第3章 1.一次方程(组)及其应用-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

3 (2) 方案3铲除全部籽的路径总长最短 ∵ 2(n-1)dk- 2(k-1)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k),n> k,∴ 2d(n-k)>0,即2(n-1)dk>2(k-1)dn.∴ 方 案1铲除全部籽的路径总长大于方案2铲除全部籽的路 径总长.∵ 2(k-1)dn- 22 (2k-1)dn= 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 (2-2)k- 2+22 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 dn,n>k≥3,∴ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 (2-2)k-2+22 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 dn≥􀭠 􀭡 􀪁􀪁 (2- 2)×3-2+ 22 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 dn= 4-522 dn>0,即2(k- 1)dn> 22 (2k-1)dn.∴ 方案3铲除全部籽的路径总长 最短 销售员的操作方法是铲除全部籽的路径总长最 短的方法,可以减少对菠萝的损耗(合理即可) 第三章　方程及方程组 1. 一次方程(组)及其应用 一、 1. C 2. A 3. A 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. D 11. D 12. D 13. B 14. C 15. B 二、 16. x=5, y=-1 17. 15 18. 20 19. 2.5 20. 2009 三、 21. (1) x=5 (2) x=5 22. (1) x=3, y=1 (2) x=2, y= 1 2 (3) x=3,y=1 (4) x=12 , y=-4 23. 设小峰这次打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h.根 据题意,得x 4+ 3-x 2 =1 ,解得x=2.∴ 小峰这次打扫 了2h 24. 设合伙人数为x.由题意,得400x-3400=300x- 100,解得x=33.∴ 400x-3400=9800.∴ 合伙人数为 33,金价为9800钱 25. 这次技术改进后该汽车的A类物质的排放量符合 “标准” 理由:设这次技术改进前该汽车的A类物质的 排放量为xmg/km,则这次技术改进前该汽车的B类物 质的排放量为(92-x)mg/km.根据题意,得(1- 50%)x+(1-75%)(92-x)=40,解得x=68.∴ 这次 技术改进后该汽车的A类物质的排放量为(1-50%)× 68=34(mg/km).∵ “标准”要求A类物质的排放量不 超过35mg/km,34<35,∴ 这次技术改进后该汽车的 A类物质的排放量符合“标准”. 26. 设白色琴键的个数为x,黑色琴键的个数为y.由题 意,得 x+y=88, x-y=16, 解得 x=52 , y=36. ∴ 白色琴键的个数为 52,黑色琴键的个数为36 27. 设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x 克,白银 y克.根据题意,得 y=x+760, 2.5x=0.6y, 解得 x=240 , y=1000. ∴ 从 每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1000克 28. 由题意,得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+ b)m.∵ a=b,c=d,c=2a,∴ AB=(1.2+4a)m, AD=(0.8+2a)m.∵ AB 与AD 的长度之比是16∶ 10,∴ (1.2+4a)∶(0.8+2a)=16∶10.∴ a=0.1. ∴ b=0.1,c=d=0.2.∴ 上、下、左、右边衬的宽度分别 是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m 29. (1) 设经过t秒,点A、B 之间的距离等于3个单位 长度,则|(-3+t)-(12-2t)|=3,解得t=4或t=6. ∴ 经过4秒或6秒,点A、B 之间的距离等于3个单位 长度 (2) 设经过x 秒,点A、B 到原点的距离之和为 y,则y=|-3+x|+|12-2x|.当x≤3时,y=|-3+ x|+|12-2x|=3-x+12-2x=-3x+15.当x=3 时,y取得最小值,为6.当3<x≤6时,y=|-3+x|+ |12-2x|=-3+x+12-2x=-x+9.当x=6时,y 取得最小值,为3.当x>6时,y=|-3+x|+|12- 2x|=-3+x-12+2x=3x-15.∴ y>3×6-15=3. 综上所述,点A、B 到原点的距离之和的最小值为3 2. 分式方程及其应用 一、 1. A 2. D 3. A 4. B 5. A 6. C 7. D 8. C 9. A 10. B 11. D 12. D 二、 13. 3 14. x=2 15. x=3 16. x=9 17. x=-3 18. x=-1 19. 2或-1 20. -1 21. 28 x- 24.5 1+14 x =3 三、 22. (1) x=3 (2) x=10 (3) x=3 (4) x=-3 23. 设B型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处 理(x+40)吨垃圾.根据题意,得 500x+40= 300 x ,解得x= 60.经检验,x=60是分式方程的解,且符合题意.∴ B型 机器每天处理60吨垃圾 24. 设D型车的平均速度是x 千米/时,则C型车的平 均速度是3x 千米/时.根据题意,得300x - 300 3x=2 ,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 1. 了解方程(组)的概念. 2. 会解一次方程(组)、二次方程、可化为一元一次方程的分式方程. 3. 掌握根的判别式、根与系数的关系,并能进行简单应用. 4. 能列方程(组)解应用题. 1. 一次方程(组)及其应用 ▶ 相应“答案与解析”见P3 一、 选择题 1. (2024·贵州)小红学习了等式的性质后,在 甲、乙两台天平的左右两边分别放入“ ” “ ”“ ”三种物体(如图),天平都保持平衡. 若设“ ”与“ ”的质量分别为x、y,则下列 关系式正确的是 ( ) 第1题 A. x=y B. x=2y C. x=4y D. x=5y 2. (2024·无锡)《九章算术》中有一道“凫雁相 逢”问题(凫:野鸭),大意如下:野鸭从南海 飞到北海需要7天,大雁从北海飞到南海需 要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同 时起飞,那么经过多少天相遇? 设经过x 天 相遇,则下列方程正确的是 ( ) A. 1 7x+ 1 9x=1 B. 1 7x- 1 9x=1 C. 9x+7x=1 D. 9x-7x=1 3. (2024·广州)某新能源车企今年5月交付新 车35060辆,且今年5月交付新车的数量比 去年5月交付新车的数量的1.2倍还多 1100辆.设该车企去年5月交付新车x 辆, 根据题意,可列方程为 ( ) A. 1.2x+1100=35060 B. 1.2x-1100=35060 C. 1.2(x+1100)=35060 D. x-1100=35060×1.2 4. (2024·宿迁)有这样一道古代问题:以绳测 井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折 测之,绳多一尺.绳长、井深各几何? 大意如 下:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳 四尺;把绳四折来量,井外余绳一尺.绳长、 井深各几尺? 若设绳长为x 尺,则可列方 程为 ( ) A. 1 3x-4= 1 4x-1 B. 1 3x+4= 1 4x-1 C. 1 3x-4= 1 4x+1 D. 1 3x+4= 1 4x+1 5. (2024·广西)《九章算术》是我国古代重要 的数学著作,其中记载了一个问题,大意如 下:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩 1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱.问: 出租的田有多少亩? 设出租的田有x亩,则 可列方程为 ( ) A. x 3+ x 4+ x 5=1 B. x 3+ x 4+ x 5=100 C. 3x+4x+5x=1 D. 3x+4x+5x=100 6. (2024·福建)今年我国国民经济良好,市场 销售稳定增长,社会消费增长较快,第一季 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　方程及方程组　　　　第三章 方程及方程组 20 度社会消费品的零售总额为120327亿元, 比去年第一季度增长了4.7%,求去年第一 季度社会消费品的零售总额.若将去年第一 季度社会消费品的零售总额设为x 亿元,则 符合题意的方程是 ( ) A. (1+4.7%)x=120327 B. (1-4.7%)x=120327 C. x 1+4.7%=120327 D. x 1-4.7%=120327 7. (2024·天津)《孙子算经》是我国古代著名 的数学典籍,其中有这样一道题:“今有木, 不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳度 之,不足一尺.木长几何?”大意如下:现在有 一根长木,不知道它长多少尺.用一根绳子 去量这根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子 对折再量这根长木,长木还剩余1尺.问:这 根长木的长为多少尺? 设这根长木的长为 x尺,绳子的长为y尺,则可列方程组为 ( ) A. y-x=4.5, x-0.5y=1 B. y-x=4.5, x+0.5y=1 C. x+y=4.5, x-y=1 D. x+y=4.5, y-x=1 8. (2024·赤峰)用1块A型钢板可制成3块 C型钢板和4块D型钢板;用1块B型钢板 可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在 需要58块C型钢板、40块D型钢板,问:恰 好用A型钢板、B型钢板各多少块? 如果设 用A型钢板x块,用B型钢板y块,那么可 列方程组为 ( ) A. 3x+2y=40, 4x+5y=58 B. 3x+5y=40, 4x+2y=58 C. 3x+5y=58, 4x+2y=40 D. 3x+4y=58, 5x+2y=40 9. (2024·甘孜)我国古代数学名著《九章算 术》中记载了一道题,大意如下:几个人合买 一件物品,每人出8钱,剩余3钱;每人出 7钱,还差4钱.设有x人,该物品价值y钱, 根据题意,可列方程组为 ( ) A. 8x=y+3, 7x=y-4 B. 8x=y+3, 7x=y+4 C. 8x=y-3, 7x=y-4 D. 8x=y-3, 7x=y+4 10. (2024·南充)我国古代《算法统宗》里有这 样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到 店中.一房七客多七客,一房九客一房空.” 诗中后面两句的意思是:如果每一间客房 住7人,那么有7人无房可住;如果每一间 客房住9人,那么就空出一间客房.设有客 房x间,客人y人,则可列方程组为( ) A. 7x-7=y, 9(x+1)=y B. 7x-7=y, 9(x-1)=y C. 7x+7=y, 9(x+1)=y D. 7x+7=y, 9(x-1)=y 11. (2024·辽宁)我国古代数学著作《孙子算 经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼, 上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几 何?”其大意是:鸡兔同笼,共有35个头, 94条腿,问:鸡兔各多少只? 设鸡有x 只, 兔有y只,根据题意可列方程组为 ( ) A. x+y=94, 4x+2y=35 B. x+y=94, 2x+4y=35 C. x+y=35, 4x+2y=94 D. x+y=35, 2x+4y=94 12. (2024·泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载 了“二果问价”问题,其内容大致如下:用九 百九十九文钱,可买甜果苦果共一千个, 若…,…,试问买甜果苦果各几个? 若设买甜果x个,买苦果y个,则可列出 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 21 符 合 题 意 的 二 元 一 次 方 程 组 为 x+y=1000, 11 9x+ 4 7y=999. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 根据已有信息,题中用 “…,…”表示的缺失的条件应为 ( ) A. 甜果七个需四文钱,苦果九个需十一 文钱 B. 甜果十一个需九文钱,苦果四个需七 文钱 C. 甜果四个需七文钱,苦果十一个需九 文钱 D. 甜果九个需十一文钱,苦果七个需四 文钱 13. (2024·龙东地区)国家“双减”政策实施 后,某班开展了主题为“书香满校园”的读 书活动.班级决定为在活动中表现突出的 同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种 奖品都买).其中笔记本每本3元,碳素笔 每支2元,共花费28元,则不同的购买方 案共有 ( ) A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 14. (2024·宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为 大箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克 荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采 摘共32千克荔枝,根据市场销售需求,大 小箱都要装满,则最多装 ( ) A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 15. (2024·齐齐哈尔)校团委开展以“我爱读 书”为主题的演讲比赛活动,为奖励表现突 出的学生,计划拿出200元钱全部用于购 买单价分别为8元和10元的两种笔记本 (两种都要购买)作为奖品,则不同的购买 方案有 ( ) A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 二、 填空题 16. (2024·宿迁)若关于x、y的二元一次方程 组 ax+y=b, cx-y=d 的解是x=3 , y=-2, 则关于x、y 的二元一次方程组 ax+2y=2a+b, cx-2y=2c+d 的解 是 . 17. (2024·盐城)中国古代数学著作《增删算法 统宗》中记载的“绳索量竿”问题,大意如下: 现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿 子,绳索比竿子长5尺;若将绳索对折去量 竿子,绳索就比竿子短5尺.问:绳索、竿子各 有多长? 该问题中的竿子长为 尺. 18. (2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术 启蒙》中,记载了一道题,大意如下:快马每 天行240里,慢马每天行150里,慢马先行 12天,则快马追上慢马需要几天? 这个问 题的答案是 天. 19. (2024·扬州)《九章算术》是中国古代的数 学专著,书中第八章内容“方程”里记载了 一个有趣的追及问题,大意如下:速度快的 人每分钟走100米,速度慢的人每分钟走 60米,现在速度慢的人先走100米,速度快 的人去追他,则速度快的人追上他需要 分钟. 20. (2024·长沙)为庆祝中国改革开放46周 年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活 动,现场参与者均为在校中学生,其中有一 个活动项目是“选数字猜出生年份”.该活 动项目主持人要求参与者从1、2、3、4、5、6、 7、8、9这九个数字中任取一个数字,先乘 10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10, 然后加上1978,最后减去参与者的出生年 份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年 对应的四位数是2010),得到最终的运算结 果.只要参与者报出最终的运算结果,主持 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　方程及方程组　　　　 22 人立马就知道参与者的出生年份.若某位 参与者报出的最终的运算结果是915,则这 位参与者的出生年份是 . 三、 解答题 21. 解方程: (1) (2024·新疆)2(x-1)-3=x; (2) (2024·滨州)2x-13 = x+1 2 . 22. 解方程组: (1) (2024·乐山) x+y=4, 2x-y=5; (2) (2024·广西) x+2y=3, x-2y=1; (3) (2024·苏州) 2x+y=7, 2x-3y=3; (4) (2024·浙江) 2x-y=5, 4x+3y=-10. 23. (2024·陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸 爸进行一次大扫除.根据这次大扫除的任 务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独 完成,需2h.当天,小峰先单独打扫了一段 时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独 完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次 一共打扫了3h,求小峰这次打扫了多长 时间. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 23 24. (2024·长春)《九章算术》是我国第一部自 成体系的数学专著,其中记载了这样一道 题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人 出三百,盈一百.问人数、金价各几何? 大 意如下:现在有人合伙买金,每人出400钱, 剩余3400钱;每人出300钱,剩余100钱. 问:合伙人数和金价各是多少? 请解答这 个问题. 25. (2024·北京)为防治污染,保护和改善生 态环境,自2023年7月1日起,我国全面进 入实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简 称为“标准”).对某型号汽车,“标准”要求 A类物质的排放量不超过35mg/km,A、B 两类物质的排放量之和不超过50mg/km. 已知该型号某汽车的A、B两类物质的排放 量之和原为92mg/km.经过一次技术改 进,该汽车的 A类物质的排放量降低了 50%,B类物质的排放量降低了75%,A、B 两类物质的排放量之和为40mg/km.判断 这次技术改进后该汽车的A类物质的排放 量是否符合“标准”,并说明理由. 26. (2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美 称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个, 白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键 和黑色琴键的个数. 27. (2024·山西)科学处理废旧智能手机,既 可减少环境污染,还可回收其中的部分资 源.已知从每吨废旧智能手机中能提炼出 的白银比黄金多760克,从2.5吨废旧智能 手机中能提炼出的黄金,与从0.6吨废旧 智能手机中能提炼出的白银克数相等.求 从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白 银各多少克. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　方程及方程组　　　　 24 28. (2024·常州)书画装裱,是指为书画配上 衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国 具有民族传统的一门特殊艺术.如图,一幅 书画在装裱前的尺寸是1.2m×0.8m.装 裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是am、 bm、cm、dm.若装裱后AB 与AD 的长度 之比是16∶10,且a=b,c=d,c=2a,求四 周边衬的宽度分别是多少米. 第28题 29. (2024·威海)我们把数轴上表示数a的点 与原点的距离叫做数a 的绝对值.数轴上 表示数a、b的点A、B 之间的距离AB= a-b(a≥b).特别地,当a≥0时,表示数a 的点与原点的距离等于a-0;当a<0时, 表示数a的点与原点的距离等于0-a. 如图,在数轴上,动点A 从表示-3的点出 发,以1个单位长度/秒的速度沿着数轴的 正方向运动.同时,动点B 从表示12的点 出发,以2个单位长度/秒的速度沿着数轴 的负方向运动. (1) 经过多长时间,点A、B 之间的距离等 于3个单位长度? (2) 求点 A、B 到原点的距离之和的最 小值. 第29题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学