第5章 3.反比例函数的性质及其应用-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

58 3. 反比例函数的性质及其应用 ▶ 相应“答案与解析”见P11 一、 选择题 1. (2024·重庆A卷)已知点(-3,2)在反比例 函数y= k x (k≠0)的图像上,则k的值为 ( ) A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 2. (2024·重庆B卷)反比例函数y=- 10 x 的图 像一定经过的点是 ( ) A. (1,10) B. (-2,5) C. (2,5) D. (2,8) 3. (2024·济宁)已知点A(-2,y1)、B(-1, y2)、C(3,y3)在反比例函数y= k x (k<0)的 图像上,则y1、y2、y3的大小关系是 ( ) A. y1<y2<y3 B. y2<y1<y3 C. y3<y1<y2 D. y3<y2<y1 4. (2024·浙江)已知反比例函数y= 4 x 的图像 上有P(t,y1)、Q(t+4,y2)两点,则下列说 法正确的是 ( ) A. 当t<-4时,y2<y1<0 B. 当-4<t<0时,y2<y1<0 C. 当-4<t<0时,0<y1<y2 D. 当t>0时,0<y1<y2 5. (2024·大庆)在同一平面直角坐标系中,函 数y=kx-k(k≠0)与y= k |x| 的大致图 像为 ( ) A B C D 6. (2024·扬州)在平面直角坐标系中,函数y= 4 x+2 的图像与坐标轴的交点个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. (2024·安徽)已知反比例函数y= k x (k≠0) 与一次函数y=2-x 的图像的一个交点的 横坐标为3,则k的值为 ( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 8. (2024·河北)节能环保已成为人们的共识. 淇淇家计划购买500千瓦·时电,若平均每 天用电x千瓦·时,则能使用y 天.下列说 法错误的是 ( ) A. 若x=5,则y=100 B. 若y=125,则x=4 C. 若x减小,则y也减小 D. 若x减小一半,则y增大一倍 9. (2024·宿迁)如图,点A 在函数y= k x (x> 0)的图像上,连接AO 并延长,交函数y= k 4x (x<0)的图像于点B,C 为x 轴上一点, 且AO=AC,连接BC.若△ABC 的面积是 6,则k的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第9题 第10题 10. (2024·通辽)如图,在平面直角坐标系中, 原点 O 为正六边形ABCDEF 的中心, EF∥x轴,点E 在双曲线y= k x (k为常数, k>0)上.将正六边形ABCDEF 向上平移 3个单位长度,点D 恰好落在双曲线上, 则k的值为 ( ) A. 43 B. 33 C. 23 D. 3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 59 11. (2024·苏州)如图,A 为函数y=- 1 x (x< 0)图像上的一点,连接AO,过点O 作OA 的垂线,与函数y= 4 x (x>0)的图像交于点 B,则AOBO 的值为 ( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 3 3 D. 1 3 第11题 第12题 12. (2024·牡丹江)矩形OBAC 在平面直角坐 标系中的位置如图所示,函数y= k x (x>0) 的图像与边AB 交于点D,与边AC 交于 点F,与OA 交于点E,OE=2AE.若四边 形ODAF 的面积为2,则k的值是 ( ) A. 2 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 8 5 13. (2024·龙东地区)如图,函数y= 12 x (x> 0)的图像经过A、B 两点,连接OA、AB,过 点B 作BD⊥y 轴,垂足为D,BD 交OA 于点E,且E 为OA 的中点,则△AEB 的 面积是 ( ) A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 第13题 第14题 14. (2024·长春)如图,在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,点A(4,2)在函数y= k x (k>0,x>0)的图像上.将直线OA 沿y轴 向上平移,平移后的直线与y 轴交于点B, 与函数y= k x (k>0,x>0)的图像交于 点C.若BC=5,则点B 的坐标是 ( ) A. (0,5) B. (0,3) C. (0,4) D. (0,25) 15. (2024·新疆)如图,在平面直角坐标系中, 直线y=kx(k>0)与双曲线y= 2 x 交于A、 B 两点,AC⊥x轴于点C,连接BC 交y轴 于点D.给出下列结论:① 点A 与点B 关 于原点对称;② D 是BC 的中点;③ 在双曲 线y= 2 x 上任取点P(x1,y1)和点Q(x2, y2),如果y1>y2,那么x1>x2;④ S△BOD= 1 2. 其中,正确结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第15题 第16题 16. (2024·宜宾)如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,反比例函数y= k x (k≠0)的图 像经过点A、B及AC的中点M,BC∥x轴, AB 与y轴交于点N,则 AN AB 的值为( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 2 5 二、 填空题 17. (2024·云南)已知点P(2,n)在反比例函 数y= 10 x 的图像上,则n= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第五章　平面直角坐标系、一次函数与反比例函数　　　　 60 18. (2024·遂宁)已知反比例函数y= k-1 x 的 图像在第一、三象限,则点(k,-3)在第 象限. 19. (2024·陕西)已知点 A(-2,y1)和点 B(m,y2)均在反比例函数y=- 5 x 的图像 上.若0<m<1,则y1+y2 0(填 “>”“<”或“=”). 第20题 20. (2024·威海)如图,在平 面直角坐标系中,直线 y1=ax+b(a≠0)与双曲 线y2= k x (k≠0)交于点 A(-1,m)、B(2,-1),则满足y1≤y2的x 的取值范围是 . 21. (2024·包头)已知反比例函数y1= 2 x , y2=- 3 x ,当1≤x≤3时,函数y1 的最大 值是a,函数y2 的最大值是b,则ab= . 22. (2024·连云港)杠杆平衡时,“阻力×阻力 臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分 别为1600N和0.5m,动力为F(N),动力 臂为l(m),则动力F 关于动力臂l的函数 表达式为 . 23. (2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只 形态和部分行为的机器装置,其最快移动 速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反 比例函数.已知一款机器狗载重后总质量 m=60kg时,它的最快移动速度v=6m/s; 当其载重后总质量m=90kg时,它的最快 移动速度v= m/s. 24. (2024·湖南)在一定条件下,乐器中弦振 动的频率f与弦长l成反比例关系,即f= k l (k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为 0.9米,振动频率f 为200赫兹,则k的值 为 . 25. (2024·扬州)如图,在平面直角坐标系中, 点A 的坐标为(1,0),点B 在函数y= k x (x>0)的 图 像 上,BC⊥x 轴 于 点C, ∠BAC=30°.将△ABC 沿AB 翻折,若 点C 的对应点D 落在该函数的图像上,则 k的值为 . 第25题 第26题 26. (2024·无锡)在探究“反比例函数的图像 与性质”时,小明先将直角边长为5个单位 长度的等腰直角三角尺ABC 摆放在平面 直角坐标系中,使其两条直角边AC、BC 分 别落在x轴负半轴、y轴正半轴上(如图), 然后将三角尺向右平移a 个单位长度,再 向下平移a个单位长度后,小明发现A、B 两点恰好都落在反比例函数y= 6 x 的图像 上,则a的值为 . 27. (2024·齐齐哈尔)如图,函数y= k x (x<0) 的图像经过▱ABCO 的顶点A,OC 在x轴 上.若点B 的坐标为(-1,3),S▱ABCO=3, 则实数k的值为 . 第27题 第28题 28. (2024·绥化)点A(-7,0)、B(x,10)、 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 61 C(-17,y)如图所示,▱ABCO 的对角线 OB 与函数y= k x (k≠0,x<0)的图像交于 点D,且OD∶OB=1∶4,则k= . 29. (2024·福建)如图,在平面直角坐标系中, 反比例函数y= k x 的图像与☉O 交于A、B 两点,且点A、B 都在第一象限.若A(1,2), 则点B 的坐标为 . 第29题 第30题 30. (2024·深圳)如图,在平面直角坐标系中, 四边形AOCB 为菱形,tan∠AOC=43 ,且 点A 落在函数y= 3 x (x>0)的图像上,点 B 落在函数y= k x (k≠0,x>0)的图像上, 则k= . 31. (2024·兴安盟)如图,在平面直角坐标系 中,点A、B 的坐标分别为(5,0)、(2,6),过 点B 作BC∥x 轴,交y 轴于点C,D 为线 段AB 上的一点,且BD=2AD,函数y= k x (x>0)的图像经过点D,且与线段BC 交 于点E,连接OD、OE,则四边形ODBE 的 面积是 . 第31题 第32题 32. (2024·广州)如图,在平面直角坐标系中, 矩形OABC 的顶点B 在函数y= k x (x>0) 的图像上,A(1,0)、C(0,2).将线段AB 沿 x轴正方向平移得到线段A'B'(点A 平移 后的对应点为A'),A'B'交函数y= k x (x> 0)的图像于点D,过点D 作DE⊥y轴于点 E.给出下列结论:① k=2;② △OBD 的面 积等于四边形ABDA'的面积;③ A'E 长的 最小值是 2;④ ∠B'BD=∠BB'O.其中, 正确的有 (填序号). 三、 解答题 33. (2024·贵州)已知点(1,3)在反比例函数 y= k x 的图像上. (1) 求反比例函数的表达式; (2) 点(-3,a)、(1,b)、(3,c)都在该反比例 函数的图像上,试比较a、b、c的大小,并说 明理由. 34. (2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值, 使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图像 如图所示. (1) 求这个反比例函数的表达式(不要求写 出自变量R 的取值范围); 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第五章　平面直角坐标系、一次函数与反比例函数　　　　 62 (2) 当电阻R 为3Ω时,求此时的电流I. 第34题 35. (2024·湖北)如图,一次函数y=x+m 的 图像经过点A(-3,0),交函数y= k x (x>0) 的图像于点B(n,4). (1) 求m、n、k的值; (2) 点C 在函数y= k x (x>0)的图像上,若 S△AOC<S△AOB,直接写出点C 的横坐标a 的取值范围. 第35题 36. (2024·广州)一个人的脚印信息往往对应 着这个人某些方面的基本特征.某数学兴 趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长 数据,通过对数据的整理和分析,发现身高 y(单位:cm)和脚长x(单位:cm)之间近似 存在一个函数关系,部分数据如下表: 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156163170177184191 … (1) 在图①中描出表中数据对应的点(x,y); (2) 根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和 y= k x (k≠0)中选择一个函数模型,使它能 近似地反映身高和脚长的函数关系,并求 出这个函数的表达式(不要求写出x 的取 值范围); (3) 如图②,在某场所发现了一个人的脚 印,脚长约为25.8cm,请根据(2)中求出的 函数表达式,估计这个人的身高. 第36题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 63 37. (2024·常州)如图,在平面直角坐标系中, 一次函数y=kx+b的图像与反比例函数 y= m x 的图像相交于点A(-1,n)、B(2,1). (1) 求一次函数、反比例函数的表达式; (2) 连接OA、OB,求△OAB 的面积. 第37题 38. (2024·甘孜)如图,在平面直角坐标系中, A(2,3)、B(m,-2)两点在反比例函数y= k x 的图像上. (1) 求k与m 的值. (2) 连接BO 并延长,交反比例函数y= k x 的图像于点C.若一次函数的图像经过A、 C 两点,求这个一次函数的表达式. 第38题 39. (2024·乐山)如图,点A(1,m)、B(n,1)在 函数y= 3 x (x>0)的图像上,过点A 的一 次函数y=kx+b 的图像与y 轴交于 点C(0,1). (1) 求m、n的值和一次函数的表达式; (2) 连接AB,求点C 到线段AB 的距离. 第39题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第五章　平面直角坐标系、一次函数与反比例函数　　　　 64 40. (2024·德阳)如图,一次函数y=-2x+2与 函数y= k x (x<0)的图像交于点A(-1,m). (1) 求m 的值和函数y= k x (x<0)的表 达式; (2) 将直线y=-2x+2向下平移h(h> 0)个单位长度后得到直线y=ax+b,若直 线y=ax+b与函数y= k x (x<0)的图像 的交点为B(n,2),求h 的值,并结合图像 求当x<0时,不等式kx<ax+b 的解集. 第40题 41. (2024·达州)如图,一次函数y=kx+ b(k、b为常数,k≠0)的图像与反比例函数 y= m x (m 为常数,m≠0)的图像交于点 A(2,3)、B(a,-2). (1) 求反比例函数和一次函数的表达式; (2) 若 C 是x 轴正 半 轴 上 的 一 点,且 ∠BCA=90°,求点C 的坐标. 第41题 42. (2024·临夏)如图,直线y=kx 与双曲线 y=- 4 x 交于A、B 两点,已知点A 的坐标 为(a,2). (1) 求a、k的值; (2) 将直线y=kx向上平移m(m>0)个单 位长度,与双曲线y=- 4 x 在第二象限的一 支交于点C,与x轴交于点E,与y轴交于 点P,若PE=PC,求m 的值. 第42题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 65 43. (2024·眉山)如图,在平面直角坐标系中, 一次函数y1=kx+b与函数y2= m x (x>0) 的图像交于点A(1,6)、B(n,2),与x轴、 y轴分别交于C、D 两点. (1) 求一次函数y1和函数y2的表达式; (2) 若点P 在y轴上,当△PAB 的周长最 小时,请直接写出点P 的坐标; (3) 将直线AB 向下平移a(a>0)个单位 长度后与x 轴、y 轴分别交于E、F 两点, 当EF=12AB 时,求a的值. 第43题 44. (2024·赤峰)在平面直角坐标系中,对于点 M(xM,yM),给出如下定义:当点N(xN, yN)满足xM+xN=yM+yN 时,称N 是点 M 的等和点. (1) 已知点 M(1,3),则在点 N1(4,2)、 N2(3,-1)、N3(0,-2)中,是点M 的等和 点的有 . (2) 若点 M(3,-2)的等和点 N 在直线 y=x+b上,求b的值. (3) 已知双曲线y1= k x 和直线y2=x-2, 满足y1<y2 的x 的取值范围是x>4或 -2<x<0.若点P 在双曲线y1= k x 上,点 P 的等和点Q 在直线y2=x-2上,求点P 的坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第五章　平面直角坐标系、一次函数与反比例函数　　　　 66 45. (2024·连云港)如图①,在平面直角坐标 系中,一次函数y=kx+1(k≠0)的图像与 反比例函数y= 6 x 的图像交于点A、B,与 y轴交于点C,点A 的横坐标为2. (1) 求k的值; (2) 利用图像直接写出当kx+1<6x 时,x 的取值范围; (3) 如图②,将直线AB 沿y 轴向下平移 4个单位长度,与函数y= 6 x (x>0)的图像 交于点D,与y轴交于点E,再将函数y= 6 x (x>0)的图像沿AB 平移,使点A、D 分 别平移到点C、F 处,求图中涂色部分的 面积. 第45题 46. (2024·广安)如图,一次函数y=ax+ b(a、b为常数,a≠0)的图像与反比例函数 y= k x (k为常数,k≠0)的图像交于A(2, 4)、B(n,-2)两点. (1) 求一次函数和反比例函数的表达式; (2) 直线AB 与x 轴交于点C,P(m,0)是 x轴上的点,若△PAC 的面积大于12,请 直接写出m 的取值范围. 第46题 47. (2024·盐城)小明在草稿纸上画了某反比 例函数在第二象限内的图像,并把矩形直 尺放在上面(如图).请根据图中信息,求: (1) 反比例函数的表达式; (2) 点C 的坐标. 第47题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 67 48. (2024·南充)如图,直线y=kx+b经过 A(0,-2)、B(-1,0)两点,与双曲线y= m x 在第二象限的一支交于点C(a,2). (1) 求直线和双曲线对应的函数表达式. (2) 过点C 作CD⊥x 轴于点D,点P 在 x轴上.若以O、A、P 为顶点的三角形与 △BCD 相似,请直接写出点P 的坐标. 第48题 49. (2024·泸州)如图,在平面直角坐标系中, 一次函数y=kx+b的图像与x 轴相交于 点A(-2,0),与反比例函数y= a x 在第一 象限的图像相交于点B(2,3). (1) 求一次函数和反比例函数的表达式; (2) 直线x=m(m>2)与函数y= a x (x> 0)、y=- 2 x (x>0)的图像分别交于点C、 D,且S△OBC=2S△OCD,求点C 的坐标. 第49题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第五章　平面直角坐标系、一次函数与反比例函数　　　　 68 50. (2024·凉山)如图,正比例函数y1= 1 2x 与 函数y2= k x (x>0)的图像交于点A(m,2). (1) 求函数y2的表达式; (2) 把直线y1= 1 2x 向上平移3个单位长 度与函数y2= k x (x>0)的图像交于点B, 连接AB、OB,求△AOB 的面积. 第50题 51. (2024·重庆A卷)如图①,在△ABC 中, AB=6,BC=8,P 为AB 上一点,AP=x, 过点P 作PQ∥BC,交AC 于点Q.点P、Q 之间的距离为y1,△ABC 的周长与△APQ 的周长的比值为y2. (1) 请直接写出y1、y2关于x 的函数表达 式,并写出自变量x的取值范围; (2) 在如图②所示的平面直角坐标系中,画 出函数y1、y2的图像,并分别写出函数y1、 y2的一条性质; (3) 结合函数图像,请直接写出y1>y2 时 x的取值范围(近似值保留小数点后一位, 误差不超过0.2). 第51题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 69 52. (2024·上海)在平面直角坐标系中,反比 例函数y= k x (k为常数且k≠0)的图像上 有一点A(-3,m),且与直线y=-2x+4 交于另一点B(n,6). (1) 求k与m 的值; (2) 过点A 作直线l∥x 轴,与直线y= -2x+4交于点C,求sin∠OCA 的值. 53. (2024·河南)如图,矩形ABCD 的四个顶 点都在格点(网格线的交点)上,对角线 AC、BD 相交于点E,函数y= k x (x>0)的 图像经过点A. (1) 求这个函数的表达式; (2) 请先描出这个函数图像上不同于点A 的三个格点,再画出该函数的图像; (3) 将矩形ABCD 向左平移,当点E 落在 这个 函 数 的 图 像 上 时,平 移 的 距 离 为 个单位长度. 第53题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第五章　平面直角坐标系、一次函数与反比例函数　　　　 70 54. (2024·巴中)如图,在平面直角坐标系中, 直线y=x+2与反比例函数y= k x (k≠0) 的图像交于 A、B 两点,点 A 的横坐标 为1. (1) 求k的值及点B 的坐标. (2) P 是线段AB 上一点,点M 在线段OB 上运动,当S△BPO= 1 2S△ABO 时,求PM 长 的最小值. 第54题 55. (2024·雅安)如图,在平面直角坐标系中, 直线l与反比例函数y= k x 的图像交于 M 12 ,4 、N(n,1)两点. (1) 求反比例函数的表达式及直线l对应 的函数表达式. (2) 求△OMN 的面积. (3) 若P 是y轴上一动点,连接PM、PN. 当PM+PN 的值最小时,求点P 的坐标. 第55题 56. (2024·宜宾)如图,一次函数y=ax+ b(a≠0)的图像与反比例函数y= k x (k≠0) 的图像交于点A(1,4)、B(n,-1). (1) 求反比例函数和一次函数的表达式; (2) 利用图像,直接写出不等式ax+b<kx 的解集; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 71 (3) 已知点D 在x 轴上,点C 在反比例函 数图像上,若以A、B、C、D 为顶点的四边 形是平行四边形,求点C 的坐标. 第56题 57. (2023·郴州)如图①,在仪器左边托盘A (固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可 左右移动)中放置一个可以装水的容器,空 容器的质量为5g.在容器中加入一定质量 的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与 点C 的距离x(0<x≤60,单位:cm),记录 容器中加入的水的质量,得到下表: 托盘B与点C的距离x/cm3025201510 容器与水的总质量y1/g 1012152030 加入的水的质量y2/g 5 7 101525 把上表中的x 与y1 各组对应值作为点的 坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并 用光滑的曲线连接起来,得到如图②所示 的y1关于x的函数图像. (1) 请在该平面直角坐标系中作出y2关于 x的函数图像. (2) ① 猜测y1与x之间的函数关系,并求 y1关于x的函数表达式; ② 求y2关于x的函数表达式; ③ 当0<x≤60时,y1 随x 的增大而 (填“增大”或“减小”),y2 随x 的 增大而 (填“增大”或“减小”),y2 关于x的函数图像可以由y1 关于x 的函 数图像向 (填“上”“下”“左”或 “右”)平移得到. (3) 若y2 满足19≤y2≤45,求x 的取值 范围. 第57题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第五章　平面直角坐标系、一次函数与反比例函数　　　　 72 58. (2024·成都)如图,在平面直角坐标系中, 直线y=-x+m 与直线y=2x 相交于点 A(2,a),与x轴交于点B(b,0),点C 在反 比例函数y= k x (k<0)的图像上. (1) 求a、b、m 的值. (2) 若以O、A、B、C 为顶点的四边形是平 行四边形,求点C 的坐标和k的值. (3) 过A、C 两点的直线与x轴负半轴交于 点D,点E 与点D 关于y 轴对称.若有且 只有一点C,使得△ABD 与△ABE 相似, 求k的值. 第58题 59. (2024·大庆)如图①,在平面直角坐标系 中,O 为坐标原点,点A 在x 轴的正半轴 上,点B、C 在第一象限,四边形OABC 是 平行四边形,点C 在反比例函数y= k x 的图 像上,点C 的横坐标为2,点B 的纵坐标 为3. 提示:在平面直角坐标系中,若两点分别为 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则P1P2 的中点 坐标为x1+x2 2 ,y1+y2 2 . (1) 求反比例函数的表达式. (2) 如图②,D 是边AB 的中点,且在反比 例函数y= k x 的图像上,求▱OABC 的 面积. (3) 如图③,将直线l1:y=- 3 4x 向上平移 6个单位长度得到直线l2,直线l2 与函数 y= k x (x>0)的图像交于M1、M2 两点,P 为M1M2的中点,过点M1作M1N⊥l1于 点N,连接OP.请直接写出点P 的坐标和 M1N OP 的值. 第59题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 11 取正整数,∴ 当m=66时,w 取得最小值.∴ w最小= 700000-2500×66=535000.∴ 当购买A种电动车 66辆时,所需的总费用最少,最少总费用是535000元 (3) ① B 解析:∵ 两种电动车的平均行驶速度均为 300m/min,小刘家到公司的距离为8km,∴ 所用时间 为8000 300=26 2 3 (min).由题图可知,当x>20时,y2< y1.∴ 小刘选择B种电动车更省钱. ② 5或40 解析:设y1=k1x,将(20,8)代入,得8= 20k1,解得k1= 2 5.∴ y1= 2 5x. 当0<x≤10时,y2= 6.当x>10时,设y2=k2x+b2,将(10,6)、(20,8)代入, 得 6=10k2+b2, 8=20k2+b2, 解得 k2= 1 5 , b2=4. ∴ y2=15x+4(x> 10).由题意知,当0<x≤10时,y2-y1=4,即6- 2 5x=4 ,解得x=5;当x>10时,|y2-y1|=4,即 1 5x+4- 2 5x =4 ,解得x=0(不合题意,舍去)或 x=40.综上所述,两种电动车支付费用相差4元时x的 值为5或40. 3. 反比例函数的性质及其应用 一、 1. C 2. B 3. C 4. A 5. C 6. B 7. A 8. C 9. C 10. A 11. A 12. D 13. A 14. B 15. C 16. B 二、 17. 5 18. 四 19. < 20. -1≤x<0或x≥2 21. 1 2 22. F=800l 23. 4 24. 180 25. 23 26. 2或3 27. -6 28. -15 29. (2,1) 30. 8 31. 12 32. ①②④ 三、 33. (1) 将(1,3)代入y= k x ,得k=3.∴ y= 3 x (2) b>c>a 理由:方法一:如图,由图像可知,b>c> a.方法二:将(-3,a)、(1,b)、(3,c)分别代入y= 3 x ,得 a=-1,b=3,c=1,∴ b>c>a. 第33题 34. (1) 设I=UR . 由题意,得U=RI=9×4=36(V). ∴ 这个反比例函数的表达式为I=36R (2) 当电阻R 为3Ω时,I=363=12 (A) 35. (1) 由题意,得-3+m=0,n+m=4,k=4n,解得 m=3,n=1,k=4 (2) a>1 解析:∵ S△AOC<S△AOB,∴ 点B 到x轴的距 离大于点C 到x 轴的距离.∴ 点C 位于点B 的右侧. ∴ a>1. 36. (1) 描点如图所示 (2) ∵ y= k x (k≠0)可转化为 k=xy,又∵ 23×156≠24×163≠25×170≠…,∴ y关 于x的函数不可能是y= k x (k≠0).∴ 选一次函数y= ax+b(a ≠0).将 (23,156)、(24,163)代 入,得 23a+b=156, 24a+b=163, 解得 a=7 , b=-5. ∴ 一次函数的表达式为 y=7x-5 (3) 当x=25.8时,y=7×25.8-5=175.6. ∴ 估计这个人的身高为175.6cm 第36题 37. (1) ∵ 一次函数y=kx+b的图像与反比例函数 y= m x 的图像相交于点A(-1,n)、B(2,1),∴ m= -n=2×1.∴ m=2,n=-2.∴ 反比例函数的表达 式为y= 2 x ,点A 的坐标为(-1,-2).将A(-1,-2)、 B(2,1)代入y=kx+b,得 -k+b=-2, 2k+b=1, 解得 k=1 , b=-1. ∴ 一次函数的表达式为y=x-1 (2) 设直线AB 与 x轴的交点为C.在y=x-1中,当y=0时,x=1,∴ C(1, 0),即OC=1.∴ S△OAB=S△BOC+S△AOC= 1 2×1×1+ 1 2×1×2= 3 2 38. (1) ∵ A(2,3)、B(m,-2)两点在反比例函数y= k x 的图像上,∴ k=2×3=m×(-2).∴ k=6,m=-3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 (2) 由(1)可知,点B 的坐标为(-3,-2).根据反比例函 数图像关于原点成中心对称,可得点C 的坐标为(3,2). 设一次函数的表达式为y=ax+b.将A(2,3)、C(3,2) 代入,得 2a+b=3, 3a+b=2, 解得 a=-1 , b=5. ∴ 这个一次函数的 表达式为y=-x+5 39. (1) ∵ 点A(1,m)、B(n,1)在函数y= 3 x (x>0)的 图像上,∴ m=3,n=3.又∵ 一次函数y=kx+b的图 像过点A(1,3)、C(0,1),∴ k+b=3, b=1, 解得 k=2 , b=1. ∴ 一次函数的表达式为y=2x+1 (2) 如图,连接 BC,过点A 作AD⊥BC,垂足为D,过点C作CE⊥AB, 垂足为E.∵ C(0,1)、B(3,1),∴ BC∥x 轴,BC=3. ∵ A(1,3)、B(3,1),AD⊥BC,∴ D(1,1),AD=2, BD=2.在 Rt△ADB 中,由 勾 股 定 理,得 AB = AD2+BD2= 22+22=22.又∵ S△ABC= 1 2BC · AD=12AB ·CE,∴ CE=BC ·AD AB = 3×2 22 =322 ,即 点C到线段AB 的距离为322 第39题 40. (1) ∵ 点A(-1,m)在一次函数y=-2x+2的图 像上,∴ m=-2×(-1)+2=4.∴ A(-1,4).∵ 点A 在函数y= k x (x<0)的图像上,∴ k=-4.∴ 函数y= k x (x<0)的表达式为y=- 4 x (x<0) (2) ∵ 点 B(n,2)在函数y=- 4 x (x<0)的图像上,∴ 2=-4n. ∴ n=-2.∴ B(-2,2).将直线y=-2x+2向下平移 h个单位长度后所得直线对应的函数表达式为y= -2x+2-h.∵ 点B(-2,2)在直线y=-2x+2-h 上,∴ 2=-2×(-2)+2-h,解得h=4.根据函数图像 及交点坐标可知,当x<0时,不等式kx<ax+b 的解集 为x<-2 41. (1) 将点A、B 的坐标代入反比例函数表达式,得 m=2×3=-2a,解得a=-3,m=6,即反比例函数的 表达式为y= 6 x ,点B 的坐标为(-3,-2).将点A、B 的坐标代入一次函数表达式,得 3=2k+b, -2=-3k+b, 解得 k=1, b=1, 则一次函数的表达式为y=x+1 (2) 设点C 的坐标为(x,0),x>0.由点 A、B、C 的坐标,易得 AB2=50,AC2=(x-2)2+9,BC2=(x+3)2+4. ∵ ∠BCA=90°,∴ AB2=AC2+BC2,即50=(x- 2)2+9+(x+3)2+4,解得x=3或x=-4(不合题意, 舍去).∴ 点C的坐标为(3,0) 42. (1) ∵ 点A(a,2)在双曲线y=- 4 x 上,∴ 2= -4a.∴ a=-2.将A(-2,2)代入y=kx,得2=-2k, 解得k=-1 (2) 过点C 作CF⊥y轴于点F,则CF∥ OE.∴ ∠FCP=∠OEP,∠CFP=∠EOP.∵ PC= PE,∴ △CFP≌△EOP.∴ CF=EO,PF=PO.∵ 直 线y=-x向上平移m 个单位长度得到直线y=-x+ m,令x=0,得y=m,令y=0,得x=m,∴ E(m,0), P(0,m).∴ CF=EO=m,PF=PO=m.∴ C(-m, 2m).∵ 双曲线y=- 4 x 过点C,∴ -m·2m=-4,解 得m=2或m=-2(不合题意,舍去).∴ m 的值为2 43. (1) ∵ 一次函数y1=kx+b与函数y2= m x (x>0) 的图像交于点A(1,6)、B(n,2),∴ m 1=6.∴ m=6. ∴ 函数y2 的表达式为y2= 6 x (x>0).∴ 2=6n. ∴ n=3.∴ B(3,2).∴ k+b=6, 3k+b=2, 解得 k=-2 , b=8. ∴ 一 次函数y1的表达式为y1=-2x+8 (2) 点P 的坐标为(0,5) 解析:如图,作点A 关于y轴 的对称点A',连接A'B 交y轴于点P,则此时△PAB 的 周长最小.∵ A(1,6),∴ A'(-1,6).设直线BA'对应 的函数表达式为y=dx+c.将B(3,2)、A'(-1,6)代 入,得 3d+c=2, -d+c=6, 解得 d=-1 , c=5. ∴ 直线BA'对应的函 数表达式为y=-x+5.当x=0时,y=5.∴ 点P 的坐 标为(0,5). (3) 由题意,得直线EF对应的函数表达式为y=-2x+ 8-a.∴ E 8-a2 ,0 ,F(0,8-a).∵ EF=12AB, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 ∴ 8-a 2 2 +(8-a)2=12× (1-3)2+(6-2)2, 解得a=6或a=10 第43题 第44题 44. (1) N1(4,2)、N3(0,-2) 解析:由 M(1,3), N1(4,2),得xM+xN1=yM+yN1=5.∴ N1(4,2)是点 M 的等和点.由M(1,3),N2(3,-1),得xM+xN2=4, yM+yN2=2.∴ xM+xN2≠yM+yN2.∴ N2(3,-1) 不是点M 的等和点.由M(1,3),N3(0,-2),得xM+ xN3=yM+yN3=1.∴ N3(0,-2)是点M 的等和点. (2) 由题意,设点N 的横坐标为a.∵ N 是点M(3,-2) 的等和点,∴ 点N 的纵坐标为3+a-(-2)=a+5. ∴ 点N 的坐标为(a,a+5).又∵ 点N 在直线y=x+b 上,∴ a+5=a+b.∴ b=5 (3) 由题意,得k>0,双曲 线分布在第一、第三象限.设直线与双曲线的交点分别 为A、B,如图,由满足y1<y2 的x的取值范围是x>4 或-2<x<0,得点A 的横坐标为4,点B 的横坐标为 -2.把x=4代入y2=x-2,得y2=4-2=2.∴ A(4, 2).把A(4,2)代入y1= k x ,得2=k4.∴ k=8.∴ 反比 例函数的表达式为y1= 8 x. 设P m,8m ,点Q 的横坐 标为n.∵ Q 是点P 的等和点,∴ 点Q 的纵坐标为m+ n-8m.∴ Q n,m+n-8m .∵ 点Q 在直线y2=x-2 上,∴ m+n-8m=n-2.∴ m-8m+2=0.∴ m=-4 或m=2.经检验,m=-4,m=2是方程m-8m+2=0 的解,且符合题意.∴ 点P 的坐标为(-4,-2)或(2,4) 45. (1) ∵ 点A 在反比例函数y= 6 x 的图像上,点A 的横坐标为2,当x=2时,y= 6 2=3 ,∴ A(2,3).将 A(2,3)代入y=kx+1,得2k+1=3,解得k=1 (2) x<-3或0<x<2 解析:由(1)可知,一次函数的 表达式为y=x+1.联立 y= 6 x , y=x+1, 解得 x=2,y=3 或 x=-3, y=-2. ∴ B(-3,-2).结合题图①可知,当kx+1< 6 x 时,x的取值范围是x<-3或0<x<2. (3) 由题意可知,C(0,1),CE=4.过点C 作CG⊥DE, 垂足为G,连接AD、CF.易知四边形ACFD 是平行四 边形.∵ CE=4,易得∠CEG=45°,∴ CG=22.又 ∵ A(2,3),C(0,1),∴ 易得AC=22.由平移的性质 可知,涂色部分面积就是▱ACFD 的面积,即 22× 22=8 46. (1) 把A(2,4)代入 y= k x ,得 k=8,∴ 反比例函数 的表达式为 y= 8 x. 把B(n,-2)代入y= 8 x ,得n= -4.∴ B(-4,-2).∵ 点A(2,4)、B(-4,-2)在一次 函数y=ax+b 的图像上,∴ 4=2a+b, -2=-4a+b, 解得 a=1, b=2. ∴ 一次函数的表达式为 y=x+2 (2) m>4或m<-8 解析:在y=x+2中,当y=0 时,x=-2,∴ C(-2,0).∵ P(m,0),∴ PC=|m+2|. ∵ S△PAC= 1 2×|m+2|×4>12 ,∴ |m+2|>6,解得 m>4或m<-8. 47. (1) 由题图可知,点A 的坐标为(-3,2).设反比例 函数的表达式为y= k x (k<0).∵ 反比例函数的图像过 点A,∴ k=-3×2=-6.∴ 反比例函数的表达式为 y=- 6 x (2) 易得直线OA 对应的函数表达式为 y=- 2 3x. 由题图可知,直线OA 向上平移3个单位长 度得到直线BC,∴ 直线BC 对应的函数表达式为 y=- 2 3x+3. 联立 y=- 2 3x+3 , y=- 6 x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=-32 , y=4 或 x=6, y=-1 (不合题意,舍去).∴ 点C的坐标为 -32 ,4 48. (1) ∵ 点A(0,-2)、B(-1,0)在直线y=kx+b 上,∴ b=-2, -k+b=0, 解得 k=-2 , b=-2. ∴ 直线对应的函数表 达式为y=-2x-2.∵ 点C(a,2)在直线y=-2x-2 上,∴ -2a-2=2.∴ a=-2,即点C 的坐标为(-2, 2).∵ 双曲线y= m x 过点C(-2,2),∴ m=-4.∴ 双 曲线对应的函数表达式为y=- 4 x 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 (2) 点P 的坐标为(-4,0)或(-1,0)或(1,0)或(4,0) 解析:∵ CD⊥x轴,C(-2,2),∴ D(-2,0),CD=2. ∵ B(-1,0),∴ BD=1.∵ A(0,-2),∴ OA=2. ∵ 以 O、A、P 为 顶 点 的 三 角 形 与 △BCD 相 似, ∠AOP=∠CDB=90°,∴ OP=1或OP=4.∵ 点P 在 x轴上,∴ 点P 的坐标为(-4,0)或(-1,0)或(1,0)或 (4,0). 49. (1) 将 A(-2,0)、B(2,3)代入y=kx+b,得 -2k+b=0, 2k+b=3, 解得 k=34 , b=32. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 一次函数的表达式为 y= 3 4x+ 3 2. 将B(2,3)代入y= a x ,得a=2×3=6, ∴ 反比例函数的表达式为y= 6 x (2) 将x=m(m>2) 分别代入y= 6 x 和y=- 2 x ,得点C的坐标为 m,6m , 点 D 的 坐 标 为 m,-2m .∴ S△OCD = 1 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 6 m - -2m 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ·m=4.又∵ S△OBC=2S△OCD,∴ S△OBC=8. 设直线CD 与x轴的交点为M,过点B 作x轴的垂线, 垂足为 N.∵ S△BON +S梯形BNMC=S△OBC+S△COM,且 S△BON = S△COM, ∴ S梯形BNMC = S△OBC = 8. ∴ 6 m+3 ×(m-2) 2 =8 ,解得 m1=6,m2=- 2 3. ∵ m>2,∴ m=6,则点C的坐标为(6,1) 50. (1) ∵ 点A(m,2)在正比例函数y1= 1 2x 的图像 上,∴ 2=12m ,解得m=4.∴ A(4,2).∵ 点A(4,2)在 函数y2= k x (x>0)的图像上,∴ k=4×2=8.∴ 函数 y2的表达式为y2= 8 x (x>0) (2) 把直线y1= 1 2x 向上平移3个单位长度所得直线对应的函数表达式为 y= 1 2x+3 ,设该直线与y轴的交点为D,则D(0,3), 连接AD.∵ BD∥OA,∴ S△AOB=S△ADO= 1 2×3× 4=6 51. (1) ∵ PQ∥BC,∴ △APQ∽△ABC.∴ AP AB= PQ BC ,C△APQ C△ABC= AP AB.∴ x 6= y1 8 ,1 y2= x 6.∴ y1= 4 3x , y2= 6 x.∵ P 为AB 上一点,∴ y1= 4 3x (0<x<6), y2= 6 x (0<x<6) (2) 图像如图所示.函数y1= 4 3x 的性质:当0<x<6时,y1 随x 的增大而增大;函数 y2= 6 x 的性质:当0<x<6时,y2 随x 的增大而减小 (性质不唯一) (3) 2.1<x<6(合理即可) 第51题 第52题 52. (1) ∵ 点B(n,6)在直线y=-2x+4上,∴ -2n+ 4=6,解得n=-1.∴ B(-1,6).∵ 点B(-1,6)在反 比例函数y= k x 的图像上,∴ k=-6.∴ 反比例函数的 表达式为y=- 6 x.∵ 点A(-3,m)在该反比例函数图 像上,∴ m=-6-3=2 (2) 如图,在y=-2x+4中,当 y=2时,x=1,∴ C(1,2).∴ OC=5.∴ sin∠OCA= 2 5 =255 53. (1) ∵ 函数y= k x (x>0)的图像经过点A(3,2), ∴ k=3×2=6.∴ 这个函数的表达式为y= 6 x (x>0) (2) 如图所示 (3) 9 2 解析:由图可知,E(6,4).令6x=4 ,得x=32. ∵ 6-32= 9 2 ,∴ 将矩形ABCD 向左平移92 个单位长 度时,点E 落在这个函数的图像上. 第53题 54. (1) 把x=1代入y=x+2,得y=3,∴ A(1,3).将 A(1,3)代入y= k x ,得k=1×3=3.∴ 反比例函数的表 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 达式为y= 3 x. 联立 y=x+2, y= 3 x , 解得 x=1,y=3 或 x=-3,y=-1. ∴ B(-3,-1) (2) ∵ S△BPO= 1 2S△ABO ,∴ P 是AB 的中点.∴ P(-1,1).当PM⊥OB时,PM 的长取得最小 值.∵ 易得OP= 2,BP=22,OB= 10,∴ OP2+ BP2=OB2.∴ △OBP 为直角三角形,且OP⊥BP. ∴ 当PM⊥OB 时,S△BPO= 1 2OP ·BP=12OB ·PM. ∴ PM=OP ·BP OB = 2 10 5 .∴ PM 长的最小值为2 105 55. (1) ∵ 点M 12 ,4 在反比例函数y=kx 的图像上, ∴ k=12×4=2.∴ 反比例函数的表达式为y= 2 x. ∵ 点N(n,1)在反比例函数y= 2 x 的图像上,∴ n=2. ∴ N(2,1).设直线l对应的函数表达式为y=ax+b. ∴ 1 2a+b=4 , 2a+b=1, 解得 a=-2,b=5. ∴ 直线l对应的函数表 达式为y=-2x+5 (2) 如图①,设直线l交x 轴于 点A,交y轴于点B.又∵ 直线l对应的函数表达式为 y=-2x+5,∴ A 52 ,0 ,B(0,5).∴ OA=52,OB= 5.∴ S△OMN=S△AOB-S△AON-S△BOM= 1 2OA ·OB- 1 2OA ·yN- 1 2OB ·xM= 1 2× 5 2×5- 1 2× 5 2×1- 1 2×5× 1 2= 15 4 (3) 如图②,作点M 关于y轴的对称 点M',连接M'N 交y轴于点P,则此时PM+PN 取得 最小值.∵ 点M 12 ,4 与点M'关于y轴对称,∴ 点M' 的坐标为 -12 ,4 .又N(2,1),∴ 易得直线M'N 对应 的函数表达式为y=- 6 5x+ 17 5. 令x=0,则y= 17 5. ∴ 点P 的坐标为 0,175 第55题 56. (1) 将点A、B 的坐标代入反比例函数的表达式,得 k=4×1=-n,解得k=4,n=-4,即反比例函数的表 达式为y= 4 x ,点B 的坐标为(-4,-1).将点A、B 的 坐标代入一次函数的表达式,得 4=a+b, -1=-4a+b, 解得 a=1, b=3, 则一次函数的表达式为y=x+3 (2) 0<x<1 或x<-4 (3) 设点C的坐标为 m,4m ,点D 的坐标 为(x,0).当AB 为对角线时,有4-1=0+4m ,∴ m= 4 3 ,则C 43 ,3 ;当AC 或AD 为对角线时,同理,可得 4+4m=-1+0 或4+0=4m-1 ,∴ m=-45 或m= 4 5 ,则C -45 ,-5 或C 45,5 .综上所述,点C 的坐 标为 4 3 ,3 或 -45,-5 或 45,5 57. (1) 函数图像如图所示 (2) ① 观察图像可知,y1 可能是x 的反比例函数,设y1= k x (k≠0).把(30,10) 代入y1= k x ,得k=300.经检验,其余各个点的坐标均 满足y1= 300 x ,∴ y1关于x的函数表达式为y1= 300 x ② 观察表格以及①可知,y2+5可能与x 成反比例,设 y2+5= m x (m≠0).把(30,5)代入y2+5= m x ,得m= 300.经检验,其余各个点的坐标均满足y2+5= 300 x , ∴ y2关于x的函数表达式为y2= 300 x -5 ③ 减小 减小 下 (3) 当y2=19时,19= 300 x -5 ,∴ x=252. 当y2=45时,45= 300 x -5 ,∴ x=6.∴ 结合图像可知, x的取值范围是6≤x≤252 第57题 58. (1) 把A(2,a)代入y=2x,得a=2×2=4.∴ A(2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 4).把A(2,4)代入y=-x+m,得4=-2+m.∴ m= 6.∴ y=-x+m 为y=-x+6.把B(b,0)代入y= -x+6,得0=-b+6.∴ b=6.∴ a的值为4,m 的值 为6,b的值为6 (2) 设Ct,kt .由(1)知,A(2,4), B(6,0),而 O(0,0).① 当 AC、BO 为 对 角 线 时, t+2=6+0, k t+4=0+0 , 解得 t=4,k=-16. 经检验,t=4,k=-16 符合题意,此时点C的坐标为(4,-4).② 当CB、AO 为 对角线时, t+6=2+0, k t+0=4+0 , 解得 t=-4,k=-16. 经检验,t= -4,k=-16符合题意,此时点C 的坐标为(-4,4). ③ 当 CO、AB 为 对 角 线 时, t+0=2+6, k t+0=4+0 , 解 得 t=8, k=32. ∵ k=32>0,∴ 这种情况不符合题意.综上所 述,点C的坐标为(4,-4)或(-4,4),k的值为-16 (3) 设直线AC 对应的函数表达式为y=px+q.把 A(2,4)代入,得4=2p+q,∴ q=4-2p.∴ 直线AC对 应的函数表达式为y=px+4-2p.在y=px+4-2p 中,令y=0,得x= 2p-4 p .∴ D 2p-4 p ,0 .∵ 点E 与 点D 关于y 轴对称,∴ E 4-2p p ,0 .∵ △ABD 与 △ABE 相似,∴ 点E 只能在点B 的左侧.∴ ∠ABE= ∠DBA.故要使△ABD 与△ABE 相似,只需BEBA= BA BD 即可,即BE·BD=BA2.∵ A(2,4),B(6,0),∴ 易得 BA2=32.∵ B(6,0),∴ BE=6-4-2pp = 8p-4 p , BD=6-2p-4p = 4p+4 p .∴ 8p-4 p ·4p+4 p =32 ,解得 p=1.经检验,p=1是分式方程的解,且满足题意.∴ 直 线AC对应的函数表达式为y=x+2.∵ 有且只有一点 C,使得△ABD 与△ABE 相似,∴ 直线AC与反比例函 数y= k x (k<0)的图像只有一个交点.∴ x+2=kx 只 有一个解,即x2+2x-k=0有两个相等的实数根. ∴ Δ=0,即22+4k=0,解得k=-1.∴ k的值为-1 59. (1) ∵ 四边形OABC是平行四边形,点C的横坐标 为2,点B 的纵坐标为3,∴ C(2,3).∵ 点C(2,3)在反 比例函数y= k x 的图像上,∴ k=2×3=6.∴ 反比例函 数的表达式为y= 6 x (2) 设点A 的坐标为(m,0). ∵ C(2,3),∴ B(2+m,3).∵ D 为边AB 的中点, ∴ D 1+m,32 .∵ 点D 在反比例函数y=6x的图像 上,∴ 3 2= 6 1+m.∴ m=3.∴ OA=3.∴ S▱OABC=3× 3=9 (3) 点P 的坐标为(4,3), M1N OP = 24 25 解析:∵ 将直线 l1:y=- 3 4x 向上平移6个单位长度得到直线l2,∴ 直 线l2对应的函数表达式为y=- 3 4x+6. 设直线l2 与 y轴交于点E,与x轴交于点G,则E(0,6),G(8,0).过 点O 作OF⊥l1 交l2 于点F.∵ M1N⊥l1,∴ M1N= OF.∵ E(0,6),G(8,0),∴ OE=6,OG=8.在 Rt△EOG 中,由勾股定理,得 EG= OE2+OG2 = 62+82=10.∵ S△OEG= 1 2OE ·OG=12EG ·OF, ∴ OF=OE ·OG EG = 6×8 10 = 24 5.∴ M1N=OF= 24 5. 联 立 y= 6 x , y=- 3 4x+6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=4+22, y= 6-32 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x=4-22, y= 6+32 2 . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ M1 4-22,6+322 ,M2 4+2 2,6-322 . ∵ P 为M1M2的中点,∴ P(4,3).∴ OP= 42+32= 5.∴ M1N OP = 24 5 5= 24 25. 第六章　二次函数 1. 二次函数的性质 一、 1. D 2. A 3. D 4. C 5. C 6. A 7. A 8. D 9. D 10. A 11. C 12. D 13. B 14. A 15. C 16. C 17. B 18. D 19. C 20. B 21. B 22. B 23. B 24. C 25. D 二、 26. (1,2) 27. 2 28. k≥3 29. ①③④ 30. m≤18 31. c>14 32. -35 33. ①②④ 34. ①②④ 35. ①②④ 36. ②③④ 37. ①④ 38. > -12<m<1 39. 4 40. 4 41. ①③④ 三、 42. (1) 把A(-2,0)、B(1,0)代入y=-x2+bx+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈