第2章 4.二次根式-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

17 4. 二次根式 ▶ 相应“答案与解析”见P2 一、 选择题 1. (2024·徐州)若 x+1有意义,则x 的取值 范围是 ( ) A. x≥-1 B. x≤-1 C. x>-1 D. x<-1 2. (2024·绥化)若式子 2m-3有意义,则m 的取值范围是 ( ) A. m≤23 B. m≥-32 C. m≥32 D. m≤-23 3. (2024·南通)计算 27× 13 的结果是 ( ) A. 9 B. 3 C. 33 D. 3 4. (2024·包头)计算 92-62的结果是 ( ) A. 3 B. 6 C. 35 D. ±35 5. (2024·湖南)计算2×7的结果是 ( ) A. 27 B. 72 C. 14 D. 14 6. (2024· 乐 山)已 知 1<x<2,则 化 简 (x-1)2+|x-2|的结果为 ( ) A. -1 B. 1 C. 2x-3D. 3-2x 7. (2024·兴安盟)实数a、b在数轴上的对应 位置如图所示,则 (a-b)2-(b-a-2)的 化简结果是 ( ) 第7题 A. 2 B. 2a-2 C. 2-2b D. -2 8. (2024·重庆B卷)估计 12×(2+ 3)的 值应在 ( ) A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 二、 填空题 9. (1) (2024·连云港)若 x-2在实数范围内 有意义,则x的取值范围是 ; (2) (2024·烟台)若代数式 3 x-1 在实数范 围内有意义,则x的取值范围是 . 10. 计算: (1) (2024·德阳)(-3)2= ; (2) (2024·广安)3-9= ; (3) (2024·长春)12-3= . 11. 计算: (1) (2024·贵州)2×3= ; (2) (2024· 威 海) 12 - 8 × 6 = . 12. (2024·天津)计算(11+1)×(11-1) 的结果为 . 13. (2024·上海)已知 2x-1=1,则x 的值 为 . 14. (2024·青海)请你写出一个解集为x> 7 的一元一次不等式: . 三、 解答题 15. (2024· 长春)先化简,再求值:x 3 x-2- 2x2 x-2 ,其中x=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　式　　　　 18 16. (2024·宿迁)先化简,再求值:1+ 2x+1 · x+1 x2-9 ,其中x=3+3. 17. (2024·深圳)先化简,再求值:1- 2a+1 ÷ a2-2a+1 a+1 ,其中a=2+1. 18. (2024·盐城)小明买菠萝时发现,通常情 况下,销售员都是先削去菠萝的皮,再斜着 铲去菠萝的籽.销售员斜着铲去菠萝的籽, 除了方便操作,是否还蕴含着什么数学道 理呢? 某菠萝可以近似看成圆柱体,若忽略籽的 体积和铲去果肉的厚度与宽度,那么籽在 侧面展开图上可以看成点,每个点表示不 同的籽.如图①,该菠萝的籽在侧面展开图 上呈交错规律排列,每行有n个籽,每列有 k个籽,每行相邻两籽、每列相邻两籽的间距 都为d(n、k均为正整数,n>k≥3,d>0). (1) 小明设计了如下三个铲籽方案. 方案1:如图②所示为横向铲籽示意图,每 行铲的路径长为 ,共铲 行, 则铲除全部籽的路径总长为 ; 方案2:如图③所示为纵向铲籽示意图,则 铲除全部籽的路径总长为 ; 方案3:如图④所示为销售员斜着铲籽示意 图,则铲除全部籽的路径总长为 . (2) 在(1)给出的三个方案中,哪个方案铲 除全部籽的路径总长最短? 请写出比较过 程,并对销售员的操作方法进行评价. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 2 式= 2a+3. 当a=4时,原式=27 (3) 原式=x+3.当 x=-72 时,原式=-12 (4) 原式=a+1a . 当a=2 时,原式=32 (5) 原式=x+2x . 当x=-3时,原 式=13 18. (1) 原式=x-1.由题意,得x-1≠0,x-2≠0, x2-2x+1≠0,∴ x≠1,x≠2.∴ x的值只能取3.此时 原式=2 (2) 原式= 4x+1. 由题意,得x-2≠0,x+ 2≠0,x2+x≠0,x2-4≠0,∴ x≠-2,x≠-1,x≠0, x≠2.∴ x的值只能取1.当x=1时,原式=2 (3) 原 式=a-2a+2. 由题意,得a-1≠0,a2+4a+4≠0,∴ a≠1 且a≠-2.∴ a 的值可以取0、2.当a=0时,原式= -1;当a=2时,原式=0 19. (1) 原式=1-m.当m=cos60°=12 时,原式=1- 1 2= 1 2 (2) 原式= 1x+y.∵ x=2-y,∴ x+y=2. ∴ 原式=12 (3) 原式= ba+b.∵ b-2a=0,∴ b= 2a.∴ 原式= 2aa+2a= 2 3 (4) 原式= 3a-b.∵ a-b- 1=0,∴ a-b=1.∴ 原式=3 20. 原式=m-26-2m. 由题意,得m=± 32-5=±2. ∵ m-3≠0,9-m2≠0,m+3≠0,4-2m≠0,∴ m≠ -3且m≠3且m≠2.∴ m=-2.∴ 原式=-25 21. (1) ③ (2) 2x x2-4- 1 x-2= 2x (x+2)(x-2)- 1 x-2= 2x (x+2)(x-2)- x+2 (x-2)(x+2)= 2x-x-2 (x+2)(x-2)= x-2 (x+2)(x-2)= 1 x+2. 当x=3时,原式=15 22. 从第②步开始出现错误 正确的解题过程如下:原 式= m+1(m+1)(m-1)- 2 (m+1)(m-1)= m+1-2 (m+1)(m-1)= m-1 (m+1)(m-1)= 1 m+1 23. (1) 由题意,可得P0= a0 (a-b)(a-c)+ b0 (b-c)(b-a)+ c0 (c-a)(c-b)= 1 (a-b)(a-c)+ 1 (b-c)(b-a)+ 1 (c-a)(c-b) (2) 由 题 意,可 得 P1= a1 (a-b)(a-c)+ b1 (b-c)(b-a)+ c1 (c-a)(c-b)= a (a-b)(a-c)- b (b-c)(a-b)+ c (a-c)(b-c)= a(b-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) = ab-ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) =0 24. (1) ∵ 3m+n=ba ,mn=ca ,∴ b=a(3m+n),c= amn.∴ b2 -12ac= [a(3m +n)]2 -12a2mn= a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn=a2(9m2-6mn+n2)= a2(3m-n)2.∵ a、m、n 是实数,∴ a2(3m-n)2≥0. ∴ b2-12ac 为非负数 (2) m、n不可能都为整数 理 由:假设m、n都为整数.∵ a、b、c均为奇数,且m、n都 为整数,∴ b a 、c a 均为奇数.∴ 3m+n、mn均为奇数.由 mn为奇数,可得m、n均为奇数,∴ 3m+n为偶数,这 与3m+n为奇数矛盾.∴ 假设不成立.∴ m、n不可能 都为整数. 4. 二次根式 一、 1. A 2. C 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. C 二、 9. (1) x≥2 (2) x>1 10. (1) 3 (2) 0 (3) 3 11. (1) 6 (2) -23 12. 10 13. 1 14. 答案不唯一,如2x>27 三、 15. 原式=x2.当x=2时,原式=2 16. 原式= 1x-3. 当x=3+3时,原式= 33 17. 原式= 1a-1. 当a=2+1时,原式= 22 18. (1) (n-1)d 2k 2(n-1)dk 2(k-1)dn 2 2 (2k-1)nd 解析:方案1:∵ 每行有n个籽,每行相 邻两籽的间距为d,∴ 每行铲的路径长为(n-1)d. ∵ 每列有k个籽,且呈交错规律排列,∴ 共铲2k 行. ∴ 铲除全部籽的路径总长为2(n-1)dk.方案2:∵ 每 列有k个籽,每列相邻两籽的间距为d,∴ 每列铲的路 径长为(k-1)d.∵ 每行有n个籽,且呈交错规律排列, ∴ 共铲2n列.∴ 铲除全部籽的路径总长为2(k-1)dn. 方案3:由题意,可得斜着铲每相邻两籽的间距为 d2+d2 2 = 2d 2 .∵ 一共有2n列,2k行,∴ 相当于斜 着铲需要铲n次,每次铲2k个籽.∴ 铲除全部籽的路径 总长为 2 2 (2k-1)nd. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 (2) 方案3铲除全部籽的路径总长最短 ∵ 2(n-1)dk- 2(k-1)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k),n> k,∴ 2d(n-k)>0,即2(n-1)dk>2(k-1)dn.∴ 方 案1铲除全部籽的路径总长大于方案2铲除全部籽的路 径总长.∵ 2(k-1)dn- 22 (2k-1)dn= 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 (2-2)k- 2+22 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 dn,n>k≥3,∴ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 (2-2)k-2+22 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 dn≥􀭠 􀭡 􀪁􀪁 (2- 2)×3-2+ 22 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 dn= 4-522 dn>0,即2(k- 1)dn> 22 (2k-1)dn.∴ 方案3铲除全部籽的路径总长 最短 销售员的操作方法是铲除全部籽的路径总长最 短的方法,可以减少对菠萝的损耗(合理即可) 第三章　方程及方程组 1. 一次方程(组)及其应用 一、 1. C 2. A 3. A 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. D 11. D 12. D 13. B 14. C 15. B 二、 16. x=5, y=-1 17. 15 18. 20 19. 2.5 20. 2009 三、 21. (1) x=5 (2) x=5 22. (1) x=3, y=1 (2) x=2, y= 1 2 (3) x=3,y=1 (4) x=12 , y=-4 23. 设小峰这次打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h.根 据题意,得x 4+ 3-x 2 =1 ,解得x=2.∴ 小峰这次打扫 了2h 24. 设合伙人数为x.由题意,得400x-3400=300x- 100,解得x=33.∴ 400x-3400=9800.∴ 合伙人数为 33,金价为9800钱 25. 这次技术改进后该汽车的A类物质的排放量符合 “标准” 理由:设这次技术改进前该汽车的A类物质的 排放量为xmg/km,则这次技术改进前该汽车的B类物 质的排放量为(92-x)mg/km.根据题意,得(1- 50%)x+(1-75%)(92-x)=40,解得x=68.∴ 这次 技术改进后该汽车的A类物质的排放量为(1-50%)× 68=34(mg/km).∵ “标准”要求A类物质的排放量不 超过35mg/km,34<35,∴ 这次技术改进后该汽车的 A类物质的排放量符合“标准”. 26. 设白色琴键的个数为x,黑色琴键的个数为y.由题 意,得 x+y=88, x-y=16, 解得 x=52 , y=36. ∴ 白色琴键的个数为 52,黑色琴键的个数为36 27. 设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x 克,白银 y克.根据题意,得 y=x+760, 2.5x=0.6y, 解得 x=240 , y=1000. ∴ 从 每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1000克 28. 由题意,得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+ b)m.∵ a=b,c=d,c=2a,∴ AB=(1.2+4a)m, AD=(0.8+2a)m.∵ AB 与AD 的长度之比是16∶ 10,∴ (1.2+4a)∶(0.8+2a)=16∶10.∴ a=0.1. ∴ b=0.1,c=d=0.2.∴ 上、下、左、右边衬的宽度分别 是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m 29. (1) 设经过t秒,点A、B 之间的距离等于3个单位 长度,则|(-3+t)-(12-2t)|=3,解得t=4或t=6. ∴ 经过4秒或6秒,点A、B 之间的距离等于3个单位 长度 (2) 设经过x 秒,点A、B 到原点的距离之和为 y,则y=|-3+x|+|12-2x|.当x≤3时,y=|-3+ x|+|12-2x|=3-x+12-2x=-3x+15.当x=3 时,y取得最小值,为6.当3<x≤6时,y=|-3+x|+ |12-2x|=-3+x+12-2x=-x+9.当x=6时,y 取得最小值,为3.当x>6时,y=|-3+x|+|12- 2x|=-3+x-12+2x=3x-15.∴ y>3×6-15=3. 综上所述,点A、B 到原点的距离之和的最小值为3 2. 分式方程及其应用 一、 1. A 2. D 3. A 4. B 5. A 6. C 7. D 8. C 9. A 10. B 11. D 12. D 二、 13. 3 14. x=2 15. x=3 16. x=9 17. x=-3 18. x=-1 19. 2或-1 20. -1 21. 28 x- 24.5 1+14 x =3 三、 22. (1) x=3 (2) x=10 (3) x=3 (4) x=-3 23. 设B型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处 理(x+40)吨垃圾.根据题意,得 500x+40= 300 x ,解得x= 60.经检验,x=60是分式方程的解,且符合题意.∴ B型 机器每天处理60吨垃圾 24. 设D型车的平均速度是x 千米/时,则C型车的平 均速度是3x 千米/时.根据题意,得300x - 300 3x=2 ,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈