第3章 3.一元二次方程及其应用-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

31 3. 一元二次方程及其应用 ▶ 相应“答案与解析”见P4 一、 选择题 1. (2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的 解是 ( ) A. x1=3,x2=1 B. x1=2,x2=0 C. x1=3,x2=-2 D. x1=-2,x2=-1 2. (2024·凉山)若关于x 的一元二次方程 (a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x= 0,则a的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 1 2 3. (2024·东营)用配方法解一元二次方程 x2-2x-2023=0,将它转化为(x+a)2=b 的形式,则ab 的值为 ( ) A. -2024 B. 2024 C. -1 D. 1 4. (2024·自贡)关于x的方程x2+mx-2=0 根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. (2024·上海)下列一元二次方程有两个相 等实数根的是 ( ) A. x2-6x=0 B. x2-9=0 C. x2-6x+6=0 D. x2-6x+9=0 6. (2024·广安)若关于x 的一元二次方程 (m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数 根,则m 的取值范围是 ( ) A. m<0且m≠-1B. m≥0 C. m≤0且m≠-1 D. m<0 7. (2024·兰州)已知关于x 的一元二次方程 9x2-6x+c=0有两个相等的实数根,则c 的值为 ( ) A. -9 B. 4 C. -1 D. 1 8. (2024·泰安)已知关于x 的一元二次方程 2x2-3x+k=0有实数根,则实数k的取值 范围是 ( ) A. k<98 B. k≤98 C. k≥98 D. k<-98 9. (2024·龙东地区)关于x 的一元二次方程 (m-2)x2+4x+2=0有两个实数根,则m 的取值范围是 ( ) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2 10. (2024·乐山)若关于x 的一元二次方程 x2+2x+p=0两根为x1、x2,且 1 x1+ 1 x2= 3,则p的值为 ( ) A. -23 B. 2 3 C. -6 D. 6 11. (2024·河北)淇淇在计算正数a 的平方 时,误算成a与2的积,求得的答案比正确 答案小1,则a的值为 ( ) A. 1 B. 2-1 C. 2+1 D. 1或2+1 12. (2024·南通)红星村种的水稻2021年平均 每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产 8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增长 率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x,则可列方程为 ( ) A. 7200(1+x)2=8450 B. 7200(1+2x)=8450 C. 8450(1-x)2=7200 D. 8450(1-2x)=7200 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　方程及方程组　　　　 32 13. (2024·云南)两年前生产1千克甲种药品 的成本为80元,随着生产技术的进步,现 在生产1千克甲种药品的成本为60元.设 生产1千克甲种药品成本的年平均下降率 为x,根据题意,可列方程为 ( ) A. 80(1-x2)=60 B. 80(1-x)2=60 C. 80(1-x)=60 D. 80(1-2x)=60 14. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业,解 一个一元二次方程时,小影在计算过程中 写错了常数项,因而得到方程的两个根是6 和1;小冬在计算过程中写错了一次项的系 数,因而得到方程的两个根是-2和-5.这 个一元二次方程可能为 ( ) A. x2+6x+5=0 B. x2-7x+10=0 C. x2-5x+2=0 D. x2-6x-10=0 15. (2024·牡丹江)一种药品原价为每盒48元, 经过两次降价后每盒27元,两次降价的百 分比相同,则每次降价的百分比为 ( ) A. 20% B. 22% C. 25% D. 28% 16. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是 方程x2-10x+21=0的两个根,则这个等 腰三角形的周长为 ( ) A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 17. (2024·通辽)如图,小程的爸爸用一段 10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5.5m)的矩形鸭舍,其面积为15m2,在鸭 舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其 他材料做成),则BC 的长为 ( ) 第17题 A. 5m或6m B. 2.5m或3m C. 5m D. 3m 二、 填空题 18. (2024·巴中)已知方程x2-2x+k=0的 一个根为x=-2,则方程的另一个根为 . 19. (2024·深圳)一元二次方程x2-3x+a= 0的一个解为x=1,则a= . 20. (2024·凉山)已知y2-x=0,x2-3y2+ x-3=0,则x的值为 . 21. (2024·河南)若关于x 的方程12x 2-x+ c=0有两个相等的实数根,则c 的值为 . 22. (2024·新疆)关于x的一元二次方程x2+ 3x+k=0有两个不相等的实数根,则k的 取值范围是 . 23. (2024·云南)若一元二次方程x2-2x+ c=0没有实数根,则实数c的取值范围是 . 24. (2024·眉山)已知方程x2+x-2=0的两根 分别为x1、x2,则 1 x1+ 1 x2 的值为 . 25. (2024·烟台)若一元二次方程2x2-4x- 1=0的两根为m、n,则3m2-4m+n2 的 值为 . 26. (2024·南充)已知m 是方程x2+4x-1= 0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 . 27. (2024·泸州)已知x1、x2是一元二次方程 x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1- x2)2+3x1x2的值为 . 28. (2024·成都)若 m、n 是一元二次方程 x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n- 2)2的值为 . 29. (2024·重庆B卷)重庆在低空经济领域实 现了新的突破.今年第一季度低空飞行航 线安全运行了200架次,预计第三季度低 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 33 空飞行航线安全运行将达到401架次.设 第二、第三两个季度安全运行架次的平均 增长率为x,根据题意,可列方程为 . 30. (2024·重庆A卷)随着经济复苏,某公司 近两年的总收入逐年递增.该公司2021年 缴税40万元,2023年缴税48.4万元.该公 司这两年缴税的年平均增长率是 . 三、 解答题 31. 解方程: (1) (2024·滨州)x2-4x=0; (2) (2024·齐齐哈尔)x2-5x+6=0; (3) (2024·安徽)x2-2x=3. 32. (2024·遂宁)已知关于x 的一元二次方程 x2-(m+2)x+m-1=0. (1) 求证:无论m 取何值,方程都有两个不 相等的实数根; (2) 如果方程的两个实数根为x1、x2,且 x21+x22-x1x2=9,求m 的值. 33. (2024·广州)已知关于x的方程x2-2x+ 4-m=0有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围; (2) 化简:1-m 2 |m-3|÷ m-1 2 ·m-3 m+1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　方程及方程组　　　　 34 34. (2024·南充)已知x1、x2是关于x的方程 x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的 实数根. (1) 求k的取值范围; (2) 若k<5,且k、x1、x2 都是整数,求k 的值. 35. (2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市 场调查发现,日销售量y(件)与每件的售价 x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如 下表: 每件的售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … (1) 求y与x之间的函数表达式(不要求写 出自变量x的取值范围). (2) 该商品的日销售额能否达到2600元? 如果能,求出每件商品的售价;如果不能, 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 4 x=100.经检验,x=100是分式方程的解,且符合题意. ∴ D型车的平均速度是100千米/时 25. 设乙组平均每小时包x 个粽子,则甲组平均每小时 包(x+20)个粽子.根据题意,得 150x+20= 120 x ,解得x= 80.经检验,x=80是分式方程的解,且符合题意.∴ x+ 20=100.∴ 甲组平均每小时包100个粽子,乙组平均每 小时包80个粽子 26. 设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人.根据 题意,得2700 35-x= 3000 x ×1.2 ,解得x=20.经检验,x= 20是分式方程的解,且符合题意.∴ 35-x=35-20= 15.∴ 甲组有20名工人,乙组有15名工人 27. 设该市的谷时电价为x元/(千瓦·时),则该市的峰 时电价为(x+0.2)元/(千瓦·时).由题意,得 50x+0.2= 30 x ,解得x=0.3.经检验,x=0.3是分式方程的解,且 符合题意.∴ 该市的谷时电价为0.3元/(千瓦·时) 28. 设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时,则 一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时.根 据题意,得16000 2x-32= 9600 x ,解得x=96.经检验,x=96 是分式方程的解,且符合题意.∴ 2x-32=2×96- 32=160.∴ 一盏A型节能灯每年的用电量为160千 瓦·时 29. (1) 设原计划每天铺设管道x 米,则实际每天铺设 管道(1+25%)x 米.根据题意,得30001.25x+15= 3000 x , 解得x=40.经检验,x=40是分式方程的解,且符合题 意.∴ 1.25x=50.∴ 原计划每天铺设管道40米,实际 每天铺设管道50米 (2) 设该公司原计划应安排y名 工人施工.根据题意,得300×(3000÷40)y≤180000, 解得y≤8.∴ y的最大整数值为8.∴ 该公司原计划最 多应安排8名工人施工 30. (1) 设甲队平均每天修复公路x 千米,则乙队平均 每天修复公路(x+3)千米.由题意,得60x= 90 x+3 ,解得 x=6.经检验,x=6是分式方程的解,且符合题意. ∴ x+3=9.∴ 甲队平均每天修复公路6千米,乙队平 均每天修复公路9千米 (2) 设甲队的工作时间为m 天, 乙队的工作时间为(15-m)天,15天的工期两队共能修 复公路 w 千米.由题意,得 w=6m+9(15-m)= -3m+135.∵ m≥2(15-m),∴ m≥10.又∵ -3<0, ∴ w 随x 的增大而减小.∴ 当m=10时,w 取得最大 值,为-3×10+135=105.∴ 15天的工期两队最多能 修复公路共105千米 31. (1) 设A款文创产品每件的进价是a元,则B款文 创产品每件的进价是(a-15)元.根据题意,得960a = 780 a-15 ,解得a=80.经检验,a=80是分式方程的解,且 符合题意.∴ a-15=80-15=65.∴ A款文创产品每 件的进价是80元,B款文创产品每件的进价是65元 (2) 设购进A款文创产品x 件,则购进B款文创产品 (100-x)件,销售完获得的总利润为W 元.根据题意, 得80x+65(100-x)≤7400,解得x≤60.∴ W= (100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1500.∵ 5>0, ∴ W 随x 的增大而增大.∴ 当x=60时,W 取得最大 值,为5×60+1500=1800.∴ 购进A款文创产品60件, 购进B款文创产品40件,才能使销售完这批货获得的 利润最大,最大利润是1800元 32. (1) 设该企业有x条甲类生产线,y条乙类生产线. 根据题意,得 x+y=30, 3x+2y=70, 解得 x=10 , y=20. ∴ 该企业有 10条甲类生产线,20条乙类生产线 (2) 设购买更新换 代1条乙类生产线的设备需投入m 万元,则购买更新换 代1条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元.根据题 意,得200 m+5= 180 m ,解得m=45.经检验,m=45是分式 方程的解,且符合题意.∴ 10(m+5)+20m-70=10× (45+5)+20×45-70=1330.∴ 还需投入1330万元 资金更新换代生产线的设备 33. (1) 设A种外墙漆每千克的价格是x元,B种外墙漆 每千克的价格是y元.根据题意,得 300x+300y=15000, x-y=2, 解得 x=26, y=24. ∴ A种外墙漆每千克的价格是26元,B种 外墙漆每千克的价格是24元 (2) 设甲每小时粉刷外 墙的面积是m 平方米,则乙每小时粉刷外墙的面积是 4 5m 平方米.根据题意,得5004 5m -500m =5 ,解得m=25. 经检验,m=25是分式方程的解,且符合题意.∴ 甲每小 时粉刷外墙的面积是25平方米 3. 一元二次方程及其应用 一、 1. B 2. A 3. D 4. A 5. D 6. A 7. D 8. B 9. D 10. A 11. C 12. A 13. B 14. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 15. C 16. C 17. C 二、 18. x=4 19. 2 20. 3 21. 1 2 22. k<94 23. c>1 24. 1 2 25. 6 26. -4 27. 14 28. 7 29. 200(1+x)2=401 30. 10% 三、 31. (1) x1=0,x2=4 (2) x1=2,x2=3 (3) x1=3,x2=-1 32. (1) ∵ b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)= m2+4m+4-4m+4=m2+8,又∵ m2≥0,∴ m2+8> 0,即b2-4ac>0.∴ 无论m 取何值,方程都有两个不相 等的实数根 (2) 由题意,得x1+x2=m+2,x1x2= m-1.∵ x21+x22-x1x2=9,∴ (x1+x2)2-3x1x2= 9.∴ (m+2)2-3(m-1)=9.整理,得m2+m-2=0. 解得m1=-2,m2=1.∴ m 的值为-2或1 33. (1) 根据题意,得b2-4ac=(-2)2-4(4-m)>0, 解得m>3 (2) ∵ m>3,∴ m-3>0.∴ 1-m2 |m-3|÷ m-1 2 ·m-3 m+1= (1+m)(1-m) m-3 · 2 m-1 ·m-3 m+1=-2 34. (1) ∵ 原方程有两个不相等的实数根,∴ b2- 4ac=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k- 4=4k-4>0,解得k>1 (2) ∵ 1<k<5,∴ 整数k的 值为2或3或4.当k=2时,方程为 x2-4x+3=0,解 得x=1或x=3,符合题意.当k=3时,方程为x2- 6x+7=0,解得x=3+2或x=3-2,不符合题意,舍 去.当k=4时,方程为x2-8x+13=0,解得x=4+ 3 或x=4-3,不符合题意,舍去.综上所述,k的值为2 35. (1) 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠ 0).由题意,得 45k+b=55, 55k+b=45, 解得 k=-1 , b=100. ∴ y与x 之 间的函数表达式为y=-x+100 (2) 不能 理由:由 题意,令x(-x+100)=2600.整理,得x2-100x+ 2600=0.∵ b2-4ac=(-100)2-4×1×2600= 10000-10400=-400<0,∴ 该方程无解.∴ 该商品 的日销售额不能达到2600元. 第四章　一元一次不等式(组) 1. 一元一次不等式及其应用 一、 1. C 2. A 3. D 4. D 5. A 6. A 7. A 8. C 二、 9. x<1 10. x<-2 11. 0(答案不唯一) 三、 12. (1) x>-3.解集在数轴上表示如图①所示 (2) x≤2.解集在数轴上表示如图②所示 ① ② 第12题 13. 去分母,得1+x≥3x-3.移项、合并同类项,得 -2x≥-4.系数化为1,得x≤2.∴ 此不等式的正整数 解为1、2 14. 设可购买这种型号的水基灭火器x 个,则购买这种 型号的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.∵ x为整数,∴ x的 最大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器12个 15. (1) 设甲水池的排水速度是xm3/h.根据题意,得 36-3x=2×(36-3×8),解得x=4.∴ 甲水池的排水 速度是4m3/h (2) 设排水th.根据题意,得36×2- (4+8)t≥24,解得t≤4.∴ t的最大值为4.∴ 最多可以 排水4h 16. (1) 设种植1亩甲种作物需要x 名学生,种植1亩 乙种作物需要y名学生.根据题意,得 3x+2y=27, 2x+2y=22, 解 得 x=5, y=6. ∴ 种植1亩甲种作物需要5名学生,种植1亩 乙种作物需要6名学生 (2) 设种植甲种作物m 亩,则 种植乙种作物(10-m)亩.根据题意,得5m+6(10- m)≤55,解得m≥5.∴ m 的最小值为5.∴ 至少种植甲 种作物5亩 17. (1) 设A、B两款纪念品的进货单价分别为x 元、 y元.根据题意,得 3x-2y=120, x+2y=200, 解得 x=80 , y=60. ∴ A、B 两款纪念品的进货单价分别为80元和60元 (2) 设购 进m 个B款纪念品,则购进(70-m)个A款纪念品.根 据题意,得60m+80(70-m)≤5000,解得m≥30.∴ m 的最小值为30.∴ 至少应购进B款纪念品30个 18. (1) 设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品 的单价为y 元.根据题意,得 x+2y=700, 2x+3y=1200, 解得 x=300, y=200. ∴ A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作 品的单价为200元 (2) 设购买A种湘绣作品m 件,则 购买B种湘绣作品(200-m)件.根据题意,得300m+ 200(200-m)≤50000,解得m≤100.∴ m 的最大值为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈