b=124, 解得 k=-4 , b=324. ∴ y与x 之间的 函数表达式为y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数) (2) 由题意,得w=x(-4x+324)-2000=-4x2+ 324x-2000,即 w 与x 之间的函数表达式为w= -4x2+324x-2000(30≤x≤80,且x是整数) (3) 由 (2)知,w=-4x2+324x-2000=-4x-812 2 + 4561.∵ -4<0,30≤x≤80,且x是整数,∴ 当x=40 或41时,w 取得最大值,此时w=4560.∴ 该影院将电 影票的售价定为40元/张或41元/张时,每天的利润最 大,最大利润是4560元 22. (1) ∵ 抛物线的顶点坐标为 1 2 ,7 4 ,∴ 可设y2 关于x的函数表达式为y2=a x- 1 2 2 +74. 又∵ 抛 物线过点(2,4),∴ a×94+ 7 4=4 ,解得a=1.∴ y2= x-12 2 +74 (0.4≤x≤3.5) (2) 当x=12 时,y2 取得最小值,为7 4.∵ 当销售量在0.4吨至3.5吨之间 时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)之间的函数表达式 为y1=5x,∴ 当x=12 时,y1=5× 1 2=2.5.∴ 当成本 最低时,该公司销售产品所获利润是2.5-74=0.75 (万 元) (3) 设利润为w 万元,则 w=y1-y2=5x- 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 x-12 2 +74 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 =-x2+6x-2=-(x-3)2+7. ∵ -1<0,0.4≤x≤3.5,∴ 当x=3时,w 取得最大值, 最大值为7.∴ 当销售量是3吨时,该公司可获得最大 利润,最大利润是7万元 23. (1) 设y=kx+b(k≠0).由题表,得 12k+b=56, 14k+b=52, 解得 k=-2, b=80. ∴ y=-2x+80 (2) 设日销售利润为 w 元.由题意,得w=(x-10)(-2x+80)=-2x2+ 100x-800=-2(x-25)2+450.∵ -2<0,∴ 当x= 25时,w 取得最大值,为450.∴ 当糖果的销售价格定为 25元/盒时,超市所获的日销售利润最大,最大日销售利润 是450元 (3) 由(2)及题意,得w=(x-10-m)(-2x+ 80)=-2x2+(100+2m)x-800-80m.∵ 最大日销售利润 为392元,∴ 4×(-2)(-800-80m)-(100+2m)2 4×(-2) =392. 整理,得m2-60m+116=0,解得m1=2,m2=58.当 m=58时,该糖果的售价为-100+2m2×(-2)=54 (元/盒),此 时每盒糖果的利润为54-10-58=-14(元),故舍去. ∴ m 的值为2 24. (1) y= 1 8 (x+3)2+78 解析:由题意可知,水滑 道ACB 所在抛物线的顶点C的坐标为 -3,78 ,∴ 可 设水滑道ACB 所在抛物线对应的函数表达式为y= a(x+3)2+78.∵ 点B(0,2)在该抛物线上,∴ 2= a(0+3)2+78 ,解得a=18.∴ 水滑道ACB 所在抛物 线对应的函数表达式为y= 1 8 (x+3)2+78. (2) ① 此人腾空后的最大高度为25 8 米,抛物线BD 对应 的函数表达式为y=- 1 8 (x-3)2+258 解析:∵ 抛物 线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称,∴ 抛 物线BD 的顶点与抛物线ACB 的顶点C关于点B 成中 心对称.∴ B 是它们的中点.又∵ C -3,78 ,B(0, 2),∴ 抛物线BD 的顶点坐标为 3,258 .∴ 此人腾空 后的最大高度为25 8 米.设抛物线BD 对应的函数表达式 为y=a'(x-3)2+ 25 8. 将B(0,2)代入,得a'(0-3)2+ 25 8=2 ,解得a'=-18.∴ 抛物线BD 对应的函数表达 式为y=- 1 8 (x-3)2+258. ② 落点D 在安全范围内 理由:在y=- 1 8 (x-3)2+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 25 8 中,令y=0,得0=- 1 8 (x-3)2+258 ,解得x1=8, x2=-2(舍去).∴ OD=8米.又OE=12米,∴ DE= 12-8=4(米).∵ 4>3,∴ 落点D 在安全范围内. (3) 如 图,EF 即为所求钢架.已知水滑道ACB 所在抛物线对 应的函数表达式为y= 1 8 (x+3)2+78 ,令y=4,得4= 1 8 (x+3)2+78 ,解得x1=-8,x2=2(舍去).∴ M(-8, 4).又∵ B(0,2),∴ 易得直线BM 对应的函数表达式为 y=- 1 4x+2.∵ EF∥BM,∴ 可设直线EF 对应的函 数表达式为y=- 1 4x+m. 联立 y=- 1 4x+m , y= 1 8 (x+3)2+78 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得1 8 (x+3)2+78=- 1 4x+m ,即x2+8x-8m+16= 0.由题意,得82-4(-8m+16)=0,解得m=0.∴ 直线 EF 对应的函数表达式为y=- 1 4x ,即点F 与点O 重 合.∵ M(-8,4),∴ 令x=-8,则y=- 1 4x=- 1 4× (-8)=2.∴ EN=2米,ON=8米.又∠ENO=90°, ∴ EF= 22+82=2 17(米).∴ 这条钢架的长度为 2 17米 第24题 第七章　几何图形初步 1. 线、角、命题、定理、证明 一、 1. D 2. C 3. B 4. C 5. A 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 二、 11. 假 12. 同位角相等,两直线平行 13. 两点之 间,线段最短 14. 35 15. 2<AB<8 三、 16. (1) 二 (2) ∵ ∠ADC=∠AEB=90°, ∴ ∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°.∵ ∠DOB= ∠EOC,∴ ∠B=∠C.又∵ OB=OC,∴ △BOD≌ △COE.∴ OD =OE.∵ ∠ADO = ∠AEO =90°, ∴ OD⊥AB,OE⊥AC.∴ 点O 在∠BAC 的平分线上. ∴ ∠1=∠2 2. 平行线的判定与性质 一、 1. B 2. B 3. C 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C 9. B 10. A 11. C 12. B 13. B 14. B 15. C 16. C 17. B 18. B 19. B 20. B 21. B 22. B 23. A 24. D 25. D 二、 26. 109° 27. 30° 28. 50° 29. 66° 第八章　三 角 形 1. 三角形与多边形 一、 1. C 2. C 3. B 4. B 5. A 6. C 7. B 二、 8. 直角 9. 900° 10. 1800° 11. 120° 12. 8 13. 36° 14. 9 15. 7 16. 120° 17. 18° 18. 100° 19. 81° 20. 100° 21. 1 3nm° 2. 全等三角形 一、 1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. D 7. D 二、 8. 100° 9. 答案不唯一,如DE=EF 10. (1,4) 三、 11. ∵ E 为AC 的中点,∴ AE=CE.在△AED 和 △CEF 中, AE=CE, ∠AED=∠CEF, DE=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AED ≌ △CEF. ∴ ∠A=∠ACF.∴ CF∥AB 12. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD=CB,AD∥ BC.∴ ∠ADE= ∠CBF.在 △ADE 和 △CBF 中, AD=CB, ∠ADE=∠CBF, DE=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CBF.∴ ∠1=∠2 13. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABD=∠C=60°, AB=BC.在△ABD 和△BCE 中, AB=BC, ∠ABD=∠C, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△BCE.∴ AD=BE 14. ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AB=DC,∠B= ∠C=90°.∵ BE=CF,∴ BE+EF=CF+EF,即 BF =CE.在 △ABF 和 △DCE 中, AB=DC, ∠B=∠C, BF=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△DCE.∴ AF=DE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈