精品解析：四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷

2024—2025学年度上期高二月考数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线经过点和，则直线的倾斜角为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】算出直线的斜率后可得其倾斜角. 【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则， 根据，而，故，故选D. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题. 2. 已知空间向量，且，则x=（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行列方程直接求得. 【详解】因为空间向量，且， 所以，解得：. 故选：C 3. 在数列中，.则（ ） A. 36 B. 15 C. 55 D. 66 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式，代入计算即可. 【详解】由题意得， 则. 故选：C. 4. 四棱柱的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量运算法则得到，再利用模长公式进行求解. 【详解】因，， 所以，，， 因为， 所以 ， 所以，即线段的长度是. 故选：D. 5. 设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，， ，即，解得， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 6. 已知抛物线（p＞0）上一点到其焦点的距离为p，O为坐标原点，则|OA|＝（　　） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】 解得：抛物线，则或则 故选：B. 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积. 【详解】设，，则有，两式作差得：， 即， 弦中点坐标为，则， 又∵，∴，∴， 又∵，∴可解得，， 故椭圆的面积为. 故选：C 8. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，分情况进行讨论，然后利用等差中项的性质即可求解. 【详解】若公比有，，， 此时，故公比， 由题意， 化简有，两边同时乘以，可得：； 两边同时乘以，可得： 故有或， 选选：AB 10. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的焦点在轴上 B. 双曲线的焦距等于 C. 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 D. 双曲线的离心率的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案. 【详解】解：对A：因为，所以，， 所以双曲线表示焦点在轴上的双曲线，故选项A正确； 对B：由A知，所以，所以， 所以双曲线的焦距等于，故选项B错误； 对C：设焦点在轴上的双曲线的方程为，焦点坐标为，则渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离， 所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确； 对D：双曲线的离心率， 因为，所以，所以，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ） A. 与一定不垂直 B. 的面积是 C. 点P到平面的距离是定值 D. 二面角的正弦值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用特殊位置法，当点与点重合时即可判断；对于B，利用正方体性质找点到直线的距离，计算三角形面积；对于C，利用线面垂直的性质定理可得是的高，再利用三角形的面积公式求解即可；对于D，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值的绝对值，从而即可求得. 【详解】对于A，当点与点重合时，由正方体的性质易得面，而面，所以，故A错误； 对于B，点到的距离，所以.故B正确； 对于C，由于平面就是平面， 所以点到平面的距离为，所以， 又因为点到的距离为，所以. 设点到平面的距离为，则，所以，故C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系， 如图所示，，设， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，，则， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，，则，设二面角的平面角为， 则，所以，故D正确； 故选：BCD． . 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，且与垂直，则等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值 【详解】空间向量，且与垂直， 则，解之得 故答案为：8 13. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，轴，，则椭圆的离心率等于 __． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得点坐标，在中，由，可得，结合椭圆的性质即可求解． 【详解】如图所示，， 把代入椭圆方程可得：，解得， 不妨取， 在中，， ，得， 整理得，， 解得． 故答案为：． 14. 已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论： ① ； ② 数列一定是递增数列； ③ 数列的通项公式可以是； ④ 数列的通项公式可以是. 所有正确结论的序号是___________. 【答案】① ③ ④ 【解析】 【分析】求得与的大小关系判断① ；举反例否定② ；利用题给条件证明数列的通项公式可以是肯定③ ；利用题给条件证明数列的通项公式可以是肯定④ . 【详解】数列满足不等式（其中）， 则有（其中）， ① 由 ，可得.判断正确； ② 当 时，满足，数列为常数列. 则数列不一定是递增数列.判断错误； ③ 当 时，由，可得， 即不等式成立，则数列的通项公式可以是.判断正确； ④ 当 时， 则不等式成立，则数列的通项公式可以是.判断正确； 故答案为：① ③ ④ 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为. （1）当时，求的长； （2）当弦被点P平分时，求直线l的方程. 【答案】（1）) （2） 【解析】 【分析】（1）写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长； （2）求出圆心与点连线斜率，从而得直线l斜率，得直线方程； 【小问1详解】 由题意直线的斜率为，直线方程为，即， 圆心为，圆半径为， 到直线距离为， 所以； 【小问2详解】 弦AB被点P平分，则，又，所以， 直线方程为，即； 16. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12>0，S13<0. （1）求公差d的取值范围； （2）问前几项和最大，并说明理由. 【答案】（1）；（2）数列前6项和最大，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式，由S12>0，S13<0可求出结果； （2）利用等差数列前项和公式，由S12>0，S13<0推出后可得结果. 【详解】（1）∵a3=12，∴a1=12-2d， ∵S12>0，S13<0，∴，所以， 所以. （2）∵S12>0，S13<0，所以，所以， 所以，所以， 又，所以数列前6项为正数，从第7项起为负数. ∴数列前6项和最大. 17. 已知点在抛物线上，为焦点，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据焦半径公式，求解，得到抛物线方程； （2）设，设直线，与抛物线方程联立，求得 ，再利用点在抛物线上得到，从而求得的值. 【小问1详解】 抛物线 ，焦点，由得. ∴抛物线得方程为. 【小问2详解】 依题意，可设过点的直线的方程为， 由得， 设，则， ∴，∴. 18. 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2． （1）求证：； （2）求直线A1E和平面A1OC所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的特征，可以得出，再结合面面垂直的性质定理，可以得出平面，再根据线面垂直的性质，可以得出； （2）根据题中的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得结果； （3）关于是否存在类问题，都是假设其存在，结合向量所成角的余弦值求得结果. 【小问1详解】 因为在中，，分别为，的中点， 所以，， 所以，又为的中点， 所以. 因为平面平面，且平面， 所以平面， 平面， 所以. 【小问2详解】 取的中点，连接，所以， 由（1）得，. 如图建立空间直角坐标系. 由题意得：，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以 设直线与平面所成的角为， 则. 【小问3详解】 假设线段上存在点适合题意， 设，其中. 设，则有， 所以，从而， 所以，又， 所以， 令， 整理得， 解得，舍去. 所以线段上存在点适合题意，且. 【点睛】该题属于典型的立体几何问题，第一问证明线线垂直，需要将空间关系都理清，把握住线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系，即可得出结果；第二问求的是线面角的正弦值，正好是直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值；第三问属于是否存在类问题，在解题的过程中，需要我们先假设其存在，按照题的条件进行求解，如果推出矛盾，就是不存在. 19. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为 （Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常数使得恒成立， 【解析】 【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：， 2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2. 又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1. 由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝. 因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4. 因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1. (3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0， 显然2k＋1≠0，显然Δ＞0由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝. 同理可得|CD|＝. 则， 又k1·k2＝1， 所以. 故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|. 因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立． 考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系 点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上期高二月考数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线经过点和，则直线的倾斜角为（　） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，且，则x=（ ） A. B. 3 C. D. 6 3. 在数列中，.则（ ） A. 36 B. 15 C. 55 D. 66 4. 四棱柱的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ） A B. C. 3 D. 5. 设双曲线C：（a>0，b>0）左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知抛物线（p＞0）上一点到其焦点的距离为p，O为坐标原点，则|OA|＝（　　） A 2 B. C. 4 D. 5 7. 阿基米德是古希腊著名数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的焦点在轴上 B. 双曲线的焦距等于 C. 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 D. 双曲线的离心率的取值范围为 11. 已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ） A. 与一定不垂直 B. 的面积是 C. 点P到平面的距离是定值 D. 二面角的正弦值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，且与垂直，则等于______． 13. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，轴，，则椭圆的离心率等于 __． 14. 已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论： ① ； ② 数列一定是递增数列； ③ 数列的通项公式可以是； ④ 数列的通项公式可以是. 所有正确结论的序号是___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为. （1）当时，求的长； （2）当弦被点P平分时，求直线l的方程. 16. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12>0，S13<0. （1）求公差d的取值范围； （2）问前几项的和最大，并说明理由. 17. 已知点在抛物线上，为焦点，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的值. 18. 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2． （1）求证：； （2）求直线A1E和平面A1OC所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$