第6章 1.二次函数的性质-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

16 4).把A(2,4)代入y=-x+m,得4=-2+m.∴ m= 6.∴ y=-x+m 为y=-x+6.把B(b,0)代入y= -x+6,得0=-b+6.∴ b=6.∴ a的值为4,m 的值 为6,b的值为6 (2) 设Ct,kt .由(1)知,A(2,4), B(6,0),而 O(0,0).① 当 AC、BO 为 对 角 线 时, t+2=6+0, k t+4=0+0 , 解得 t=4,k=-16. 经检验,t=4,k=-16 符合题意,此时点C的坐标为(4,-4).② 当CB、AO 为 对角线时, t+6=2+0, k t+0=4+0 , 解得 t=-4,k=-16. 经检验,t= -4,k=-16符合题意,此时点C 的坐标为(-4,4). ③ 当 CO、AB 为 对 角 线 时, t+0=2+6, k t+0=4+0 , 解 得 t=8, k=32. ∵ k=32>0,∴ 这种情况不符合题意.综上所 述,点C的坐标为(4,-4)或(-4,4),k的值为-16 (3) 设直线AC 对应的函数表达式为y=px+q.把 A(2,4)代入,得4=2p+q,∴ q=4-2p.∴ 直线AC对 应的函数表达式为y=px+4-2p.在y=px+4-2p 中,令y=0,得x= 2p-4 p .∴ D 2p-4 p ,0 .∵ 点E 与 点D 关于y 轴对称,∴ E 4-2p p ,0 .∵ △ABD 与 △ABE 相似,∴ 点E 只能在点B 的左侧.∴ ∠ABE= ∠DBA.故要使△ABD 与△ABE 相似,只需BEBA= BA BD 即可,即BE·BD=BA2.∵ A(2,4),B(6,0),∴ 易得 BA2=32.∵ B(6,0),∴ BE=6-4-2pp = 8p-4 p , BD=6-2p-4p = 4p+4 p .∴ 8p-4 p ·4p+4 p =32 ,解得 p=1.经检验,p=1是分式方程的解,且满足题意.∴ 直 线AC对应的函数表达式为y=x+2.∵ 有且只有一点 C,使得△ABD 与△ABE 相似,∴ 直线AC与反比例函 数y= k x (k<0)的图像只有一个交点.∴ x+2=kx 只 有一个解,即x2+2x-k=0有两个相等的实数根. ∴ Δ=0,即22+4k=0,解得k=-1.∴ k的值为-1 59. (1) ∵ 四边形OABC是平行四边形,点C的横坐标 为2,点B 的纵坐标为3,∴ C(2,3).∵ 点C(2,3)在反 比例函数y= k x 的图像上,∴ k=2×3=6.∴ 反比例函 数的表达式为y= 6 x (2) 设点A 的坐标为(m,0). ∵ C(2,3),∴ B(2+m,3).∵ D 为边AB 的中点, ∴ D 1+m,32 .∵ 点D 在反比例函数y=6x的图像 上,∴ 3 2= 6 1+m.∴ m=3.∴ OA=3.∴ S▱OABC=3× 3=9 (3) 点P 的坐标为(4,3), M1N OP = 24 25 解析:∵ 将直线 l1:y=- 3 4x 向上平移6个单位长度得到直线l2,∴ 直 线l2对应的函数表达式为y=- 3 4x+6. 设直线l2 与 y轴交于点E,与x轴交于点G,则E(0,6),G(8,0).过 点O 作OF⊥l1 交l2 于点F.∵ M1N⊥l1,∴ M1N= OF.∵ E(0,6),G(8,0),∴ OE=6,OG=8.在 Rt△EOG 中,由勾股定理,得 EG= OE2+OG2 = 62+82=10.∵ S△OEG= 1 2OE ·OG=12EG ·OF, ∴ OF=OE ·OG EG = 6×8 10 = 24 5.∴ M1N=OF= 24 5. 联 立 y= 6 x , y=- 3 4x+6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=4+22, y= 6-32 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x=4-22, y= 6+32 2 . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ M1 4-22,6+322 ,M2 4+2 2,6-322 . ∵ P 为M1M2的中点,∴ P(4,3).∴ OP= 42+32= 5.∴ M1N OP = 24 5 5= 24 25. 第六章　二次函数 1. 二次函数的性质 一、 1. D 2. A 3. D 4. C 5. C 6. A 7. A 8. D 9. D 10. A 11. C 12. D 13. B 14. A 15. C 16. C 17. B 18. D 19. C 20. B 21. B 22. B 23. B 24. C 25. D 二、 26. (1,2) 27. 2 28. k≥3 29. ①③④ 30. m≤18 31. c>14 32. -35 33. ①②④ 34. ①②④ 35. ①②④ 36. ②③④ 37. ①④ 38. > -12<m<1 39. 4 40. 4 41. ①③④ 三、 42. (1) 把A(-2,0)、B(1,0)代入y=-x2+bx+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 c,得 -4-2b+c=0, -1+b+c=0, 解得 b=-1 , c=2 (2) 由(1)知,二 次函数的表达式为y=-x2-x+2.设点P 的坐标为 (m,-m2-m+2).∵ △PAB 的面积为6,AB=1- (-2)=3,∴ S△PAB= 1 2AB ·|yP|= 1 2×3×|-m 2- m+2|=6.∴ |m2+m-2|=4,即m2+m-2=4或 m2+m-2=-4,解得m=-3或m=2.∴ 点P 的坐 标为(-3,-4)或(2,-4) 43. (1) 将A(-2,0)、C(0,-2)代入 y=x2+bx+c,得 4-2b+c=0, c=-2, 解得 b=1 , c=-2. ∴ 二次函数的表达式为 y=x2+x-2 (2) 设点P 的坐标为(m,n),m<0,n> 0.∵ △PDB的面积是△CDB的面积的2倍,∴ S△PDB S△CDB= 2,即 1 2BD ·n 1 2BD ·OC =2.∴ n OC=2. 又OC=2,∴ n= 2OC=4.由m2+m-2=4,解得m1=-3,m2=2(舍 去).∴ 点P 的坐标为(-3,4) 44. (1) 在y=- 3 2x+3 中,令x=0,得y=3,∴ D(0, 3).∵ 抛物线y=- 1 4 (x-2)2+k 经过点D(0,3), ∴ 3=-14× (0-2)2+k,解得k=4.∴ y=- 1 4 (x- 2)2+4=-14x 2+x+3.∴ 抛物线对应的函数表达式 为y=- 1 4x 2+x+3 (2) 连接OP.在y=- 3 2x+3 中,令y=0,得x=2,∴ C(2,0),即OC=2.在y= -14x 2+x+3中,令y=0,得0=- 1 4x 2+x+3,解得 x=6或x=-2.∴ A(-2,0),即OA=2.由y= -14 (x-2)2+4,可得抛物线的顶点P 的坐标为(2, 4).∴ S四边形ACPD=S△AOD+S△POD+S△POC= 1 2×2× 3+12×3×2+ 1 2×2×4=3+3+4=10.∴ 四边形 ACPD 的面积为10 45. (1) 把A(-1,0)、C(0,-3)代入y= 1 2x 2+bx+c, 得 1 2-b+c=0 , c=-3, 解得 b=- 5 2 , c=-3. ∴ 二次函数的表达式 为y= 1 2x 2-52x-3 (2) 95 5 解析:在y= 1 2x 2-52x-3 中,令y=0,得 0=12x 2-52x-3 ,解得x1=-1,x2=6.∴ 点B 的坐 标为 (6,0),即 OB =6.∴ BC= OB2+OC2 = 62+32=35.设直线BC 对应的函数表达式为y= mx+n.将C(0,-3)、B(6,0)代入,得 n=-3, 6m+n=0, 解得 m=12 , n=-3. ∴ 直线BC对应的函数表达式为y=12x-3. 过点P 作PD⊥x 轴,交BC 于点D.设点P 的坐标为 k,12k2-52k-3 ,则点D 的坐标为 k,12k-3 . ∴ PD=12k-3- 1 2k 2-52k-3 =-12k2+3k. ∴ S△BCP = 1 2PD ·OB= 12 ×6 - 1 2k 2+3k = -32 (k-3)2+272.∵ -32<0 ,∴ △BCP 的面积最大 为27 2. 又∵ S△BCP= 1 2PN ·BC,∴ PN= 2S△BCP BC = 2×272 35 =955 . 46. (1) ∵ 抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线x= 3 2 ,∴ -b2= 3 2 ,解得b=-3 (2) 在y=x2-3x-1 中,令y=0,得0=x2-3x-1,解得x= 3± 13 2 .∵ m 是抛物线y=x2-3x-1与x轴交点的横坐标,∴ m= 3± 13 2 . 方法一:当 m=3+ 132 时,M=m 5-33 109 = 3+ 13 2 5 -33 109 = 3+ 13 2 ,∴ M- 132 = 3+ 13 2 - 13 2 = 3 2>0 ,即 M> 132 . 当m=3- 132 时,M= m5-33 109 = 3- 13 2 5 -33 109 <0 ,∴ M< 132 . 综上所 述,当m=3+ 132 时,M> 132 ;当m=3- 132 时, M< 132 方法二:∵ m 是抛物线y=x2-3x-1与 x轴交点的横坐标,∴ 0=m2-3m-1.∴ m2=3m+1. ∴ m5=(m2)2·m=(3m+1)2·m=(9m2+6m+1)· 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 m=[9(3m+1)+6m+1]·m=(27m+9+6m+1)· m=(33m+10)·m=33m2+10m=33(3m+1)+ 10m=99m+33+10m=109m+33.∴ M=m 5-33 109 = 109m+33-33 109 =m. 当 m=3+ 132 时,M- 132 = m- 132 = 3+ 13 2 - 13 2 = 3 2>0 ,此时M> 132 ; 当m=3- 132 时,M- 132 =m- 13 2 = 3- 13 2 - 13 2 = 3-2 13 2 <0 ,此时M< 132 47. (1) 将a=1代入y=ax2-2a2x,得y=x2-2x= (x-1)2-1,∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1) (2) 由 题意,得y1=a·(3a)2-2a2·3a=3a3,y2=ax22- 2a2x2.∵ y1<y2,∴ y2-y1=a(x22-2ax2-3a2)= a(x2-3a)(x2+a)>0.① 当a>0时,(x2-3a)(x2+ a)>0,解得x2>3a或x2<-a.∵ 3≤x2≤4,∴ 3a<3 或-a>4.∴ a<1.∵ a>0,∴ 0<a<1.② 当a<0 时,(x2-3a)(x2+a)<0,解得3a<x2<-a.∵ 3≤ x2≤4,∴ 3a<3, -a>4, 解得a<-4.综上所述,a的取值范 围是0<a<1或a<-4 48. (1) ∵ 二次函数y=- 4 9 (x-1)2+4的图像的顶 点为C,∴ C(1,4).令y=- 4 9 (x-1)2+4=0,解得 x1=-2,x2=4.∴ A(-2,0)、B(4,0) (2) ① 6 解析:由题意知,该二次函数的图像过点 B(4,0)、D(3,0),∴ 该二次函数图像的对称轴为直线 x=72.∵ 点C(1,4)、M(t,4)在该二次函数的图像上, ∴ 点C、M 关于直线x=72 对称.∴ 1+t 2 = 7 2 ,解得t=6. ② 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将M(t,4)、 C(1,4)代入,得 at2+bt+c=4, a+b+c=4, ∴ a(t2-1)+b(t- 1)=0.∵ t≠1,∴ -b2a= t+1 2 .∴ 二次函数图像的对称 轴与x轴的交点坐标为 t+12 ,0 .∵ B、D 两点关于对 称轴对称,点B 的坐标为(4,0),∴ 点D 的坐标为(t- 3,0).∵ 点 D 在 线 段 OB 上,且 不 与 端 点 重 合, ∴ t-3>0, t-3<4, 即3<t<7.又∵ 当t=4时,过B、C、M 三点的二次函数的图像不存在,∴ 3<t<7且t≠4 ③ 由②可知,B(4,0)、D(t-3,0),∴ OD=t-3,DB= 7-t.∴ OD·DB=(t-3)(7-t)=-t2+10t-21= -(t-5)2+4.∵ 3<t<7且t≠4,∴ 当t=5时,OD· DB 取得最大值,为4 49. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx的顶点的横坐标为 b 2 , 抛物线y=-x2+2x的顶点的横坐标为1,∴ b 2-1= 1.∴ b=4 (2) ∵ 点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+ 2x上,∴ y1=-x21+2x1.∵ 点B(x1+t,y1+h)在抛 物线y=-x2+4x上,∴ y1+h=-(x1+t)2+4(x1+ t).∴ -x21+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1+t). ∴ h=-t2-2x1t+2x1+4t.① ∵ h=3t,∴ 3t= -t2-2x1t+2x1+4t.∴ t(t+2x1)=t+2x1.∵ x1≥ 0,t>0,∴ t+2x1>0.∴ t=1.∴ h=3 ② 将x1=t- 1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t,得h=-t2-2(t- 1)t+2(t-1)+4t=-3t2+8t-2=-3t-43 2 +103. ∵ -3<0,∴ 当t=43 ,即x1= 1 3 时,h取得最大值, 为10 3 50. (1) 设平移抛物线y= 1 3x 2后得到的新抛物线对应 的函数表达式为y= 1 3x 2+bx+c.把A 0,-53 、 B(5,0)代入,得 c=-53 , 25 3+5b+c=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 b=-43 , c=-53. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 平 移后新抛物线对应的函数表达式为y= 1 3x 2-43x- 5 3 (2) ① 由题意,得Q m,13m 2 ,P m,13m2- 4 3m- 5 3 ,∴ PQ= 13m2- 13m2-43m-53 = 4 3m+ 5 3 .∵ PQ<3,∴ 4 3m+ 5 3 <3. 又∵ m> 0,∴ 0<m<1 ② ∵ y= 1 3x 2-43x- 5 3= 1 3 (x- 2)2-3,∴ 抛物线y= 1 3x 2 向右平移2个单位长度,向 下平移3个单位长度得到新抛物线.如图①,由题意,可 得点P 在点B 的右边.当BP'∥PQ 时,则BP'⊥x 轴, ∴ xP'=xB=5.∴ P' 5,253 .由平移的性质,可得 P 7,163 .如图②,当P'Q∥BP 时,设直线x=m 交 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 x轴于点T,则∠P'QT=∠BPT.过点P'作P'S⊥QP 于点S,∴ ∠P'SQ=∠BTP=90°.∴ △P'SQ∽ △BTP.∴ QS PT= P'S BT.∴ QS P'S= PT BT. 设P'x,13x 2 , 则P x+2,13x 2-3 、S x+2,13x2 、Q x+2, 1 3 (x+2)2 ,∴ 1 3 (x+2)2-13x 2 2 = 1 3x 2-3 x+2-5 ,解得 x=1(不合题意,舍去)或x=3(为增根,舍去).综上所 述,点P 的坐标为 7,163 第50题 51. (1) ∵ 抛物线y=ax2+bx-1与x轴交于A(-1, 0)、B(4,0)两点,∴ a-b-1=0, 16a+4b-1=0, 解得 a=14 , b=-34. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= 1 4x 2-34x-1 (2) 如图①,连接CN.∵ b=1,∴ y=ax2+x-1.当 x=-1时,y=a-2,∴ M(-1,a-2).当x=1时,y= a,∴ N(1,a).∵ C(-1,a),N(1,a),∴ CN∥x 轴, CN=2,CM=a-(a-2)=2.∵ CM⊥CN,∴ MN= CM2+CN2=22.∵ DN=a+22-a=2 2, ∴ DN=MN.∴ ∠NDM=∠NMD.∵ DN∥CM, ∴ ∠NDM=∠CMD.∴ ∠NMD=∠CMD.∴ MD 平 分∠CMN (3) 当a=1时,y=x2+bx-1.设G(m, m-1),则H(m,m2+bm-1),1≤m≤3.令x2+bx- 1=x-1,解得x1=0,x2=1-b.∵ b≤-2,∴ x2=1- b≥3.∴ 点G 在点H 的上方(如图②).设GH=t,则 t=m-1-(m2+bm-1)=-m2+(1-b)m,其图像的 对称轴为直线 m=1-b2 ,且1-b 2 ≥ 3 2.① 当 3 2 ≤ 1-b 2 ≤3 ,即-5≤b≤-2时,如图③,当m=1-b2 时,t 取得最大值,即 (1-b)2 4 =4 ,解得b=-3或b=5(舍 去);② 当1-b 2 >3 ,即b<-5时,如图④,当m=3时,t 取得最大值,即-9+3-3b=4,解得b=-103 (舍去).综 上所述,b的值为-3 第51题 52. (1) 由题意可知,抛物线y1 对应的函数表达式为 y1=x(x-2)=x2-2x.∵ 将抛物线y1 向右平移2个 单位长度,得到抛物线y2,∴ 抛物线y2 对应的函数表 达式为y2=(x-2)(x-4)=x2-6x+8 (2) 设P(s, s2-2s),直线PA 对应的函数表达式为y=k(x-2),则 s2-2s=k(s-2),解得k=s.∴ 直线PA 对应的函数表 达式为y=s(x-2).联立 y=s(x-2), y2=x2-6x+8, 可得xQ= 4+s,则xQ-xP=4+s-s=4 (3) |m-n|=6,为定值 解析:联立 y1=x2-2x, y3=x2-8x+t, 可得x=16t ,则C 16t ,1 36t 2-13t .由题意可知,点M 的坐标为(m,m2-2m),∴ 易知直线CM 对应的函数表 达式为y= m+16t-2 (x-m)+m2-2m.联立上式 和y3=x2-8x+t,得x2-8x+t= m+ 1 6t-2 (x- m)+m2 -2m,整 理,得 x2 - 6+m+16t x+ 1+16m t=0,则xC+xN=6+m+16t,即16t+n= 6+m+16t ,即n-m=6.∴ |m-n|=6,为定值. 53. (1) 由题意,得 -b2=- 1 2 , (-2)2-2b+c=5, 解得 b=1,c=3. ∴ 二次函数的表达式为y=x2+x+3 (2) 点B(1,7) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 向上平移2个单位长度,向左平移m(m>0)个单位长度 后得到点(1-m,9).由题意可知,点(1-m,9)在二次函 数y=x2+x+3的图像上,∴ 9=(1-m)2+(1-m)+ 3,解得m=4或m=-1(舍去).∴ m=4 (3) 当n< -12 时,最大值为x=-2时的值,即为5,最小值为x= n时的值,即为n2+n+3,∴ 最大值与最小值的差为 5-(n2+n+3)=94 ,解得n1=n2=- 1 2 ,不符合题意, 舍去.当-12≤n≤1 时,最大值为x=-2时的值,即为 5,最小值为x=-12 时的值,即为11 4 ,∴ 最大值与最小 值的差为5-114= 9 4 ,符合题意.当n>1时,最大值为 x=n时的值,即为n2+n+3,最小值为x=-12 时的 值,即为11 4 ,∴ 最大值与最小值的差为(n2+n+3)- 11 4= 9 4 ,解得 n=1 或 n=-2,不符合题意,舍去.综上 所述,n的取值范围是-12≤n≤1 54. (1) 将A(-2,5)代入y=-x2+c,得5=-4+c, 解得c=9.∴ 二次函数的表达式为y=-x2+9 (2) 在y=-x2+9中,令y=0,则x=±3,∴ B(3,0). 由A(-2,5)、B(3,0),易得直线AB 对应的函数表达式 为y=-x+3.由题意可知,P(x1,-x21+9)、Q(x2, -x22+9),则D(x1,-x1+3),其中x2=x1+3.∴ S△PDQ= 1 2PD ·(xQ-xP)= 1 2 (-x21+9+x1-3)(x2-x1)= 3 2 (-x21+x1+6).同理,可得S△ADC= 1 2CD ·(xD- xA)= 1 2 (-x1+3)(x1+2)= 1 2 (-x21+x1+6). ∴ S△PDQ S△ADC=3 ,为定值 (3) 由题意可知,P(x1,-x21+ 9)、Q(-2x1,-4x21+9),∴ 易得直线PQ 对应的函数 表达式为y=xx1-2x21+9,则MN=yM=(x1-1)x1- 2x21+9=- x1+ 1 2 2 +374≤ 37 4.∴ 线段MN 长的最 大值为37 4 55. (1) ∵ 抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(-1, 0)、B(3,0)两点,∴ a-b+3=0, 9a+3b+3=0, 解得 a=-1 , b=2. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+3 (2) 在 y=-x2+2x+3中,令x=0,得y=3,∴ C(0,3).设直 线BC对应的函数表达式为y=kx+n.将B(3,0)、 C(0,3)代入,得 3k+n=0, n=3, 解得 k=-1 , n=3. ∴ 直线BC 对应的函数表达式为y=-x+3.设P(m,-m2+2m+ 3),0<m<3,则PD=-m2+2m+3,E(m,-m+3), D(m,0).∴ ED=-m+3.∴ PE=PD-DE=-m2+ 2m+3-(-m+3)=-m2+3m.∵ PE=2ED,∴ -m2+ 3m=2(-m+3),解得m1=2,m2=3(此时点B、D 重 合,不合题意,舍去).∴ m=2.∴ 点P 的坐标为(2,3) (3) ∵ PF∥AC,∴ 易得△ACG∽△PFG.∴ AC PF= AG PG= CG FG.∴ S3 S2= FG CG= PF AC ,S2 S1= PG AG= PF AC.∴ S3 S2+ S2 S1= 2PF AC . 如图,过点A 作AN∥BC,交y轴于点N,过 点P 作PQ∥y轴,交BC于点Q.∵ 直线BC 对应的函 数表达式为y=-x+3,AN∥BC,∴ 可设直线AN 对 应的函数表达式为y=-x+b'.将A(-1,0)代入y= -x+b',得0=-(-1)+b',解得b'=-1.∴ 直线AN 对应的函数表达式为y=-x-1.当x=0时,y=-1, ∴ N(0,-1).∴ ON=1,则CN=ON+CO=4. ∵ AN∥BC,PQ∥y轴,PF∥AC,∴ ∠PQF=∠NCB= ∠ANC,∠PFC = ∠ACF.∵ ∠PFC = ∠FPQ + ∠PQF,∠ACF = ∠NCB + ∠ACN,∴ ∠FPQ = ∠ACN.∴ △PFQ∽△CAN.∴ PF CA= PQ CN. 设P(n, -n2+2n+3),则Q(n,-n+3).∴ PQ=-n2+3n. ∴ S3 S2+ S2 S1= 2PF AC= 2PQ CN= -2n2+6n 4 =- 1 2 n- 3 2 2 + 9 8.∵ -12<0 ,∴ 当n=32 时,S3 S2+ S2 S1 取得最大值 9 8 ,此时P 32 ,15 4 ,Q 32,32 .∴ PQ=154- 3 2= 9 4 ,CQ= 32-0 2 + 32-3 2 =322 .∵ ON = OA=1,OB=OC=3,∴ ∠OBC=∠ANC=45°. ∵ ∠ANC=∠PQF,∴ ∠OBC=∠PQF.∵ CB= (3-0)2+(0-3)2=32,AB=4,∴ PQ CB= 9 4 32 =328 , CQ AB= 32 2 4 = 32 8 .∴ PQ CB= CQ AB.∴ △CPQ∽△ACB. ∴ ∠BCP=∠BAC.∵ AC= (-1-0)2+(0-3)2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 10,∴ sin∠BCP=sin∠BAC=OCAC= 3 10 =3 1010 第55题 第56题 56. (1) ∵ B(4,0),∴ OB=4.∵ ∠BOC=90°,BC= 42,∴ OC= BC2-OB2=4.又∵ 点C 在y轴的正 半轴上,∴ C(0,4).把B(4,0)、C(0,4)代入y=- 1 2x 2+ bx+c,得 -12×4 2+4b+c=0, c=4, 解得 c=4,b=1. ∴ 抛物线 对应的函数表达式为y=- 1 2x 2+x+4 (2) 由B(4, 0)、C(0,4),易得直线BC 对应的函数表达式为y= -x+4.设P m,-12m 2+m+4 ,0<m<4,则K(m, -m+4)、D(m,0).∴ PK=-12m 2+m+4-(-m+ 4)=-12m 2+2m,DK=-m+4,DB=4-m.∴ S1= 1 2PK ·OB=-m2+4m,S2= 1 2DK ·DB=12 (-m+ 4)(4-m)=12 (4-m)2.∴ S1-S2=-m2+4m- 1 2 (4-m)2=-32m 2+8m-8=-32 m- 8 3 2 +83. ∵ -32<0 ,∴ 当m=83 时,S1-S2 取得最大值,为 8 3 (3) 存在 在y=- 1 2x 2+x+4中,令y=0,得- 1 2x 2+ x+4=0,解得x1=-2,x2=4.∴ A(-2,0).∵ C(0, 4),E 为线段AC的中点,∴ E(-1,2).如图,连接CF. ∵ FE⊥AC,AE=CE= (-1+2)2+22=5,∴ AF= CF.∴ ∠AFE=∠CFE.设OF=a,则CF=AF=a+ 2.在Rt△COF 中,由勾股定理,得a2+42=(a+2)2, ∴ a=3.∴ F(3,0),CF=5.∵ FE⊥AC,∠AOC=90°, ∴ ∠AFE=90°-∠CAF=∠OCA.∴ ∠AFE=∠OCA= ∠CFE.① 作点E 关于x轴的对称点E1,连接FE1 并 延长,交 抛 物 线 于 点 Q1,则∠Q1FE=2∠EFA= 2∠OCA,E1(-1,-2).设直线FE1 对应的函数表达式 为y=k1x+b1.将E1(-1,-2)、F(3,0)代入,得 -k1+b1=-2, 3k1+b1=0, 解得 k1= 1 2 , b1=- 3 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线FE1 对应的 函数表达式为y= 1 2x- 3 2. 联立 y= 1 2x- 3 2 , y=- 1 2x 2+x+4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 x=35+12 , y= 35-5 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (舍 去 ) 或 x=1-352 , y= -5-35 4 . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ Q1 1-352 ,-5-35 4 .② 作点E 关于CF 的对称 点E2,EE2交CF 于点G,连接FE2 交抛物线于点Q2, 则∠Q2FE=2∠CFE=2∠OCA,EG⊥CF.∵ CE= 5,CF=5,∴ EF= CF2-CE2=25.∵ S△CEF= 1 2CF ·EG= 12CE ·EF,∴ EG=CE ·EF CF =2. ∴ FG= EF2-EG2 =4.过点 G 作GH ⊥x 轴于 点H.∵ sin∠CFO=COCF= 4 5 ,cos∠CFO=OFCF= 3 5 , ∴ GH=FG·sin∠CFO=4×45= 16 5 ,FH=FG· cos∠CFO=4×35= 12 5.∴ OH=OF-FH=35. ∴ G 35 ,16 5 .∵ E(-1,2),∴ xE2+(-1) 2 = 3 5 , yE2+2 2 = 16 5.∴ xE2= 11 5 ,yE2= 22 5.∴ E2 11 5 ,22 5 .设 直线 E2F 对应的函数表达式为y=k2x+b2.将 E2 11 5 ,22 5 、F(3,0)代入,得 3k2+b2=0, 11 5k2+b2= 22 5 , 解 得 k2=- 11 2 , b2= 33 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线E2F 对应的函数表达式为y= -112x + 33 2. 联 立 y=- 11 2x+ 33 2 , y=- 1 2x 2+x+4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 x= 69+132 , y= -11 69-77 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (舍 去)或 x=13- 692 , y= -77+11 69 4 . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 ∴ Q2 13- 692 ,-77+11 694 .综上所述,点Q 的 坐标为 1-35 2 ,-5-35 4 或 13- 692 ,-77+11 694 2. 二次函数的应用 一、 1. C 2. C 二、 3. 46.4 4. 35 3 5. 450 6. 能 7. 19 三、 8. (1) 由题意,得2x+y=80,∴ y=-2x+80.由 0<-2x+80≤42,且x>0,得19≤x<40.∴ y= -2x+80(19≤x<40).由题意,得S矩形ABCD=AB·BC, 即S=x(-2x+80).∴ S=-2x2+80x(19≤x<40) (2) 能 令S=-2x2+80x=750,解得x1=15(舍去), x2=25.∴ 当x=25时,围成的矩形花圃的面积为750平 方米 (3) 存在 由(1)可知,S=-2x2+80x= -2(x-20)2+800.∵ -2<0,且19≤x<40,∴ 当x= 20时,S取得最大值,为800.∴ 围成的矩形花圃存在最 大面积,最大面积为800平方米,此时x的值为20 9. (1) 由题意,可得抛物线的对称轴是直线x=10+202 = 15,∴ 抛物线的顶点为(15,9).∴ 可设抛物线对应的函 数表达式为y=a(x-15)2+9.又∵ 抛物线过点(10, 8),∴ 8=25a+9,解得a=-125.∴ 抛物线对应的函数 表达式为y=- 1 25 (x-15)2+9 (2) 在y=- 1 25 (x- 15)2+9中,令x=5,得y=- 1 25× (5-15)2+9=5. ∴ 水火箭距离地面OA 的竖直高度为5m 10. (1) ∵ AO=17m,∴ A(0,17).又OC=100m,缆 索L1的最低点P 到FF'的距离PD=2m,∴ 缆索L1 所在抛物线的顶点P 的坐标为(50,2).∴ 可设该抛物 线对应的函数表达式为y=a(x-50)2+2.将A(0,17) 代入,得2500a+2=17,解得a= 3500.∴ 缆索L1 所在 抛物线对应的函数表达式为y= 3 500 (x-50)2+2 (2) ∵ 缆索L1 所在抛物线与缆索L2 所在抛物线关于 y轴对称,缆索L1所在抛物线对应的函数表达式为y= 3 500 (x-50)2+2,∴ 缆索L2 所在抛物线对应的函数表 达式为y= 3 500 (x+50)2+2.令y=2.6,则2.6= 3 500 (x+ 50)2+2,解得x1=-40,x2=-60.又FO<OD= 1 2OC=50m ,∴ x=-40.∴ FO 的长为40m 11. (1) ① 3 6 解析:根据小球飞行的水平距离x(米) 与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知,抛物线的 顶点坐标为(4,8),则 -b2a=4 , -b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-12 , b=4. ∴ 二次 函数的表达式为y=- 1 2x 2+4x.当y= 15 2 时,-12x 2+ 4x=152 ,解得x1=3,x2=5.∴ m=3.当x=6时, n=-12×6 2+4×6=6. ② 联立 y=- 1 2x 2+4x, y= 1 4x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=0, y1=0, x2= 15 2 , y2= 15 8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 点 A 的坐标为 152 ,15 8 (2) ① 8 ② y=-5t2+vt= -5t-v10 2 +v 2 20. 由题意,得v 2 20=8 ,解得v=4 10 (负值舍去) 12. (1) ① a=-115 ,b=8.1 解析:∵ 抛物线y= ax2+x 经过点(9,3.6),∴ 81a+9=3.6,解得a= -115.∵ 直线y=- 1 2x+b 经过点(9,3.6),∴ 3.6= -12×9+b ,解得b=8.1. ② ∵ y=- 1 15x 2+x=-115x- 15 2 2 +154 (0≤x≤ 9),∴ 抛物线的最高点的坐标为 15 2 ,15 4 .∴ 15 4- 1.35=2.4(km).令2.4=-115x 2+x,整理,得x2- 15x+36=0,解得x1=12(不合题意,舍去),x2=3.在 y=- 1 2x+8.1 中,令y=2.4,则2.4=- 1 2x+8.1 , 解得x=11.4.∵ 11.4-3=8.4(km),∴ 这两个位置之 间的距离为8.4km (2) 在y=ax2+x 中,当x=9 时,y=81a+9.∴ 火箭第二级的引发点的坐标为(9, 81a+9).设火箭落地点与发射点的水平距离为15km, 则直线y=- 1 2x+b 经过点(9,81a+9)、(15,0), ∴ -12×9+b=81a+9 , -12×15+b=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-227 , b=7.5. ∴ 当-227< 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 1. 理解二次函数与抛物线的数形关系. 2. 会用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式. 3. 会用待定系数法确定二次函数的表达式. 4. 了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系,会用图像法解一元二次方程和一元二次不等式. 5. 熟悉抛物线的性质,并能利用抛物线的性质解决实际问题. 1. 二次函数的性质 ▶ 相应“答案与解析”见P16 一、 选择题 1. (2024·南通)将抛物线y=x2+2x-1向右 平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶 点坐标为 ( ) A. (-4,-1) B. (-4,2) C. (2,1) D. (2,-2) 2. (2024·包头)将抛物线y=x2+2x 向下平 移2个单位长度后,所得新抛物线对应的函 数表达式用顶点式表示为 ( ) A. y=(x+1)2-3 B. y=(x+1)2-2 C. y=(x-1)2-3 D. y=(x-1)2-2 3. (2024·陕西)已知一个二次函数y=ax2+ bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如 下表: x … -4 -2 0 3 5 … y … -24 -8 0 -3 -15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ( ) A. 图像的开口向上 B. 当x>0时,y的值随x值的增大而减小 C. 图像经过第二、三、四象限 D. 图像的对称轴是直线x=1 4. (2024·乐山)已知二次函数y=x2-2x (-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最 大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的 取值范围是 ( ) A. 0<t≤2 B. 0<t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 5. (2024·福建)已知二次函数y=x2-2ax+ a(a≠0)的图像经过A a2 ,y1 、B(3a,y2) 两点,则下列结论正确的是 ( ) A. 可以找到一个实数a,使得y1>a B. 无论实数a取什么值,都有y1>a C. 可以找到一个实数a,使得y2<0 D. 无论实数a取什么值,都有y2<0 6. (2024· 泸州)已知二次函数y=ax2+ (2a-3)x+a-1(x 是自变量)的图像经过 第一、二、四象限,则实数a的取值范围是 ( ) A. 1≤a<98 B. 0<a<32 C. 0<a<98 D. 1≤a<32 7. (2024·广东)若点(0,y1)、(1,y2)、(2,y3) 都在二次函数y=x2 的图像上,则y1、y2、 y3的大小关系正确的是 ( ) A. y3>y2>y1 B. y2>y1>y3 C. y1>y3>y2 D. y3>y1>y2 8. (2024·凉山)已知抛物线y= 2 3 (x-1)2+c 经过(-2,y1)、(0,y2)、 5 2 ,y3 三点,则y1、 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　第六章 二次函数 74 y2、y3的大小关系正确的是 ( ) A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y3>y1>y2 D. y1>y3>y2 9. (2024·贵州)如图,二次函数y=ax2+ bx+c的部分图像与x轴的一个交点的横坐 标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法 正确的是 ( ) A. 二次函数的图像的对称轴是直线x=1 B. 二次函数的图像与x 轴的另一个交点的 横坐标是2 C. 当x<-1时,y随x的增大而减小 D. 二次函数的图像与y 轴的交点的纵坐标 是3 第9题 第12题 10. (2024·达州)抛物线y=-x2+bx+c与 x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于 1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论 正确的是 ( ) A. b+c>1 B. b=2 C. b2+4c<0 D. c<0 11. (2024·湖北)若抛物线y=ax2+bx+c的 顶点为(-1,-2),该抛物线与y轴的交点 位于x轴上方,则下列结论正确的是( ) A. a<0 B. c<0 C. a-b+c=-2 D. b2-4ac=0 12. (2024·东营)抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 0)如图所示,则下列结论正确的是 ( ) A. abc<0 B. a-b=0 C. 3a-c=0 D. am2+bm≤a-b(m 为任意实数) 13. (2024·遂宁)如图,抛物线y=ax2+bx+ c(a、b、c为常数,且a≠0)的对称轴为直线 x=-1,且该抛物线与x 轴交于点A(1, 0),与y轴的交点B 在点(0,-2)、(0,-3) 之间(不含端点).有下列结论:① abc>0; ② 9a-3b+c>0;③ 2 3<a<1 ;④ 若方程 ax2+bx+c=x+1的两根为m、n(m<n), 则-3<m<1<n.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第13题 第14题 14. (2024·牡丹江)如图,在平面直角坐标系 中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴 交于A(-3,0)、B(1,0)两点,与y 轴的交 点C 的纵坐标在-3与-2之间.有下列结 论:① abc2>0;② 4 3<b<2 ;③ 若ax21- bx1=ax22-bx2 且x1≠x2,则x1+x2= -2;④ 若直线y=- 5 6cx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c有一个交点(m,n),m≠0, 则m=12. 其中,正确的是 ( ) A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 15. (2024·广元)如图,抛物线y=ax2+bx+ c过点C(0,-2),与x 轴交点的横坐标分 别为x1、x2,且-1<x1<0,2<x2<3.有下 列结论:① a-b+c<0;② 方程ax2+ bx+c+2=0有两个不相等的实数根; ③ a+b>0;④ a>23 ;⑤ b2-4ac>4a2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 75 其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第15题 第16题 16. (2024·眉山)如图,二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图像与x 轴交于点A(3, 0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1. 有下列结论:① bc<0;② 3a+2c<0; ③ ax2+bx≥a+b;④ 若-2<c<-1, 则-83<a+b+c<- 4 3. 其中,正确的个 数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. (2024·绥化)二次函数y=ax2+bx+ c(a≠0)的部分图像如图所示,对称轴为 直线x=-1.有下列结论:① b c >0 ; ② am2+bm≤a-b(m 为任意实数); ③ 3a+c<1;④ 若M(x1,y)、N(x2,y)是 抛物线上不同的两个点,则x1+x2≤-3. 其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第17题 第18题 18. (2024·甘孜)二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图像如图所示.有下列结论: ① c<0;② -b2a>0 ;③ 当-1<x<3时, y<0.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 19. (2024·齐齐哈尔)如图,二次函数y= ax2+bx+2(a≠0)的图像与x 轴交于点 (-1,0)、(x1,0),其中2<x1<3.有下列结 论:① ab>0;② a-b=-2;③ 当x>1 时,y随x的增大而减小;④ 关于x的一元 二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的另一个 根是-2a ;⑤ b的取值范围是1<b<43. 其 中,正确的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第19题 第20题 20. (2024·广安)如图,二次函数y=ax2+ bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图像与x轴 交于点A -32 ,0 ,对称轴是直线x= -12. 有下列结论:① abc<0;② 若点(-1, y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1<y2; ③ am2+bm≤14a- 1 2b (m 为任意实数); ④ 3a+4c=0.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21. (2024·雅安)已知一元二次方程ax2+ bx+c=0有两个实数根x1=-1,x2=3, 且abc>0.有下列结论:① 2a+b=0;② 抛 物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为1,4c3 ; ③ a<0;④ 若m(am+b)<4a+2b,则 0<m<1.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　 76 22. (2024·连云港)已知抛物线y=ax2+ bx+c(a、b、c是常数,a<0)的顶点为(1, 2).有下列结论:① abc<0;② 当x>1时, y随x 的增大而减小;③ 若关于x 的方程 ax2+bx+c=0的一个根为3,则a=-12 ; ④ 抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+ bx+c向左平移1个单位长度,再向下平移 2个单位长度得到的.其中,正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 23. (2024·泰安)如图所示为二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的部分图像,该函数图 像的对称轴是直线x=1,与y轴交点的纵 坐标是2.有下列结论:① 2a+b=0;② 方 程ax2+bx+c=0一定有一个根在-2 和-1之间;③ 方程ax2+bx+c-32=0 一定有两个不相等的实数根;④ b-a<2. 其中,正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第23题 第24题 24. (2024·自贡)一次函数y=x-2n+4,二 次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数 y= n+1 x 在同一平面直角坐标系中的图像 如图所示,则n的取值范围是 ( ) A. n>-1 B. n>2 C. -1<n<1 D. 1<n<2 25. (2024·广州改编)函数y1=ax2+bx+c 与y2= k x 的图像如图所示,当x>x1 时, y1、y2均随着x的增大而减小,则x1的取 值范围是 ( ) 第25题 A. x1≤-1 B. -1≤x1≤0 C. 0≤x1≤2 D. x1≥1 二、 填空题 26. (2024·滨州)将抛物线y=-x2 先向右平 移1个单位长度,再向上平移2个单位长度, 则平移后抛物线的顶点坐标为 . 27. (2024·牡丹江)将抛物线y=ax2+bx+3 向下平移5个单位长度后,经过点(-2,4), 则6a-3b-7= . 28. (2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向 下平移k个单位长度.若平移后得到的抛 物线与x 轴有公共点,则k的取值范围是 . 29. (2024·巴中)已知二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图像向右平移1个单位长 度后关于y轴对称.有下列结论:① b a=2 ; ② 当3 2≤a≤ 5 2 时,代数式a2+b2-5b+8 的最小值为3;③ 对于任意实数m,不等式 am2+bm-a+b≥0一定成立;④ P(x1, y1)、Q(x2,y2)为该二次函数图像上任意 两点,且x1<x2,当x1+x2+2>0时,一 定有y1<y2.其中,正确的是 (填 序号). 30. (2024·宁夏)若二次函数y=2x2-x+m 的图像与x轴有交点,则m 的取值范围是 . 31. (2024·长春)若抛物线y=x2-x+c(c是 常数)与x轴没有交点,则c的取值范围是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 77 32. (2024·苏州)已知二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图像过点A(0,m)、B(1, -m)、C(2,n)、D(3,-m),其中m、n为常 数,则m n 的值为 . 33. (2024·烟台)已知二次函数y=ax2+ bx+c的y与x的部分对应值如下表: x -4 -3 -1 1 5 y 0 5 9 5 -27 有下列结论:① abc>0;② 关于x 的一元 二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实 数根;③ 当-4<x<1时,y的取值范围是 0<y<5;④ 若点(m,y1)、(-m-2,y2)均 在该二次函数的图像上,则y1=y2;⑤ 满 足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是 x<-2或x>3.其中,正确的是 (填序号). 第34题 34. (2024·德阳)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点A 的坐标为 -13 ,n ,与x 轴 的一个交点的横坐标在0和 1之间.有下列结论:① abc>0;② 5b+ 2c<0;③ 若抛物线经过点(-6,y1)、 (5,y2),则y1>y2;④ 若关于x 的一元二 次方程ax2+bx+c=4没有实数根,则n< 4.其中,正确的是 (填序号). 35. (2024·南充)已知抛物线C1:y=x2+ mx+m 与x 轴交于A、B 两点(点A 在点 B 的左侧),抛物线 C2:y=x2+nx+ n(m≠n)与x轴交于C、D 两点(点C 在点 D 的左侧),且 AB=CD.有下列结论: ① C1与C2的交点为(-1,1);② m+n= 4;③ mn>0;④ A、D 两点关于点(-1,0) 对称.其中,正确的是 (填序号). 36. (2024·武汉)已知抛物线y=ax2+bx+ c(a、b、c是常数,a<0)经过(-1,1)、(m,1) 两点,且0<m<1.有下列结论:① b>0; ② 若0<x<1,则a(x-1)2+b(x-1)+ c>1;③ 若a=-1,则关于x的一元二次方 程ax2+bx+c=2没有实数根;④ 点A(x1, y1)、B(x2,y2)在该抛物线上,若x1+ x2>- 1 2 ,x1>x2,总有y1<y2,则0< m≤12. 其中,正确的是 (填序号). 37. (2024·通辽)已知抛物线y=x2-2mx+ m2+m-4(m 是常数).有下列结论:① 当 m=0时,抛物线的对称轴是y轴;② 若此 抛物线与x 轴只有一个公共点,则m= -4;③ 若点A(m-2,y1)、B(m+1,y2)在 该抛物线上,则y1<y2;④ 无论m 为何值, 抛物线的顶点到直线y=x 的距离都等于 22.其中,正确的是 (填序号). 38. (2024·成都)在平面直角坐标系中,A(x1, y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是二次函数 y=-x2+4x-1图像上的三点.若0< x1<1,x2>4,则y1 y2(填“>”或 “<”);若对于m<x1<m+1,m+1<x2< m+2,m+2<x3<m+3,存在y1<y3< y2,则m 的取值范围是 . 第39题 39. (2024·辽宁)如图,在平面直 角坐 标 系 中,抛 物 线 y= ax2+bx+3与x轴相交于点 A、B,点B 的坐标为(3,0).若 点C(2,3)在该抛物线上,则 AB 的长为 . 40. (2024·上海)若抛物线y=a(x-m)2+ k(a≠0)上存在一点P(x',y'),使得x'- m=y'-k≠0,则称2|x'-m|为该抛物线 的“开口大小”.那么抛物线y=- 1 2x 2+ 1 3x+3 的“开口大小”为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　 78 41. (2024·大庆)定义:若一个函数图像上存 在纵坐标是横坐标2倍的点,则把该函数 称为“倍值函数”,该点称为“倍值点”.例 如:“倍值函数”y=3x+1的“倍值点”为 (-1,-2).有下列说法:① 函数y=2x+4 是“倍值函数”;② 函数y= 8 x 的图像上的 “倍值点”是(2,4)和(-2,-4);③ 若关于 x的函数y=(m-1)x2+mx+ 1 4m 的图 像上有两个“倍值点”,则m 的取值范围是 m<43 ;④ 若关于x 的函数y=x2+(m- k+2)x+n4- k 2 的图像上存在唯一的“倍 值点”,且当-1≤m≤3时,n 的最小值为 k,则k的值为-3-52 . 其中,不正确的是 (填序号). 三、 解答题 42. (2024·扬州)如图,二次函数y=-x2+ bx+c的图像与x轴交于A(-2,0)、B(1, 0)两点. (1) 求b、c的值; (2) 若点P 在该二次函数的图像上,且 △PAB 的面积为6,求点P 的坐标. 第42题 43. (2024·福建)如图,二次函数y=x2+ bx+c的图像与x 轴交于A、B 两点,与 y轴交于点C,其中A(-2,0)、C(0,-2). (1) 求二次函数的表达式; (2) 若P 是二次函数图像上的一点,且点 P 在第二象限,线段PC 交x 轴于点D, △PDB 的面积是△CDB 的面积的2倍,求 点P 的坐标. 第43题 44. (2024·通辽)如图,在平面直角坐标系中, 直线y=- 3 2x+3 与x 轴、y 轴分别交于 点C、D,抛物线y=- 1 4 (x-2)2+k(k为 常数)经过点D 且交x轴于A、B 两点. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若P 为抛物线的顶点,连接AD、DP、 CP.求四边形ACPD 的面积. 第44题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 79 45. (2024·牡丹江)如图,二次函数y= 1 2x 2+ bx+c的图像与x 轴交于A、B 两点,与 y轴交于点C,点A 的坐标为(-1,0),点C 的坐标为(0,-3),连接BC. (1) 求二次函数的表达式; (2) P 是二次函数在第四象限内的图像上 的任意一点,当△BCP 的面积最大时,边 BC 上的高PN 为 . 第45题 46. (2024·云南)已知抛物线y=x2+bx-1 的对称轴是直线x=32. 设m 是抛物线y= x2+bx-1与 x 轴交点的横坐标,记 M=m 5-33 109 . (1) 求b的值; (2) 比较M 与 132 的大小. 47. (2024·北京)在平面直角坐标系中,已知 抛物线y=ax2-2a2x(a≠0). (1) 当a=1时,求抛物线的顶点坐标. (2) 已知M(x1,y1)、N(x2,y2)是抛物线 上的两点.若对于x1=3a,3≤x2≤4,都有 y1<y2,求a的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　 80 48. (2024·镇江)如图,在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,二次函数y=- 4 9 (x- 1)2+4的图像与x轴交于A、B 两点(点A 在点B 的左侧),顶点为C. (1) 求A、B、C 三点的坐标. (2) 一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4) 三点,其中t≠1,该函数图像与x轴交于另 一点D,点 D 在线段OB 上(点 D 不与 点O、B 重合). ① 若点D 的坐标为(3,0),则t= ; ② 求t的取值范围; ③ 求OD·DB 的最大值. 第48题 49. (2024·安徽)已知抛物线y=-x2+bx(b 为常数)的顶点的横坐标比抛物线y= -x2+2x的顶点的横坐标大1. (1) 求b的值. (2) 点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x 上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y= -x2+bx上. ① 若h=3t,且x1≥0,t>0,求h的值; ② 若x1=t-1,求h的最大值. 50. (2024·上海)在平面直角坐标系中,已知 平移抛物线y= 1 3x 2后得到的新抛物线经 过A0,-53 、B(5,0)两点. (1) 求平移后新抛物线对应的函数表达式. (2) 直线x=m(m>0)与新抛物线交于 点P,与原抛物线交于点Q. ① 如果PQ<3,求m 的取值范围; ② 记点P 在原抛物线上的对应点为P',如 果四边形P'BPQ 有一组对边平行,求点P 的坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 81 51. (2024·连云港)在平面直角坐标系中,已 知抛物线y=ax2+bx-1(a、b 为常数, a>0). (1) 若该抛物线与x 轴交于A(-1,0)、 B(4,0)两点,求抛物线对应的函数表达式. (2) 如图,当b=1时,过点C(-1,a)、 D(1,a+22)分别作y 轴的平行线,交该 抛物线于点 M、N,连接 MN、MD.求证: MD 平分∠CMN. (3) 当a=1,b≤-2时,过直线y=x- 1(1≤x≤3)上一点G 作y轴的平行线,交 抛物线于点H.若GH 长的最大值为4,求 b的值. 第51题 52. (2024·宿迁)如图①,抛物线y1=x2+ bx+c与x 轴交于O(0,0)、A(2,0)两点, 将抛物线y1向右平移2个单位长度,得到 抛物线y2.P 是抛物线y1在第四象限内一 点,连接PA 并延长,交抛物线y2于点Q. (1) 求抛物线y2对应的函数表达式. (2) 设点P 的横坐标为xP,点Q 的横坐标 为xQ,求xQ-xP 的值. (3) 如图②,若抛物线y3=x2-8x+t与 抛物线y1=x2+bx+c交于点C,过点C 作直线MN,分别交抛物线y1 和y3 于点 M、N(点M、N 均不与点C 重合).设点M 的横坐标为m,点N 的横坐标为n,试判断 |m-n|是否为定值.若是,直接写出这个 定值;若不是,请说明理由. 第52题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数　　　　 82 53. (2024·浙江)已知二次函数y=x2+bx+ c(b、c为常数)的图像经过点A(-2,5),对 称轴为直线x=-12. (1) 求二次函数的表达式; (2) 若点B(1,7)向上平移2个单位长度, 向左平移m(m>0)个单位长度后,恰好落 在二次函数y=x2+bx+c的图像上,求m 的值; (3) 当-2≤x≤n 时,二次函数y=x2+ bx+c的最大值与最小值的差为94 ,求n的 取值范围. 54. (2024·湖南)已知二次函数y=-x2+c 的图像经过点A(-2,5),且P(x1,y1)、 Q(x2,y2)是此二次函数的图像上的两个 动点. (1) 求二次函数的表达式. (2) 如图①,此二次函数的图像与x轴的正 半轴交于点B,点P 在直线AB 的上方,过 点P 作PC⊥x 轴于点C,交AB 于点D, 连接AC、DQ、PQ.若x2=x1+3,求证: S△PDQ S△ADC 的值为定值. (3) 如图②,点P 在第二象限,x2=-2x1, 若点M 在直线PQ 上,且横坐标为x1-1, 过点M 作MN⊥x 轴于点N,求线段MN 长的最大值. 第54题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 83 55. (2024·巴中)在平面直角坐标系中,抛物 线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(-1,0)、 B(3,0)两点,与y轴交于点C,P 是抛物线 上一动点,且在直线BC 的上方. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 如图①,过点P 作PD⊥x 轴,交直线 BC 于点E.若PE=2ED,求点P 的坐标. (3) 如图②,连接AC、PC、AP、AP 与BC 交于点G,过点P 作PF∥AC,交BC 于点 F.记△ACG、△PCG、△PGF 的面积分别 为S1、S2、S3.当 S3 S2+ S2 S1 取得最大值时,求 sin∠BCP 的值. 第55题 56. (2024·资阳)在平面直角坐标系中,抛物 线y=- 1 2x 2+bx+c与x轴交于A、B 两 点,与y轴的正半轴交于点C,且B(4,0), BC=42. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 如图①,P 是抛物线在第一象限内的一 点,连接PB、PC,过点P 作PD⊥x 轴于 点D,交BC 于点K.记△PBC、△BDK 的 面积分别为S1、S2,求S1-S2的最大值. (3) 如图②,连接AC,E 为线段AC 的中 点,过点E作EF⊥AC,交x轴于点F.抛物 线上是否存在点Q,使得∠QFE=2∠OCA? 若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说 明理由. 第56题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第六章　二次函数