第2章 2.因式分解&3.分式-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

11 2. 因式分解 ▶ 相应“答案与解析”见P1 一、 选择题 1. (2024·云南)分解因式a3-9a的结果是 ( ) A. a(a-3)(a+3) B. a(a2+9) C. (a-3)(a+3) D. a2(a-9) 2. (2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么 a3b+2a2b2+ab3的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 3. (2023·河北)若k 为任意整数,则(2k+ 3)2-4k2的值总能 ( ) A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 二、 填空题 4. 分解因式: (1) (2024·甘孜)a2+5a= ; (2) (2024·浙江)a2-7a= ; (3) (2024·陕西)a2-ab= ; (4) (2024·山东)x2y+2xy= . 5. 分解因式: (1) (2024·威海)(x+2)(x+4)+1= ; (2) (2024·广元)(a+1)2-4a= ; (3) (2024· 常 州)x2 -4xy +4y2 = . 6. 分解因式: (1) (2024·扬州)2x2-4x+2= ; (2) (2024· 兴 安 盟)a +2ab+ab2 = ; (3) (2024·通 辽)3ax2-6axy+3ay2= . 7. 分解因式: (1) (2024·临夏)x2-14= ; (2) (2024·无锡)x2-9= . 8. 分解因式: (1) (2024·宜宾)2a2-2= ; (2) (2024·北京)x3-25x= ; (3) (2024·绥化)2mx2-8my2= ; (4) (2024·赤峰)3ax2-3a= . 9. (2023·深圳)已知实数a、b满足a+b=6, ab=7,则a2b+ab2的值为 . 三、 解答题 10. (2024·齐齐哈尔)分解因式:2a3-8ab2. 11. (2023·齐齐哈尔)分解因式:2a3-12a2+ 18a. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　式　　　　 12 3. 分 式 ▶ 相应“答案与解析”见P1 一、 选择题 1. (2024·兴安盟)下列计算正确的是 ( ) A. (-2a4)3=-6a12 B. a-2+a5=a3 C. a+1 a - 1 a= 1 a D. (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 2. (2024·天津)计算3xx-1- 3 x-1 的结果为 ( ) A. 3 B. x C. x x-1 D. 3 x2-1 3. (2024·雅安)已知2a+ 1 b=1 (a+b≠0),则 a+ab a+b 的值为 ( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 3 4. (2024·威海)下列运算正确的是 ( ) A. x5+x5=x10 B. m+n2·1n= m n C. a6÷a2=a4 D. (-a2)3=-a5 5. (2024·甘肃)计算 4a2a-b- 2b 2a-b 的结果为 ( ) A. 2 B. 2a-b C. 2 2a-b D. a-b 2a-b 6. (2024·广州)若a≠0,则下列运算正确的是 ( ) A. a 2+ a 3= a 5 B. a3·a2=a5 C. 2 a ·3 a= 5 a D. a3÷a2=1 7. (2024· 河 北)已 知 A 为 整 式,若 计 算 A xy+y2 - yx2+xy 的结果为x-y xy ,则A 等于 ( ) A. x B. y C. x+y D. x-y 二、 填空题 8. (1) (2024·盐城)若 1x-1 有意义,则x的取 值范围是 ; (2) (2024·吉林)当分式 1x+1 的值为正数 时,写出一个满足条件的x的值: . 9. 计算: (1) (2024·常州)1x+1+ x x+1= ; (2) (2024·广东)aa-3- 3 a-3= ; (3) (2024·自贡)3a+1a+1- 2a a+1= ; (4) (2024·威海)4x-2+ x2 2-x= . 10. (2024· 绥 化)计 算:x-yx ÷ x - 2xy-y2 x = . 11. (2024·大庆)若a+1a= 5 ,则a2+1a2= . 12. (2024·济宁)已知a2-2b+1=0,则 4ba2+1 的值是 . 三、 解答题 13. 计算: (1) (2024·江西)xx-8- 8 x-8 ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 13 (2) (2024·扬州)x-2x+1÷ (x-2); (3) (2024·新疆) a 2-b2 a2+2ab+b2÷ a-b a+b ; (4) (2024·宜宾) 2a2-1÷ 1 a-1- 1 a+1 . 14. 计算: (1) (2024· 山 西) 1x-1+ 1x+1 ÷ x+2 x2-1 ; (2) (2024·泰安)x-2x-1x ÷x 2-1 x ; (3) (2024·重庆A卷)1+1a ÷a 2-1 a2+a ; (4) (2024· 重 庆 B 卷)1+ 2x-2 ÷ x2-4 x2-4x+4. 15. 计算: (1) (2024· 泸 州) y 2 x +x-2y ÷ x2-y2 x ; (2) (2024·临夏)a+1+ 1a-1 ÷a 2+a a-1 ; (3) (2024·东营)a 2-4a+4 a-1 ÷ a-1- 3 a-1 ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　式　　　　 14 (4) (2024·辽宁)aa+1 ·a 2-1 a2 + 1 a. 16. 先化简,再求值: (1) (2024·贵州)(x2-1)· 12x+2 ,其中 x=3; (2) (2024·宁夏)1- 1a+1 ·a 2-1 a ,其 中a=1-2. 17. 先化简,再求值: (1) (2024·湖南)x 2-4 x2 · x x+2+ 3 x ,其中 x=3; (2) (2024·盐城)1-a-3a ÷ a2-9 a2+a ,其中 a=4; (3) (2024· 兴 安 盟) 4x+2+x-2 ÷ x2-2x x2-4+3 ,其中x=-72 ; (4) (2024·雅安)1-1a2 ÷a 2-2a+1 a2-a , 其中a=2; (5) (2024·苏州)x+1x-2+1 ÷2x 2-x x2-4 ,其 中x=-3. 18. (1) (2024·遂宁)先化简:1- 1x-1 ÷ x-2 x2-2x+1 ,再从1、2、3中选择一个合适的 数作为x的值代入求值; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 15 (2) (2024· 达 州)先 化 简: xx-2- x x+2 ÷x 2+x x2-4 ,再从-2、-1、0、1、2中选 择一个合适的数作为x的值代入求值; (3) (2024·广安)先化简:a+1- 3a-1 ÷ a2+4a+4 a-1 ,再从-2、0、1、2中选择一个合 适的数作为a的值代入求值. 19. 先化简,再求值: (1) (2024· 龙 东 地 区)m 2-2m+1 m2-1 ÷ m2 m2+m-1 ,其中m=cos60°; (2) (2024·青海)1y- 1 x ÷ xy-yx ,其 中x=2-y; (3) (2024·广元)aa-b÷ a2-b2 a2-2ab+b2- a-b a+b ,其中a、b满足b-2a=0; (4) (2024·北京)3 (a-2b)+3b a2-2ab+b2 ,其中a、b 满足a-b-1=0. 20. (2024·烟台)利用计算器进行计算,按键 顺序为 ,m 是其显示结果 的平方根.先化简: mm-3+7m-49-m2 ÷ 4-2m m+3 ,再求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　式　　　　 16 21. (2024·乐山)先化简,再求值:2xx2-4- 1 x-2 ,其中x=3.小乐同学的解答过程 如下: 解:2x x2-4- 1 x-2= 2x (x+2)(x-2)- 1 x-2 ①= 2x(x+2)(x-2)- x+2 (x-2)(x+2)②= 2x-x+2 (x+2)(x-2)③ = x+2 (x+2)(x-2)④ = 1 x-2⑤. 当x=3时,原式=1. (1) 小乐同学的解答过程中,从第 步 开始出现了错误(填序号); (2) 请帮助小乐同学写出正确的解答过程. 22. (2024·连云港)下面是某同学计算 1m-1- 2 m2-1 的解题过程: 解:原式= m+1(m+1)(m-1)- 2 (m+1)(m-1) ①=(m+1)-2②=m-1③. 上述解题过程从第几步开始出现错误? 请 写出正确的解题过程. 23. (2024·滨州)欧拉是历史上享誉全球的最 伟大的数学家之一,他不仅在高等数学各 个领域作出了杰出贡献,也在初等数学留下 了不凡的足迹.设a、b、c为两两不同的数, 称Pn= an (a-b)(a-c)+ bn (b-c)(b-a)+ cn (c-a)(c-b) (n=0、1、2、3)为欧拉分式. (1) 写出P0对应的表达式(无需化简); (2) 化简P1对应的表达式. 24. (2024·福建)已知实数a、b、c、m、n 满足 3m+n=ba ,mn=ca. (1) 求证:b2-12ac为非负数. (2) 若a、b、c均为奇数,则m、n是否可能 都为整数? 请说明你的理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 1 第一章　实　数 1. 实数的概念 一、 1. B 2. C 3. A 4. A 5. C 6. C 7. D 8. A 9. D 10. B 11. C 12. A 13. D 14. A 15. A 16. D 17. B 18. A 19. A 20. B 21. C 22. A 23. C 24. B 25. D 26. B 27. C 28. B 29. B 30. B 31. C 32. C 33. C 34. C 35. D 36. B 37. B 二、 38. +2024 39. -2 40. -1.8 41. 100 42. 4 43. 3 44. -2 45. > 46. 答案不唯一,如1 47. 答案不唯一,如2 48. > 49. 答案不唯一,如2 50. 2 51. 1 52. (1) 3 (2) 2 53. 4.5×104 54. 1.87×107 55. 9.572×1010 56. 8×103 57. 4.3×10-17 2. 实数的运算 一、 1. A 2. D 3. C 4. D 5. D 6. B 二、 7. 2024 8. 1 9. -2 10. 3 11. 3 12. 3 13. 220 14. 答案不唯一,如0 三、 15. (1) 原式=-10 (2) 原式=6 (3) 原式=-8 (4) 答案不唯一,如选①②③,则22+|-2|+(-1)0=7 16. (1) 原式=-2 (2) 原式=7 (3) 原式=7 (4) 原式=2 (5) 原式=0 17. (1) 原式= 3 (2) 原式=9 (3) 原式=0 (4) 原式=26 18. (1) 原式=3 (2) 原式=π-3 (3) 原式=1 19. (1) 原式=3 (2) 原式=1 (3) 原式=7 20. (1) 原式=22 (2) 原式=7 第二章　式 1. 整 式 一、 1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. D 7. C 8. B 9. A 10. C 11. D 12. D 13. D 14. B 15. D 16. D 17. C 18. B 19. C 20. A 二、 21. 30n 22. 3 23. 3 24. 答案不唯一,如m 25. 3a 26. y2-1 27. x5 28. x2 29. 64x6 30. b2-a2 31. 4 32. -6 33. 29 三、 34. (1) 原式=4a-2 (2) 原式=2a2+b2 35. (1) 原式=4x+1.当x=-2时,原式=-7 (2) 原式=4m-9.当m=52 时,原式=1 (3) 原式= 2a2.当a=3时,原式=6 (4) 原式=x2-1.当x= 22时,原式=7 (5) 原式=x+1.当x= 3-1时,原 式=3 36. (1) 原式=-3ab.当a=-2,b=2时,原式=62 (2) 原式=xy-y2.当x= 1 2 ,y=2时,原式=-3 (3) 原式=2x2+y2.当x=1,y=-2时,原式=6 (4) 原式=2a+b.当a=2,b=-1时,原式=3 37. 原式=2a2-2a+1.∵ a2-a-3=0,∴ a2-a=3. ∴ 原式=2(a2-a)+1=2×3+1=6+1=7 2. 因式分解 一、 1. A 2. D 3. B 二、 4. (1) a(a+5) (2) a(a-7) (3) a(a-b) (4) xy(x+2) 5. (1) (x+3)2 (2) (a-1)2 (3) (x- 2y)2 6. (1) 2(x-1)2 (2) a(b+1)2 (3) 3a(x- y)2 7. (1) x+12 x-12 (2) (x+3)(x-3) 8. (1) 2(a+1)(a-1) (2) x(x+5)(x-5) (3) 2m(x+ 2y)(x-2y) (4) 3a(x+1)(x-1) 9. 42 三、 10. 原式=2a(a+2b)(a-2b) 11. 原式=2a(a-3)2 3. 分 式 一、 1. D 2. A 3. C 4. C 5. A 6. B 7. A 二、 8. (1) x≠1 (2) 答案不唯一,如0 9. (1) 1 (2) 1 (3) 1 (4) -x-2 10. 1 x-y 11. 3 12. 2 三、 13. (1) 原式=1 (2) 原式= 1x+1 (3) 原式=1 (4) 原式=1 14. (1) 原式= 2xx+2 (2) 原式=x-1x+1 (3) 原式= a+1 a-1 (4) 原式= xx+2 15. (1) 原式=x-yx+y (2) 原式= aa+1 (3) 原式= (a-2)2 a2-2a-2 (4) 原式=1 16. (1) 原式=x-12 . 当x=3时,原式=1 (2) 原式= a-1.当a=1-2时,原式=-2 17. (1) 原式=x+1x . 当x=3时,原式=43 (2) 原 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 式= 2a+3. 当a=4时,原式=27 (3) 原式=x+3.当 x=-72 时,原式=-12 (4) 原式=a+1a . 当a=2 时,原式=32 (5) 原式=x+2x . 当x=-3时,原 式=13 18. (1) 原式=x-1.由题意,得x-1≠0,x-2≠0, x2-2x+1≠0,∴ x≠1,x≠2.∴ x的值只能取3.此时 原式=2 (2) 原式= 4x+1. 由题意,得x-2≠0,x+ 2≠0,x2+x≠0,x2-4≠0,∴ x≠-2,x≠-1,x≠0, x≠2.∴ x的值只能取1.当x=1时,原式=2 (3) 原 式=a-2a+2. 由题意,得a-1≠0,a2+4a+4≠0,∴ a≠1 且a≠-2.∴ a 的值可以取0、2.当a=0时,原式= -1;当a=2时,原式=0 19. (1) 原式=1-m.当m=cos60°=12 时,原式=1- 1 2= 1 2 (2) 原式= 1x+y.∵ x=2-y,∴ x+y=2. ∴ 原式=12 (3) 原式= ba+b.∵ b-2a=0,∴ b= 2a.∴ 原式= 2aa+2a= 2 3 (4) 原式= 3a-b.∵ a-b- 1=0,∴ a-b=1.∴ 原式=3 20. 原式=m-26-2m. 由题意,得m=± 32-5=±2. ∵ m-3≠0,9-m2≠0,m+3≠0,4-2m≠0,∴ m≠ -3且m≠3且m≠2.∴ m=-2.∴ 原式=-25 21. (1) ③ (2) 2x x2-4- 1 x-2= 2x (x+2)(x-2)- 1 x-2= 2x (x+2)(x-2)- x+2 (x-2)(x+2)= 2x-x-2 (x+2)(x-2)= x-2 (x+2)(x-2)= 1 x+2. 当x=3时,原式=15 22. 从第②步开始出现错误 正确的解题过程如下:原 式= m+1(m+1)(m-1)- 2 (m+1)(m-1)= m+1-2 (m+1)(m-1)= m-1 (m+1)(m-1)= 1 m+1 23. (1) 由题意,可得P0= a0 (a-b)(a-c)+ b0 (b-c)(b-a)+ c0 (c-a)(c-b)= 1 (a-b)(a-c)+ 1 (b-c)(b-a)+ 1 (c-a)(c-b) (2) 由 题 意,可 得 P1= a1 (a-b)(a-c)+ b1 (b-c)(b-a)+ c1 (c-a)(c-b)= a (a-b)(a-c)- b (b-c)(a-b)+ c (a-c)(b-c)= a(b-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) = ab-ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) =0 24. (1) ∵ 3m+n=ba ,mn=ca ,∴ b=a(3m+n),c= amn.∴ b2 -12ac= [a(3m +n)]2 -12a2mn= a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn=a2(9m2-6mn+n2)= a2(3m-n)2.∵ a、m、n 是实数,∴ a2(3m-n)2≥0. ∴ b2-12ac 为非负数 (2) m、n不可能都为整数 理 由:假设m、n都为整数.∵ a、b、c均为奇数,且m、n都 为整数,∴ b a 、c a 均为奇数.∴ 3m+n、mn均为奇数.由 mn为奇数,可得m、n均为奇数,∴ 3m+n为偶数,这 与3m+n为奇数矛盾.∴ 假设不成立.∴ m、n不可能 都为整数. 4. 二次根式 一、 1. A 2. C 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. C 二、 9. (1) x≥2 (2) x>1 10. (1) 3 (2) 0 (3) 3 11. (1) 6 (2) -23 12. 10 13. 1 14. 答案不唯一,如2x>27 三、 15. 原式=x2.当x=2时,原式=2 16. 原式= 1x-3. 当x=3+3时,原式= 33 17. 原式= 1a-1. 当a=2+1时,原式= 22 18. (1) (n-1)d 2k 2(n-1)dk 2(k-1)dn 2 2 (2k-1)nd 解析:方案1:∵ 每行有n个籽,每行相 邻两籽的间距为d,∴ 每行铲的路径长为(n-1)d. ∵ 每列有k个籽,且呈交错规律排列,∴ 共铲2k 行. ∴ 铲除全部籽的路径总长为2(n-1)dk.方案2:∵ 每 列有k个籽,每列相邻两籽的间距为d,∴ 每列铲的路 径长为(k-1)d.∵ 每行有n个籽,且呈交错规律排列, ∴ 共铲2n列.∴ 铲除全部籽的路径总长为2(k-1)dn. 方案3:由题意,可得斜着铲每相邻两籽的间距为 d2+d2 2 = 2d 2 .∵ 一共有2n列,2k行,∴ 相当于斜 着铲需要铲n次,每次铲2k个籽.∴ 铲除全部籽的路径 总长为 2 2 (2k-1)nd. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈