精品解析：2024-2025学年青岛版数学八年级上学期期末培优检测试题

2024-2025学年青岛版数学 八年级上学期期末培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列大学校徽中，是轴对称图形的有几个（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：第一个图形不是轴对称图形； 第二个图形是轴对称图形； 第三个图形不是轴对称图形； 第四个图形是轴对称图形； 综上所述，共有2个轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的知识，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形两部分折叠后是否可以重合． 2. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 在同一平面内三条直线，，，如果，，那么 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、垂直的定义、平行线的性质等知识．利用对顶角的性质、垂直的定义、平行线的性质等知识分别判断后，即可确定答案． 【详解】解：A. 对顶角相等，该命题是真命题，不符合题意； B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，不符合题意； C. 在同一平面内三条直线，，，如果，，那么，该命题是真命题，不符合题意； D. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题，符合题意． 故选：D． 3. 下列所给条件中，能画出唯一的的是（    ） A. B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．利用全等三角形的判定方法分别判断即可得解． 【详解】解：、，知道三边的比例关系，并不能确定三角形的大小，不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； 、，，，边边角不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； 、，，，根据AAS可判定两三角形全等，故本选项符合题意； 、，，一个直角和一条边不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：． 4. 如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，首先利用等腰三角形的性质和旋转的性质可以得到，接着利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 为的中点， ， 故选项A正确，不符合题意； ∴， 故选项C错误，符合题意； ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在中，在边上取一点，连接，在边上取点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的性质，等边对等角的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，，，可得，是等腰直角三角形，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C ． 6. 为坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占小明的三项成绩百分制依次为，则小明这学期的体育成绩总分是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法，求出小明这学期的体育总评成绩为多少即可．此题主要考查了加权平均数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是：平时成绩占，期中考试成绩占，期末考试成绩占． 【详解】解： （分）， 小明这学期的体育成绩总分是90分． 故选：A． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是． 故选：C． 8. 为了培养学生的阅读兴趣和提升文学素养，某市举行了一场中学生文学知识竞赛．经过激烈角逐，决赛成绩揭晓，以下是决赛成绩的分布情况： 成绩/分 人数 则本次文学知识竞赛决赛成绩的中位数和众数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．根据众数，中位数的定义计算即可． 【详解】∵出现的次数最多， ∴众数为； ∵数据有个， ∴中位数是第个和第个数据的平均数， 即． 故选：A． 9. 小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线B的平均速度为千米/时，利用时间路程速度，结合走“走路线B比路线A时间节省20分钟”，即可得出关于x的分式方程，找出等量关系是解答本题的关键． 【详解】设走路线A的平均速度为千米/小时，则走路线B的平均速度为千米/时， 由题意得：， 故选：D． 10. 如图中，，，是边的中线，有，垂足为点E，交于点D，且平分交于N，交于H，连接，则下列结论：①；②；③；④；正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作交的延长线于．通过角的等量代换，得出，再通过证明，然后角的等量代换，得出，再通过证明，最后证明，即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作交的延长线于． ，， ∴是等腰直角三角形， ∵平分， ，， ， ， ， ， ∴ ， ∵， ， ，，，故②③正确， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，，故①④正确， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差：要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择______． 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差．根据平均数、方差的意义即可判断． 【详解】解：∵乙、丙和丁的平均数最大， ∴乙、丙和丁的成绩最好， 又∵乙的方差最小， ∴乙发挥的更稳定， ∴选择乙， 故答案为：乙． 12. 已知关于的分式方程有增根，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴，则， 把代入得 ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么__________． 【答案】2或 【解析】 【分析】设运动后，与全等，此时，，根据和两种情况解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，分类思想，熟练掌握情深几许的性质，分类思想是解题的关键． 【详解】解：设运动后，与全等，此时，， ∵，，点D为的中点． ∴，， 当时， ∴，， ∴，， ∴，， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 故答案为：2或． 14. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，设，，，代入原式后以达到约分的目的即可． 【详解】设，，，且， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，此类题目的常用解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，达到约分的目的． 15. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ，， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 16. 在等腰中，，按如图所示的痕迹进行尺规作图得到直线，交于点D，交于点E，连结，已知，取的中点F，连结，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，连接FC，根据等腰三角形三线合一的性质可得FC⊥AB，再由图知，ED是AC的垂直平分线，得FD是直角三角形AFC斜边上的中线．则FD=，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接FC， ∵ ∴是等腰三角形， ∵点F是BE的中点， ∴FC⊥AB 由图知，ED是AC的垂直平分线， ∴点D为AC的中点， ∴在Rt中， FD===2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规法画线段的垂直平分线、直角三角形的性质，解题的关键是知道直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半． 17. 一副三角板如图放置，，，，则______°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，而，，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 故答案为：75． 18. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解；∵平分，平分， ∴，， ∵由三角形外角的性质可得，， ∴， 以此类推， ， …… ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意验根是解题的关键． （1）去分母，转化为整式方程计算即可； （2）去分母，转化为整式方程计算即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验是增根， 原分式方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，绝对值和平方式的非负性，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减即可，最后根据绝对值和平方式的非负性求出，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得：， ∴． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）的面积为______； （3）轴上作点，使得最小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形变换，勾股定理； （1）根据题意和图形，可以画出关于轴对称的； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （3）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得最小时点所在的位置． 【小问1详解】 解：如图所示， ； 【小问2详解】 解：的面积为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，则此时最小， 点如图所示． 22. 为了解医保创新工作人员的业务掌握情况，某单位举办了医保创新知识竞赛．现从甲、乙两个部门的工作人员中各随机抽取20名员工的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有员工的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．； B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 甲部门20名员工的竞赛成绩为： 61，63，68，78，81，82，83，85，85，85， 85，88，89，91，91，92，93，94，95． 乙部门20名员工的竞赛成绩在组的成绩是：82，82，84，84，84． 甲、乙两部门所抽员工的竞赛成绩统计表 部门 甲部门 乙部门 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 84 乙部门所抽员工的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该单位甲、乙两个部门中哪个部门员工的医保创新知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）甲部门有400名员工、乙部门有500名员工参加了此次医保创新知识竞赛，估计该单位甲、乙两部门参加此次安全知识竞赛成绩优秀的总人数是多少？ 【答案】（1）85，83，35 （2）甲部门的竞赛成绩较好，理由见解析 （3）甲、乙部门参加此次医保创新知识竞赛成绩优秀的总人数是295人． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解； 【小问1详解】 解：根据甲部门的竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为， 乙部门的竞赛成绩中A组：（人）， B组：（人）， C组：5人，所占百分比为， D组：（人）， 所占百分比为，则， ∴乙部门的中位数为第个员工竞赛成绩的平均数， 即C组第个员工竞赛成绩的平均数， 故答案为：85，83，35； 【小问2详解】 解：甲部门的竞赛成绩较好，理由： 甲、乙部门的平均分均为84分，甲部门的中位数高于乙部门的中位数，整体上看甲部门的竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：甲、乙部门参加此次医保创新知识竞赛成绩优秀的总人数是295人． 23. 在等边中，点是上动点，点与点、不重合，点在的延长线上，且． 在等边中，点E是上的动点，点E与点A、B不重合，点D在的延 （1）如图1，若点是的中点，求证：； （2）如图2，若点不是的中点时，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与数量关系，若成立，请给予证明． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，， 再根据， 得出， 再证出， 得出， 从而证出； （2）作辅助线得出等边三角形， 得出，再证明三角形全等，得出，证出． 【小问1详解】 证明： ∵是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立，证明如下： 过点作交于点，如图所示： ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， 即， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 24. 为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，刘老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，刘老师家距离学校的路程是6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以刘老师每天上班要比开车早出发20分钟，才能按原驾车的时间到达学校． （1）求刘老师驾车的平均速度； （2）据测算，刘老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，求刘老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量． 【答案】（1）刘老师驾车的平均速度为36千米/小时 （2）可以减少碳排放量0.8千克 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用． （1）设刘老师驾车的平均速度为x千米/小时，根据时间的等量关系列出方程即可求解； （2）由（1）可得刘老师开车的平均速度，再计算黄老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少千克． 读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． 【小问1详解】 解：设刘老师驾车的平均速度为x千米/小时，由题意，得： ， 解得：； 经检验：，是原方程的解． 答：刘老师驾车的平均速度为36千米/小时； 【小问2详解】 （千克）； 故可以减少碳排放量0.8千克． 25. 在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点D在线段上，且时，证明； （2）设． ①如图2，当点D在线段上，时，请你直接写出α与β之间数量关系；（无需证明） ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①；②，图见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理以及全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）先证，即可证明，推出，即可证明； （2）①由（1）同理可得，等量代换可得，结合，可证；②由（1）同理可得，推出，可得，根据，，可得，即可得出． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①， 证明如下： 由（1）同理可得， ， 即， ， ； ②，证明如下： 如图， 由（1）同理可得， ， ， ， 即， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版数学 八年级上学期期末培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列大学校徽中，是轴对称图形的有几个（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 在同一平面内三条直线，，，如果，，那么 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 3. 下列所给条件中，能画出唯一的是（    ） A. B. ，， C. ，， D. ， 4. 如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，在边上取一点，连接，在边上取点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占小明的三项成绩百分制依次为，则小明这学期的体育成绩总分是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 8. 为了培养学生的阅读兴趣和提升文学素养，某市举行了一场中学生文学知识竞赛．经过激烈角逐，决赛成绩揭晓，以下是决赛成绩的分布情况： 成绩/分 人数 则本次文学知识竞赛决赛成绩的中位数和众数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图中，，，是边中线，有，垂足为点E，交于点D，且平分交于N，交于H，连接，则下列结论：①；②；③；④；正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差：要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择______． 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 12. 已知关于的分式方程有增根，则 ______． 13. 如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么__________． 14. 已知，且，则值为______． 15. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 16. 在等腰中，，按如图所示的痕迹进行尺规作图得到直线，交于点D，交于点E，连结，已知，取的中点F，连结，则_________． 17. 一副三角板如图放置，，，，则______°． 18. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中满足． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）的面积为______； （3）在轴上作点，使得最小． 22. 为了解医保创新工作人员的业务掌握情况，某单位举办了医保创新知识竞赛．现从甲、乙两个部门的工作人员中各随机抽取20名员工的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有员工的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．； B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 甲部门20名员工竞赛成绩为： 61，63，68，78，81，82，83，85，85，85， 85，88，89，91，91，92，93，94，95． 乙部门20名员工的竞赛成绩在组的成绩是：82，82，84，84，84． 甲、乙两部门所抽员工的竞赛成绩统计表 部门 甲部门 乙部门 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 84 乙部门所抽员工的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该单位甲、乙两个部门中哪个部门员工的医保创新知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）甲部门有400名员工、乙部门有500名员工参加了此次医保创新知识竞赛，估计该单位甲、乙两部门参加此次安全知识竞赛成绩优秀的总人数是多少？ 23. 在等边中，点是上的动点，点与点、不重合，点在的延长线上，且． 在等边中，点E是上的动点，点E与点A、B不重合，点D在的延 （1）如图1，若点是的中点，求证：； （2）如图2，若点不是的中点时，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与数量关系，若成立，请给予证明． 24. 为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，刘老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，刘老师家距离学校的路程是6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以刘老师每天上班要比开车早出发20分钟，才能按原驾车的时间到达学校． （1）求刘老师驾车的平均速度； （2）据测算，刘老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，求刘老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量． 25. 在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点D在线段上，且时，证明； （2）设． ①如图2，当点D在线段上，时，请你直接写出α与β之间的数量关系；（无需证明） ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$